河北省唐山市2020届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题

唐山市2019—2020 学年度高三年级第一次模拟考试

文科数学

注意事项：

1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则中元素的个数是

A．1               B．2              C．3                D．4

2．设i是虚数单位，复数，则在复平面内对应的点位于

A．第一象限       B．第二象限       C．第三象限           D．第四象限

3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010 年第六次全国人口普查资料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．右图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是

A．男性的平均预期寿命逐渐延长

B．女性的平均预期寿命逐渐延长

C．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性

D．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性

4．已知向量a，b满足|a+b|=|b|，且la|=2，则a·b=

A． 2                  B．1                  C．-1                D． -2

5．设，则=

A．                  B．                  C．                D．

6．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1文=10尺，1斛=1．62立方尺，圆周率π=3），则该圆柱形容器能放米

A．900 斛             B．2700斛              C．3600斛          D．10800斛

7．已知数列是等差数列，是等比数列，，若m，n为正数，且m≠n，则

A．        B．          C．         D．的大小关系不确定

8．抛物线上一点A到其准线和坐标原点的距离都为3，则=

A．8             B．6                C．4              D．2

9．函数在上的图象大致为

10．设函数，则下列结论中错误的是

A．的图象关于点对称                  B．的图象关于直线对称

C．在上单调递减                      D．在上的最大值为1

11．已知四棱锥的顶点都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，且AB=AD=1，BC=CD=2，若球O的表面积为36，则PA=

A．2              B．             C．                C．

12．已知F是双曲线的右焦点，M是C的渐近线上一点，且MF⊥x轴，过F作直线OM的平行线交C的渐近线于点N（O为坐标原点），若MN⊥ON，则双曲线C的离心率是

A．2             B．              C．              D．

二、填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若满足约束条件，则的最小值为               ．

14．曲线在点处的切线方程为            ．

15．在数列中，已知（为非零常数），且成等比数列，则              .

16．已知，有极大值和极小值，则的取值范围是     ；=               ．（本题第一空2分，第二空3分．）

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23 题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

某高校艺术学院2019级表演专业有27人，播音主持专业9人，影视编导专业18人．某电视台综艺节目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选取6人作为志愿者．

（1）分别写出各专业选出的志愿者人数；

（2）将6名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，通过适当的方式列出所有可能的结果，并求表演专业的志愿者A与播音主持专业的志愿者分在一组的概率．

18．（12分）

的内角的对边分别为，已知．

（1）求角A;

（2）设D是BC边上一点，若，且AD=1， a=3，求b，c．

19．（12分）

如图，三棱柱的底面为等边三角形，且底面，，，分别为的中点，点在棱上，且．

（1）证明：平面平面；

（2）求点D到平面的距离．

20．（12分）

已知是x轴上的动点（异于原点O），点Q在圆上，且|PQ|=2．设线段PQ的中点为M.

（1）当直线PQ与圆O相切于点Q，且点Q在第一象限，求直线OM的斜率:

（2）当点P移动时，求点M的轨迹方程．

21．（12分）

已知a>0，函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若在R上仅有一个零点，求a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标系中，圆， 直线．以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系．

（1）求圆的参数方程，直线的直角坐标方程；

（2）点在圆上，于，记△的面积为，求的最大值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

己知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）是否存在实数，使得的图象与轴有唯一的交点？若存在，求的值；若不存在，说明理由．