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江西省萍乡市上栗县上栗中学2020届高三第二次模拟考试数学（理科）试题
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数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ）
A. B.1 C. D.2
4.已知为抛物线C：（）上一点，抛物线C的焦点为F，则（ ）
A.2 B. C.3 D.
5.将函数的图像向左平移个单位得到函数，则函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.若（）能被9整除，则的最小值为（ ）
А.3 B.4 C.5 D.6
8.第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质，其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱，它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ）
A. B. C. D.
9.已知双曲线E：（，）的左右焦点分别为，，以原点O为圆心，为半径的圆与双曲线E的右支相交于A，B两点，若四边形为菱形，则双曲线E的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）
A. B. C. D.
11.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为，，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
12.已知函数，，，，给出以下四个命题：①为偶函数；②为偶函数；的最小值为0；④有两个零点.其中真命题的是（ ）
A.②④ B.①③ C.①③④ D.①④
第Ⅱ卷（非选择题90分）
考生注意：
本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，学生根据要求作答.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知向量，满足，，，则与的夹角为______.
14.设x，y满足约束条件，则的最大值是______.
15.如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为______.
16.已知单调数列的前n项和为，若，则首项的取值范围是______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.已知.
（Ⅰ）求证：a，b，c成等差数列；
（Ⅱ）若，，求a，c的值
18.（本小题满分12分）
如图所示的几何体中，四边形是矩形，四边形是梯形，，且，，平面平面.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，二面角为，求的值.
19.（本小题满分12分）
在直角坐标系中，已知椭圆C：（）的离心率为，左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，，的中点分别为E，F，的周长为.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设的重心为G，若，求直线l的方程.
20.（本小题满分12分）
己知函数（）.
（Ⅰ）若，求的单调性和极值
（Ⅱ）若函数至少有1个零点，求a的取值范围.
21.（本小题满分12分）
羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发球权.每一局中，获胜规则如下：①率先得到21分的一方赢得该局比赛；②如果双方得分出现，需要领先对方2分才算该局获胜；③如果双方得分出现，先取得30分的一方该局获胜.现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为p；乙发球时，甲得分的概率为q.
（Ⅰ）若，记“甲以（，）赢一局”的概率为，试比较与的大小；
（Ⅱ）根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如右列联表部分数据，若不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为p，q的值.
①完成列联表，并判断是否有的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？
甲得分
乙得分
总计
甲发球
50
100
乙发球
60
90
总计
190
②已知在某局比赛中，双方战成，且轮到乙发球，记双方再战X回合此局比赛结束，求X的分布列与期望.
参考公式：，其中.
临界值表供参考：
P（）
0.15
0.10
0.05
0.010
0.001
k
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标系中，曲线E的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，（），交曲线E于点A，B，交曲线E于点C，D.
（Ⅰ）求曲线E的普通方程及极坐标方程；
（Ⅱ）求的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数的最大值为m.
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c为正数，且，求证：.
理科数学答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（C）
A. B. C. D.
解：，，故选C.
2.已知复数z满足，则（D）
A. B. C. D.
解：，故选D.
3.已知等比数列的前n项和为，且，，则（A）
A. B.1 C. D.2
解：法一：依题意知，，两式相除得，解得，，故选A.
法二：依题意得，，，故选A
4.已知为抛物线C：（）上一点，抛物线C的焦点为F，则（B）
A.2 B. C.3 D.
解：将代入抛物线C的方程，可得，则，故选B
5.将函数的图像向左平移个单位得到函数，则函数的图像大致为（D）
A. B.
C. D.
解：依题意得，则，，，显然该函数为奇函数，且当时，，故选D.
6.已知，则下列结论正确的是（C）
A. B. C. D.
解：法一：对于选项A：，错误；对于选项B：，，错误；对于选项C：，在上单调递减，由得，；，在上单调递增，由得，；，正确；故选C.
法二：取，，则，，显然，故A选项错误：，，显然，故B选项错误：，，显然，故C选项正确；，，显然，故D选项错误；故选C.
7.若（）能被9整除，则的最小值为（B）
А.3 B.4 C.5 D.6
解：，其中能被9整除，能被9整除，则当时，最小，且能被9整除，故选B.
8.第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质，其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱，它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（C）
A. B. C. D.
解：依题意得“斗冠”的高为米，如图，，，为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，，，，，，故选C.
