河北省唐山市2020届高三第一次模拟数学（文）试题
展开唐山市2019—2020学年度高三年级第一次模拟考试
文科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则中元素的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
先求解,再求判断即可.
【详解】由题, ,故有两个元素.
故选：B
【点睛】本题主要考查了交集的运算,属于基础题.
2.设是虚数单位，复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的除法法则将复数化为一般形式，可得出复数，进而可判断出复数在复平面内对应的点所在的象限.
【详解】，.
因此，复数在复平面内对应的点位第四象限.
故选：D.
【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限的判断，考查复数的除法运算和共轭复数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.
3.人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标.年第六次全国人口普查资料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高.下图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是（ ）
A. 男性的平均预期寿命逐渐延长
B. 女性平均预期寿命逐渐延长
C. 男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性
D. 女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性
【答案】C
【解析】
【分析】
从图形中的数据变化可判断A、B选项的正误；计算出男性和女性平均预期寿命延长幅度，可判断C、D选项的正误，综合可得出结论.
【详解】由图形可知，男性的平均预期寿命逐渐延长，女性的平均预期寿命也在逐渐延长，A、B选项均正确；
从年到年，男性的平均预期寿命的增幅为，女性的平均预期寿命的增幅为，
所以，女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性，C选项错误，D选项正确.
故选：C.
【点睛】本题考查统计图的应用，考查学生的数据处理能力，属于基础题.
4.已知向量，满足，且，则（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将两边平方,再根据数量积公式求解即可.
【详解】由有.因为,故.
故选：D
【点睛】本题主要考查了数量积与模长的计算等.属于基础题.
5.设sin，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：，两边平方后得，整理为，即，故选A.
考点：三角函数
6.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制丈尺，斛立方尺，圆周率），则该圆柱形容器能放米（ ）
A. 斛 B. 斛 C. 斛 D. 斛
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出圆柱形容器的底面圆半径，由此计算出圆柱形容器的体积，由此可得出结果.
【详解】设圆柱形容器的底面圆半径为，则（尺），
所以，该圆柱形容器的体积为（立方尺），
因此，该圆柱形容器能放米（斛）.
故选：B.
【点睛】本题考查立体几何中的新文化，考查柱体体积的计算，考查计算能力，属于基础题.
7.已知数列是等差数列，是等比数列，，，若、为正数，且，则（ ）
A. B.
C. D. 、的大小关系不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
用、表示、，然后利用作差法可得出与的大小关系.
【详解】由于、、成等差数列，则，则，
由于、、成等比数列，则，则，
所以，，
、为正数，且，因此，，即.
故选：A.
【点睛】本题考查数列中项的大小比较，涉及比较法的应用，考查推理能力，属于中等题.
8.抛物线上一点到其准线和坐标原点的距离都为3，则（ ）
A 8 B. 6 C. 4 D. 2
【答案】C
【解析】
分析】
设,再根据抛物线的定义以及点到点的距离公式列出等式求解即可.
【详解】设,则由题意得,即,又,故,化简得,又点到原点的距离为3,故.解得.
又由题可得,代入有.
故选：C
【点睛】本题主要考查了抛物线定义的运用,需要根据题意设对应的点,再根据点在抛物线上以及抛物线的定义列式求解即可.属于中档题.
9.函数在上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分析函数的奇偶性以及函数在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】当时，，则，，
所以，函数为非奇非偶函数，排除B、D选项；
当时，设，则，
所以，函数在上单调递增，则，
所以，当时，，则，即，排除C选项.
故选：A.
【点睛】本题考查利用函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10.设函数，则下列结论中错误的是（ ）
A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递减 D. 在上的最大值为1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角函数的对称点、对称轴以及单调区间与最值的性质逐个代入检验即可.
【详解】对A, ,为对称点.故A正确.
对B,当时,不是的对称轴.故B错误.
对C,当时,, 在上单调递减.故C正确.
对D, 当时, .当时,取得最大值1.故D正确.
故选：B
【点睛】本题主要考查了代入检验判断三角函数性质是否成立的问题.属于基础题.
11.已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面，，，若球的表面积为，则（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据球的表面积为可得外接球半径,再根据底面中的边长关系,结合圆的内接四边形的性质求解底面外接圆的半径,进而求得即可.
