辽宁省辽河油田第二高级中学2020届高三6月模拟考试数学（理）试题
展开高三模拟考试理科数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,，则
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则=
A. B. C. D.
3. 已知向量，则向量在向量方向上的投影为
A. B. C. D.
4. 已知为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是
A. ∥ B. ∥
C. ∥∥ D.
5. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
A. B.
C. D.
6. 人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为，则有，则的声音与的声音强度之比为（ ）
A．10 B．100 C．1000 D．10000
7．把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数是偶函数，则实数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数列为等比数列，若，且，则
A. B. 或 C. D.
9. 椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的大小为
A. B. C. D.
10. 已知，则的大小关系是
A. B. C. D.
11. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，
介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设,若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为
A. B.
C. D.
12. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，
且以为直径的圆经过点，若的面积为，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13. 二项式的展开式中的系数为（用数字作答） .
14. 已知两圆相交于两点，若两圆圆心都在直线上，则的值是 .
15．等差数列的前n项和为，,则_____________.
16. （本小题第一空2分，第二空3分）
农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 ；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17.（12分）
在中，角的对边分别为，若.
（1）求角的大小；
（2）若，为外一点，,求四边形面积的最大值.
18.（12分）
在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习。某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表：
| 分数不少于120分 | 分数不足120分 | 合计 |
线上学习时间不少于5小时 |
| 4 | 19 |
线上学习时间不足5小时 |
|
|
|
合计 |
|
| 45 |
（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（2）（Ⅰ）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随
机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.
（下面的临界值表供参考）
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式 其中）
19.（12分）
如图所示，在四棱锥中，∥,，点
分别为的中点.
（1）证明：∥面；
（2）若，且，面面,求二面角的余弦
值.
20.（12分）
已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于、两点,且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设为抛物线上任意一点（异于顶点），过做倾斜角互补的两条直线、，交抛物线于另两点、，记抛物线在点的切线的倾斜角为，直线的倾斜角为，求证：与互补.
21.（12分）
已知函数
（1）若，试讨论的单调性；
（2）若，实数为方程的两不等实根，
求证：.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设为曲线上位于第一，二象限的两个动点，且,射线交曲线分别于，求面积的最小值，并求此时四边形的面积
23.（10分）
已知均为正实数，函数的最小值为.
证明：（1）；
（2）.
高三模拟考试理科数学答案
一、选择题
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
B | B | A | D | A | D | C | A | C | B | D | B |
二、填空题
13. - 40； 14. -1; 15、
16、；（本小题第一空2分，第二空3分）
三、解答题
17. 解：
（1）,由正弦定理得:
，
即 -----------------3分
即
------------------------------6分
（2）在中，
又，则为等边三角形， -------------------8分
又，
---------10分
当时，四边形的面积取最大值，最大值为. --12分
18.解：
（1）
| 分数不少于120分 | 分数不足120分 | 合计 |
线上学习时间不少于5小时 | 15 | 4 | 19 |
线上学习时间不足5小时 | 10 | 16 | 26 |
合计 | 25 | 20 | 45 |
-----------------------------------3分
有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关” -------5分
（2）（I）由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取人 -----------6分
的可能取值为0，1,2,3,4.
,,
, ------------------8分
（II）从全校不少于120分的学生中随机抽取1人
此人每周上线时间不少于5小时的概率为 ------------10分
设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为，则，
故, -------12分
19．解“
（1）证明：连接交于，连接
≌
-------------2分
面面
面 -----------------4分
（2）取中点，连，.由，
面面
面，又由，
以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系 ------------6分
设，则，,,
， -------------------8分
为面的一个法向量 ------------------------9分
设面的法向量为，
依题意，即
令，解得 ----------------10分
因为二面角为锐角，故其余弦值为 ------------12分
20.解：
（1）由题意设直线的方程为
令、，联立得 -----------3分
，
根据抛物线的定义得，又，
故所求抛物线方程为 -----------------------5分
（2）依题意，设，，
设的方程为，与联立
消去得 ----------------------7分
，同理 ------------------8分
，直线的斜率= ----10分
切线的斜率。由，得与互补 --12分
21. 解：
（1）依题意，当时， -----------------1分
①当时，恒成立，此时在定义域上单调递增； -----------3分
②当时，若，；若，
故此时的单调增、减区间分别为、 --------5分
（2）方法1：由得
令，则 --------------------7分
依题意有， -------------8分
要证，只需证（不妨设），
即证 -------------------10分
令， ，
在单调递减，，从而有 ----12分
方法2：由得
令，则， ---7分
当时，时，
故在上单调递增，在上单调递减， -----------------8分
不妨设，则，
要证，只需证，易知，
故只需证，即证 ----10分
令，（），
则
== ----11分
（也可代入后再求导）
在上单调递减，，
故对于时，总有。由此得 ---12分
22. 解：
（1）由曲线的参数方程为（为参数）消去参数得 ------2分
曲线的极坐标方程为即
-----------------------------4分
（2）依题意得的极坐标方程为 ---------- 5分
设,,,
则，，故 --------7分
，当且仅当（即）时取“=” --------8分
故，即面积的最小值为 ---------------9分
此时
故所求四边形的面积为 ---------------10分
23. 证明
（1），
-------------------------------------3分
由柯西不等式得
当且仅当时取“=”。 -----------------5分
（2）
（以上三式当且仅当时同时取“=”） --------------7分
将以上三式相加得
即 --------------10分