9.已知双曲线E：（，）的左右焦点分别为，，以原点O为圆心，为半径的圆与双曲线E的右支相交于A，B两点，若四边形为菱形，则双曲线E的离心率为（A）
A. B.
C. D.
解：如图，∵四边形为菱形，，又是圆O的直径，，，，故选A.
10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（D）
A. B. C. D.
解：依题意得所拨数字共有种可能，若上珠拨的是千位档或百位档，则有种；若上珠拨的是个位档或十位档，则有种，则所拨数字大于200的概率为，故选D.
11.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为，，，，则（B）
A.
B.
C.
D.
解：正n边形的中心运动轨迹是由n段圆弧组成，每段圆弧的圆心角为，每段圆弧的半径r为顶点到中心的距离，所以当它们滚动一周时，中心运动轨迹长，圆的中心运动轨迹长也为，依题意得边长均为1的正方形、正五边形、正六边形的顶点到中心距离及圆的半径满足，，故选B.
12.已知函数，，，，给出以下四个命题：①为偶函数；②为偶函数；的最小值为0；④有两个零点.其中真命题的是（C）
A.②④ B.①③ C.①③④ D.①④
解：，，为偶函数，①正确；
的定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，②错误；
，∴当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，.考查函数，令，，则或，当时，单调递增，单调递减，单调递减；当时，单调递增，单调递增，单调递增，时，，又为偶函数，时，，③正确，考查函数，令得，，，又，，直线与函数恰有两个交点，故有两个零点，④正确.故选C.
第Ⅱ卷（非选择题90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，学生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，满足，，，则与的夹角为.
解：，，，，与的夹角为.
14.设x，y满足约束条件，则的最大值是.
解：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过时取得最大值，即，
15.如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为.
解：设O为正方形的中心，的中点为M，连接，，，则，，，如图，在截面中，设N为球与平面的切点，则N在上，且，设球的半径为R，则，，，则，，，设球与球相切于点Q，则，设球的半径为r，同理可得，，故小球的体积.
16.已知单调数列的前n项和为，若，则首项的取值范围是.
解：当时，，，当时，，，两式相减得①.，，
当时，②，①②得，
数列从第2项起，偶数项成公差为2的等差数列，从第3项起，奇数项成公差为2的等差数列，
数列单调递增，则满足，，解得.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.已知.
（Ⅰ）求证：a，b，c成等差数列；
（Ⅱ）若，，求a，c的值
解：（Ⅰ）证明：，
，
，即
由正弦定理得，即a，b，c成等差数列
（Ⅱ），B为锐角，
，，
由余弦定理得，即
由得，
18.（本小题满分12分）
如图所示的几何体中，四边形是矩形，四边形是梯形，，且，，平面平面.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，二面角为，求的值.
解：（Ⅰ）取的中点E，连接，，，
是矩形，，又平面平面，平面
又平面，
又，平面，，平面
，且，，四边形为平行四边形，
，四边形为平行四边形，
平面，又平面，平面平面
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，以E为原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设，，，，，则，，，，
易知平面的一个法向量为
设为平面的法向量，由得，
令，得
，解得，
19.（本小题满分12分）
在直角坐标系中，已知椭圆C：（）的离心率为，左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，，的中点分别为E，F，的周长为.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设的重心为G，若，求直线l的方程.
解：（Ⅰ），
连接，，，O分别为，的中点，，，
同理，
的周长为，，
又，.椭圆C的标准方程为.
（Ⅱ）过点且斜率不为0，可设l的方程为，设，，
由得
，
，又，，即
令，解得
直线l的方程为或
20.（本小题满分12分）
己知函数（）.
（Ⅰ）若，求的单调性和极值
（Ⅱ）若函数至少有1个零点，求a的取值范围.
解：（Ⅰ）法一：当时，，
当时，，，，
当时，，，
在上单调递减，在上单调递增.
在处取得极小值，极小值为，无极大值.
法二：当时，，
在上单调递增，且，
当时，；当时，
在上单调递减，在上单调递增
在处取得极小值，极小值为，无极大值
（Ⅱ），由得
令，则
由得.
令，当时，，在单调递增，
，，存在，使得
且当时，，即，当时，，即
，，当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增
在处取得最小值
，，即，
，即
当时，函数无零点，
当时，，函数至少有1个零点，
故a的取值范围是
21.（本小题满分12分）
羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发球权.每一局中，获胜规则如下：①率先得到21分的一方赢得该局比赛；②如果双方得分出现，需要领先对方2分才算该局获胜；③如果双方得分出现，先取得30分的一方该局获胜.现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为p；乙发球时，甲得分的概率为q.