【详解】设球的半径为,则,解得.设底面外接圆的半径,则由圆的内接四边形的性质可知,又,,.故.故.故.
故.
故选：C
【点睛】本题主要考查了外接球的问题,需要根据底面圆的直径以及锥体高与球的直径满足的勾股定理,再结合底面外接圆的内接四边形的性质进行求解.属于中档题.
12.已知是双曲线：的右焦点，是的渐近线上一点，且轴，过作直线的平行线交的渐近线于点（为坐标原点），若，则双曲线的离心率是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设,根据轴,可得,再根据直线的方程联立渐近线方程可得,再利用求解出关于的方程,化简求得离心率即可.
【详解】设,因为轴,故.又直线：,
联立直线:可得,.
又,故,即.
化简可得,故.
故离心率.
故选：D
【点睛】本题主要考查了根据几何关系结合双曲线的性质求解离心率的问题,需要根据题意求解对应的点的坐标,再根据几何关系列式求解关于基本量之间的关系,进而化简求得离心率.属于中档题.
二、填空题：本题共4小题.
13.若、满足约束条件，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得取得最小值时对应的最优解，代入目标函数计算即可.
【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
联立，解得，即点，
平移直线，当该直线经过可行域顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
14.曲线在点处的切线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】
求导根据导数的几何意义以及直线的方程求解切线方程即可.
【详解】由题, ,故.又.
故切线方程为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义求解在函数某点处切线的方程.属于基础题.
15.在数列中，已知，（，为非零常数），且、、成等比数列，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由、、成等比数列求出非零实数的值，再利用累加法可求得.
【详解】，（，为非零常数），则，，
由于、、成等比数列，则，即，整理得，
，解得，，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项，同时也考查了利用等比中项的性质求参数，考查计算能力，属于中等题.
16.已知，有极大值和极小值，则的取值范围是______，______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
(1)求导得,再根据有极大和极小值可知导函数在定义域内有两个不相等的实数根,再根据零点存在定理列式即可求得的取值范围.
(2)代入化简,再代入(1)中极值点满足的韦达定理求解即可.
【详解】(1)由题,,因为有极大值和极小值,故在区间上有两个不相等的实数根.
故 ,即,解得.
(2)由(1)可知.
故
.
故答案为：(1). (2).
【点睛】本题主要考查了利用函数的极值求解参数范围的问题,同时也考查了零点存在性定理以及韦达定理在极值点中的运用.属于中档题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：
17.某高校艺术学院2019级表演专业有27人，播音主持专业9人，影视编导专业18人.某电视台综艺节目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选取6人作为志愿者.
（1）分别写出各专业选出的志愿者人数；
（2）将6名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，通过适当的方式列出所有可能的结果，并求表演专业的志愿者与播音主持专业的志愿者分在一组的概率.
【答案】（1）表演专业3人，播音主持专业1人，影视编导专业2人； （2）可能的结果见解析；.
【解析】
【分析】
(1)先求解分层抽样抽取的比例,再逐个计算即可.
(2) 设表演专业的3位志愿者为,,,播音主持专业的志愿者为；影视编导专业的志愿者为,.再利用列举法求解即可.
【详解】（1）由题可知选取比例为,故表演专业人,播音主持专业人,影视编导专业人.
（2）设表演专业的3位志愿者为,,,播音主持专业的志愿者为；影视编导专业的志愿者为,.则符合条件的所有可能结果有以下6种：
①,,；
②,,；
③,,；
④,,；
⑤,,；
⑥,,.
其中与分在一组的情况恰有2种,设所求事件为,则.
【点睛】本题主要考查了分层抽样的方法以及列举法求解古典概型的问题,属于基础题.
18.的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角；
（2）设是边上一点，若，且，，求，.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理以及辅助角公式化简可得.
(2)根据三角形的面积公式可得,再由余弦定理化简求解即可.
【详解】（1）由正弦定理,得,
所以,从而,
即,因为,所以.
（2）因为
,
所以.
在中,由余弦定理得,
所以,所以.
故.
【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式在解三角形中的运用,需要根据题意边角互化,再根据所得的关系确定合适的面积公式以及余弦定理化简.属于中档题.
