河北省唐山市2020届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题
展开唐山市2019—2020 学年度高三年级第一次模拟考试
理科数学
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，，则集合M的子集个数是
A．2 B．3 C．4． D．8
2．设i是虚数单位，复数，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010 年第六次全国人口普查资料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．右图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是
A．男性的平均预期寿命逐渐延长
B．女性的平均预期寿命逐渐延长
C．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性
D．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性
4．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1文=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率π=3），则该圆柱形容器能放米
A．900 斛 B．2700斛 C．3600斛 D．10800斛
5．已知向量a，b满足|a+b|=|b|，且la|=2，则b在a方向上的投影是
A． 2 B．- 2 C．1 D． -1
6．已知数列是等差数列，是等比数列，，若m，n为正数，且m≠n，则
A． B． C． D．的大小关系不确定
7．已知随机变量服从正态分布N（0，1），随机变量服从正态分布N（1，1），且，则=
A． B． C． D．
8．函数在上的图象大致为
9．设函数，则下列结论中正确的是
A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线号对称
C．在上单调递减 D．在上的最小值为0
10．已知四棱锥的顶点都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，AB=AD=1，BC=CD=2，若球O的表面积为36，则直线PC与底面ABCD所成角的余弦值为
A． B． C． C．
11．已知P是双曲线的右焦点，M是C的渐近线上一点，且MF⊥x轴，过F作直线OM的平行线交C的渐近线于点N（O为坐标原点），若MN⊥ON，则双曲线C的离心率是
A． B． C． D．2
12．已知，有如下结论：
①有两个极值点； ②有3个零点；
③的所有零点之和等于零．
则正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D． 3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若满足约束条件，则的最小值为 .
14．中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁4名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则4名同学所有可能的选择有 种
15．在数列中，已知（为非零常数），且成等比数列，则 ．
16．已知F为抛物线的焦点，为的准线与x轴的交点，点在抛物线上，设，，，有以下3个结论：
①的最大值是；②③存在点，满足．
其中正确结论的序号是 .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
的内角的对边分别为，已知，的面积为．
（1）若，求的周长；
（2）求的最大值．
18．（12分）
如图，直三棱柱的底面为等边三角形，分别为的中点，点在棱上，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
19．（12分）
甲、乙二人进行一场比赛，该比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为．
（1）求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；
（2）若，比赛结束时，设甲获胜局数为，求其分布列和期望
（3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率，求的取值范围。
20．（12分）
已知是x轴上的动点（异于原点O），点Q在圆上，且|PQ|=2．设线段PQ的中点为M，当点P移动时，记点M的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）当直线PQ与圆O相切于点Q．且点Q在第一象限．
（i）求直线的斜率；
（ii）直线平行，交曲线于不同的两点．线段的中点为，直线与曲线交于两点，证明：．
21．（12分）
已知函数，为的导函数，且．
证明：（1）；
（2）.
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，圆， 直线．以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系．
（1）求圆的参数方程，直线的直角坐标方程；
（2）点在圆上，于，记△的面积为，求的最大值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
己知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）是否存在实数，使得的图象与轴有唯一的交点？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