（Ⅰ）若，记“甲以（，）赢一局”的概率为，试比较与的大小；
（Ⅱ）根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如右列联表部分数据，若不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为p，q的值.
①完成列联表，并判断是否有的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？
甲得分
乙得分
总计
甲发球
50
100
乙发球
60
90
总计
190
②已知在某局比赛中，双方战成，且轮到乙发球，记双方再战X回合此局比赛结束，求X的分布列与期望.
参考公式：，其中.
临界值表供参考：
P（）
0.15
0.10
0.05
0.010
0.001
k
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
解：（Ⅰ）甲以（，）获胜，则在这个回合的争夺中，前个回合里，甲赢下20个回合，输掉i个回合，且最后一个回合必需获胜.
，
，
（Ⅱ）①列联表如
甲得分
乙得分
总计
甲发球
50
50
100
乙发球
60
30
90
总计
110
80
190
，有的把握认为“比赛得分与接、发球有关”
②由列联表知，，此局比赛结束，比分可能是，，，
，4，5
若比分为，则甲获胜概率为，乙获胜概率为，，
若比分为，则甲获胜的情况可能为：甲乙甲甲，乙甲甲甲，其概率，
乙获胜的情况可能为：甲乙乙乙，乙甲乙乙，其概率，
，
若比分为，则，
X的分布列为
X
2
4
5
P
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标系中，曲线E的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，（），交曲线E于点A，B，交曲线E于点C，D.
（Ⅰ）求曲线E的普通方程及极坐标方程；
（Ⅱ）求的值.
解：（Ⅰ）由E的参数方程（为参数），知曲线E是以为圆心，半径为2的圆，
曲线E的普通方程为
令，得，
即曲线E极坐标方程为
（Ⅱ）依题意得，根据勾股定理，，
分将，代入中，得，
设点A，B，C，D所对应的极径分别为，，，，则，，，
23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数的最大值为m
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c为正数，且，求证：.
解：（Ⅰ）的定义域为，
，
当且仅当，即或时取等号
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，，
相加得，当且仅当时取等号.
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ）
A. B.1 C. D.2
4.已知为抛物线C：（）上一点，抛物线C的焦点为F，则（ ）
A.2 B. C.3 D.
5.将函数的图像向左平移个单位得到函数，则函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.若（）能被9整除，则的最小值为（ ）
А.3 B.4 C.5 D.6
8.第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质，其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱，它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ）
A. B. C. D.
9.已知双曲线E：（，）的左右焦点分别为，，以原点O为圆心，为半径的圆与双曲线E的右支相交于A，B两点，若四边形为菱形，则双曲线E的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）
A. B. C. D.
11.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为，，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
12.已知函数，，，，给出以下四个命题：①为偶函数；②为偶函数；的最小值为0；④有两个零点.其中真命题的是（ ）
A.②④ B.①③ C.①③④ D.①④
第Ⅱ卷（非选择题90分）
考生注意：
本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，学生根据要求作答.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知向量，满足，，，则与的夹角为______.
14.设x，y满足约束条件，则的最大值是______.
15.如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为______.
16.已知单调数列的前n项和为，若，则首项的取值范围是______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.已知.
（Ⅰ）求证：a，b，c成等差数列；
（Ⅱ）若，，求a，c的值
18.（本小题满分12分）
如图所示的几何体中，四边形是矩形，四边形是梯形，，且，，平面平面.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，二面角为，求的值.
19.（本小题满分12分）
在直角坐标系中，已知椭圆C：（）的离心率为，左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，，的中点分别为E，F，的周长为.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设的重心为G，若，求直线l的方程.
20.（本小题满分12分）
己知函数（）.
（Ⅰ）若，求的单调性和极值
（Ⅱ）若函数至少有1个零点，求a的取值范围.
21.（本小题满分12分）
羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发球权.每一局中，获胜规则如下：①率先得到21分的一方赢得该局比赛；②如果双方得分出现，需要领先对方2分才算该局获胜；③如果双方得分出现，先取得30分的一方该局获胜.现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为p；乙发球时，甲得分的概率为q.
（Ⅰ）若，记“甲以（，）赢一局”的概率为，试比较与的大小；
（Ⅱ）根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如右列联表部分数据，若不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为p，q的值.