19.如图，三棱柱的底面为等边三角形，且底面，，，，分别为，的中点，点在棱上，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析； （2）.
【解析】
【分析】
(1)证明平面可得,再根据勾股定理证明,进而即可证明平面.
(2) 作,垂足为,根据线面与面面垂直的性质和判定即可知即为点到平面的距离. 再根据三角形中的关系计算即可.
【详解】（1）因为平面,所以,
因为为等边三角形,为的中点,所以.
又,所以平面,
所以.
在中,,,,
满足,所以,
又,所以平面.
又因为平面,所以平面平面.
（2）作,垂足为,
由（1）可知平面平面,平面,
平面平面,所以平面,
所以即为点到平面的距离.
由（1）得，在中,
,,,
故,
即点到平面的距离为.
【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明以及点到面距离的求解,需要根据题意利用线面与面面垂直的性质与判定进行证明.属于中档题.
20.已知是轴上的动点（异于原点），点在圆：上，且.设线段的中点为.
（1）当直线与圆相切于点，且点在第一象限，求直线斜率；
（2）当点移动时，求点的轨迹方程.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
(1) 连接,由题可知,再结合直角三角形的性质可知,,进而求得与直线的斜率即可.
(2) 设,再根据为等腰三角形,求解关于点的表达式,再代入圆的方程化简求解即可.
【详解】（1）连接,当直线与圆相切于点,
则,又,
则,又点在第一象限,故为等腰直角三角形.
故,.
由为的中点,得,
所以直线的斜率为.
（2）设,由,为等腰三角形.
设,则.又为的中点,故 ,解得 .
得,则,
把代入,整理得,
所以点的轨迹方程为.
【点睛】本题主要考查了椭圆中的轨迹问题,需要根据题意设动点坐标,再求出相关点的坐标,最后代入已知的方程中化简求解即可.属于中档题.
21.已知，函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若在上仅有一个零点，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求导可得，进而可得极值点为或.再讨论与的大小关系，进而求得单调区间即可；
（2）先求解两个极值与，再讨论根据分，与，结合分析极值满足的关系列式求解满足的不等式，化简即可.
【详解】（1），
当时，或.
当时，，
所以或时，，从而在，上单调递增；
当时，，从而在上单调递减；
当时，，所以，从而在上单调递增；
当时，，
所以或时，，从而在，上单调递增；
当时，，从而在上单调递减.
（2），.
由（1）得，当时，，,
所以仅在上有一个零点，因此时成立；
当时，，所以在上仅有一个零点1.
当时，，所以要满足题设有，
从而，解得，因此时成立.
综上，满足题目条件的的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了分类讨论函数单调性的问题，同时也考查了利用导数求解函数零点的问题，需要根据单调性以及极值的取值范围列式求解，属于难题.
（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在极坐标系中，圆，直线.以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.
（1）求圆的参数方程，直线的直角坐标方程；
（2）点在圆上，于，记的面积为，求的最大值.
【答案】（1）（为参数），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，将圆的极坐标方程化为普通方程后，确定圆心和半径，即可得出圆的参数方程；
（2）设点，可得点，利用三角恒等变换思想化简三角形的面积公式，再利用正弦函数的有界性可得出的最大值.
【详解】（1）由题意得，所以，
将圆的极坐标方程化为，
由，，所以的普通方程为，即.
从而的参数方程为（为参数）；
（2）设，，则.
所以
.
，，
当，即时，取得最大值.
【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用圆的参数方程求解三角形面积的最值问题，考查三角恒等变换思想以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题.
23.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）是否存在实数，使得的图象与轴有唯一的交点？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，实数或.
【解析】
【分析】
（1）当时，由得出，然后分、、三种情况解不等式，综合可得出该不等式的解集；
（2）分、和三种情况讨论，将函数的解析式表示为分段函数的形式，求出该函数的最小值，根据题意得出，由此可求得实数的值.
【详解】（1）当时，化为.
当时，不等式化为，无解；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得.
所以的解集为；
（2）存在.
若，则.
此时函数的最大值，所以时满足题设；
若，则.
此时函数的最大值，所以时满足题设；
若，则，所以时不满足题设.
综上所述，存在实数或满足题设.
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了根据含绝对值函数的零点个数求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
