辽宁省辽河油田第二高级中学2020届高三4月模拟考试数学（理）试题

高三下4月模拟考试

数学（理）

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知，则复数在复平面上所对应的点位于（     ）

A．实轴上           B．虚轴上          C．第一象限         D．第二象限

2．已知集合，集合，则集合中元素的个数为（ 　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

3．已知命题：，则；命题：，，则下列判断正确的是（     ）

A．是假命题 B．是假命题 C．是假命题 D．是真命题

4．下列函数中，其图象与函数的图象关于点对称的是（     ）

A．    B．    C．    D．

5．已知数列中，，，且，则的值为（     ）

A． B． C． D．

6．函数的部分图象如图所示，现将此图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为（     ）

A．  B．  C．   D．

7．执行如图的程序框图，已知输出的。若输入的，则实数的最大值为（     ）

A．1                  B．2              C．3                D．4

8．已知双曲线C：（，）的右焦点为，点A、B分别在直线和双曲线C的右支上，若四边形（其中O为坐标原点）为菱形且其面积为，则(     )

A． B． C．2 D．

9．2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为（     ）

A．               B．             C．             D．

10．已知三棱锥的外接球的表面积为，，则三棱锥体积的最大值为（      ）

A． B． C． D．

11．定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的的个数是（     ）

A．9 B．10 C．11 D．12

12．已知直线不过坐标原点，且与椭圆相交于不同的两点的面积为，则的值是（     ）

A． B． C． D．不能确定

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设函数，则的值为__________．

14．已知平面向量满足，，，则与的夹角为__________．

15．设满足约束条件且的最小值为7，则＝__________．

16．在各项均为正数的等比数列中，，当取最小值时，则数列的前项和为__________．

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，，， 且的面积为.

（1）求；

（2）求的周长 .

18．（12分）如图，是半圆的直径，是半圆上除点外的一个动点，垂直于所在的平面，垂足为，，且，.

（1）证明：平面平面；

（2）当为半圆弧的中点时，求二面角的余弦值.

19．（12分）已知点到直线的距离比点到点的距离多.

（1）求点的轨迹方程；

（2）经过点的动直线与点的轨迹交于，两点，是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

20．（12分）已知函数.

（1）若是定义域上的增函数，求的取值范围；

（2）设，分别为的极大值和极小值，若，求的取值范围.

21．(12分）有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站（出发地），第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或跳到第100站（失败）时，该游戏结束. 设棋子跳到第站的概率为. 

（1）求，，，并根据棋子跳到第站的情况写出与、的递推关系式（）；

（2）求证：数列为等比数列；

（3）求玩该游戏获胜的概率.

(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．【极坐标与参数方程】（10分）

在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求C的普通方程和的直角坐标方程；

（2）求C上的点到距离的最大值．

23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）

已知，，为一个三角形的三边长.证明：

（1）；

（2）.

高三4月考试数学试题答案（理 ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．

1-5BBDDA    6-10CDACD      11-12CC

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13． -16     14．       15．        16．

16.【解析】等比数列中，，所以， ，令，则，令，解得 ，因为各项均为正数的等比数列，所以，当时，，当时，，

所以在时取得最小值，设，代入化简可得，

所以 ，

，

，

两式相减得，

，，.

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【解析】（1），由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得.     …………………6分

（2）∵，所以，，又，且 ，，，的周长为.  …………………12分

18．【解析】（1）证明：因为是半圆的直径，所.因为垂直于所在的平面，，

所以，所以平面.因为，且，所以四边形为平行四边形.所以，所以平面，因为平面，所以平面平面. ………6分

（2）由题意，，、、两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，，所以，，，.设平面的一个法向量为，

则即令，则.

设平面的一个法向量为，则即

则，则. 

因为二面角是钝角，所以二面角的余弦值为.       …………………12分

19．【解析】（1）由题知，点到直线的距离，故点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线，所以其方程为；…………………5分

（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点，则点必在轴上，可设其坐标为.

此时，设，，则，

由题知直线的斜率存在，设其方程为，与联立得，

则，，

，

故，即存在满足条件的定点.     ………………12分

20．【解析】（1）的定义域为，

∵在定义域内单调递增，∴，即对恒成立.

则恒成立. ∴，∵，，∴.

所以，的取值范围是.       …………………5分

（2）将表示为关于的函数，由且，得，

设方程，即得两根为，，且.

则，，∵，,∴,∴,

，

∵,

∴代入得,

令，则，得，，则,

, ∴而且上递减，从而,

即, ∴.          ………………12分

21．【解析】（1）棋子开始在第0站是必然事件，；

棋子跳到第1站，只有一种情况，第一次掷硬币正面向上，

其概率为；棋子跳到第2站，有两种情况，①第一次掷硬币反面向上，其概率为；②前两次掷硬币都是正面向上，其概率为；

依题意知，棋子跳到第（）站有两种情况：

第一种，棋子先跳到站，又掷出反面，其概率为；

第二种，棋子先跳到站，又掷出正面，其概率为.

∴           ………………6分

（2）由（1）知，，，

又，数列是以为首项，为公比的等比数列.

（3）由（2）知，，

∴

.

∴玩该游戏获胜的概率为.       ………………12分

(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22.【答案】 （1）解：曲线 的参数方程为:  为参数)，  

转换为普通方程为:  ，

转换为极坐标方程为:  .……………………5分

（2）解：直线 的极坐标方程为 .转换为参数方程为:   (为参数).  

把直线的参数方程代入 ，

得到:  ，( 和 为 ， 对应的参数)，

故:  ， ，

所以 .………………………………10分

23.【答案】 解：（1）当 时，不等式即 ，等价于  

或 或

解得 或 或

即不等式 的解集为 .…………………………5分

（2）当 时， ，不等式 可化为 ，

若存在 ，使得 ，则 ，

所以 的取值范围为 ……………………………………10分