①完成列联表，并判断是否有的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？
甲得分
乙得分
总计
甲发球
50
100
乙发球
60
90
总计
190
②已知在某局比赛中，双方战成，且轮到乙发球，记双方再战X回合此局比赛结束，求X的分布列与期望.
参考公式：，其中.
临界值表供参考：
P（）
0.15
0.10
0.05
0.010
0.001
k
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标系中，曲线E的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，（），交曲线E于点A，B，交曲线E于点C，D.
（Ⅰ）求曲线E的普通方程及极坐标方程；
（Ⅱ）求的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数的最大值为m.
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c为正数，且，求证：.
理科数学答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（C）
A. B. C. D.
解：，，故选C.
2.已知复数z满足，则（D）
A. B. C. D.
解：，故选D.
3.已知等比数列的前n项和为，且，，则（A）
A. B.1 C. D.2
解：法一：依题意知，，两式相除得，解得，，故选A.
法二：依题意得，，，故选A
4.已知为抛物线C：（）上一点，抛物线C的焦点为F，则（B）
A.2 B. C.3 D.
解：将代入抛物线C的方程，可得，则，故选B
5.将函数的图像向左平移个单位得到函数，则函数的图像大致为（D）
A. B.
C. D.
解：依题意得，则，，，显然该函数为奇函数，且当时，，故选D.
6.已知，则下列结论正确的是（C）
A. B. C. D.
解：法一：对于选项A：，错误；对于选项B：，，错误；对于选项C：，在上单调递减，由得，；，在上单调递增，由得，；，正确；故选C.
法二：取，，则，，显然，故A选项错误：，，显然，故B选项错误：，，显然，故C选项正确；，，显然，故D选项错误；故选C.
7.若（）能被9整除，则的最小值为（B）
А.3 B.4 C.5 D.6
解：，其中能被9整除，能被9整除，则当时，最小，且能被9整除，故选B.
8.第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质，其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱，它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（C）
A. B. C. D.
解：依题意得“斗冠”的高为米，如图，，，为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，，，，，，故选C.
9.已知双曲线E：（，）的左右焦点分别为，，以原点O为圆心，为半径的圆与双曲线E的右支相交于A，B两点，若四边形为菱形，则双曲线E的离心率为（A）
A. B.
C. D.
解：如图，∵四边形为菱形，，又是圆O的直径，，，，故选A.
10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（D）
A. B. C. D.
解：依题意得所拨数字共有种可能，若上珠拨的是千位档或百位档，则有种；若上珠拨的是个位档或十位档，则有种，则所拨数字大于200的概率为，故选D.
11.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为，，，，则（B）
A.
B.
C.
D.
解：正n边形的中心运动轨迹是由n段圆弧组成，每段圆弧的圆心角为，每段圆弧的半径r为顶点到中心的距离，所以当它们滚动一周时，中心运动轨迹长，圆的中心运动轨迹长也为，依题意得边长均为1的正方形、正五边形、正六边形的顶点到中心距离及圆的半径满足，，故选B.
12.已知函数，，，，给出以下四个命题：①为偶函数；②为偶函数；的最小值为0；④有两个零点.其中真命题的是（C）
A.②④ B.①③ C.①③④ D.①④
解：，，为偶函数，①正确；
的定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，②错误；
，∴当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，.考查函数，令，，则或，当时，单调递增，单调递减，单调递减；当时，单调递增，单调递增，单调递增，时，，又为偶函数，时，，③正确，考查函数，令得，，，又，，直线与函数恰有两个交点，故有两个零点，④正确.故选C.
第Ⅱ卷（非选择题90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，学生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，满足，，，则与的夹角为.
解：，，，，与的夹角为.
14.设x，y满足约束条件，则的最大值是.
解：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过时取得最大值，即，
15.如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为.
解：设O为正方形的中心，的中点为M，连接，，，则，，，如图，在截面中，设N为球与平面的切点，则N在上，且，设球的半径为R，则，，，则，，，设球与球相切于点Q，则，设球的半径为r，同理可得，，故小球的体积.
16.已知单调数列的前n项和为，若，则首项的取值范围是.
解：当时，，，当时，，，两式相减得①.，，
当时，②，①②得，
数列从第2项起，偶数项成公差为2的等差数列，从第3项起，奇数项成公差为2的等差数列，
数列单调递增，则满足，，解得.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.已知.
（Ⅰ）求证：a，b，c成等差数列；
（Ⅱ）若，，求a，c的值
解：（Ⅰ）证明：，
，
，即
由正弦定理得，即a，b，c成等差数列
（Ⅱ），B为锐角，
，，
由余弦定理得，即
由得，
18.（本小题满分12分）
如图所示的几何体中，四边形是矩形，四边形是梯形，，且，，平面平面.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，二面角为，求的值.
解：（Ⅰ）取的中点E，连接，，，
是矩形，，又平面平面，平面
又平面，
又，平面，，平面
，且，，四边形为平行四边形，
，四边形为平行四边形，
平面，又平面，平面平面
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，以E为原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设，，，，，则，，，，
易知平面的一个法向量为
设为平面的法向量，由得，
令，得
，解得，
19.（本小题满分12分）
在直角坐标系中，已知椭圆C：（）的离心率为，左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，，的中点分别为E，F，的周长为.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设的重心为G，若，求直线l的方程.
解：（Ⅰ），
连接，，，O分别为，的中点，，，
同理，
的周长为，，
又，.椭圆C的标准方程为.
（Ⅱ）过点且斜率不为0，可设l的方程为，设，，
由得
，
，又，，即
令，解得
直线l的方程为或
20.（本小题满分12分）
己知函数（）.
（Ⅰ）若，求的单调性和极值
（Ⅱ）若函数至少有1个零点，求a的取值范围.
解：（Ⅰ）法一：当时，，
当时，，，，
当时，，，
在上单调递减，在上单调递增.
在处取得极小值，极小值为，无极大值.
法二：当时，，
在上单调递增，且，
当时，；当时，
在上单调递减，在上单调递增
在处取得极小值，极小值为，无极大值
（Ⅱ），由得
令，则
由得.
令，当时，，在单调递增，
，，存在，使得
且当时，，即，当时，，即
，，当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增
在处取得最小值
，，即，
，即
当时，函数无零点，
当时，，函数至少有1个零点，
故a的取值范围是
21.（本小题满分12分）
羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发球权.每一局中，获胜规则如下：①率先得到21分的一方赢得该局比赛；②如果双方得分出现，需要领先对方2分才算该局获胜；③如果双方得分出现，先取得30分的一方该局获胜.现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为p；乙发球时，甲得分的概率为q.
（Ⅰ）若，记“甲以（，）赢一局”的概率为，试比较与的大小；
（Ⅱ）根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如右列联表部分数据，若不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为p，q的值.
①完成列联表，并判断是否有的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？
甲得分
乙得分
总计
甲发球
50
100
乙发球
60
90
总计
190
②已知在某局比赛中，双方战成，且轮到乙发球，记双方再战X回合此局比赛结束，求X的分布列与期望.
参考公式：，其中.
临界值表供参考：
P（）
0.15
0.10
0.05
0.010
0.001
k
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
解：（Ⅰ）甲以（，）获胜，则在这个回合的争夺中，前个回合里，甲赢下20个回合，输掉i个回合，且最后一个回合必需获胜.
，
，
（Ⅱ）①列联表如
甲得分
乙得分
总计
甲发球
50
50
100
乙发球
60
30
90
总计
110
80
190
，有的把握认为“比赛得分与接、发球有关”
②由列联表知，，此局比赛结束，比分可能是，，，
，4，5
若比分为，则甲获胜概率为，乙获胜概率为，，
若比分为，则甲获胜的情况可能为：甲乙甲甲，乙甲甲甲，其概率，
乙获胜的情况可能为：甲乙乙乙，乙甲乙乙，其概率，
，
若比分为，则，
X的分布列为
X
2
4
5
P
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标系中，曲线E的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，（），交曲线E于点A，B，交曲线E于点C，D.
（Ⅰ）求曲线E的普通方程及极坐标方程；
（Ⅱ）求的值.
解：（Ⅰ）由E的参数方程（为参数），知曲线E是以为圆心，半径为2的圆，
曲线E的普通方程为
令，得，
即曲线E极坐标方程为
（Ⅱ）依题意得，根据勾股定理，，
分将，代入中，得，
设点A，B，C，D所对应的极径分别为，，，，则，，，
23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数的最大值为m
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c为正数，且，求证：.
解：（Ⅰ）的定义域为，
，
当且仅当，即或时取等号
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，，
相加得，当且仅当时取等号.
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