江西省萍乡市上栗县上栗中学2020届高三第二次模拟考试数学（文科）试题

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.

第Ⅰ卷（选择题60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知复数z满足，则（    ）

A. B. C. D.

3.已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ）

A.7 B.9 C.11 D.14

4.已知，则（    ）

A. B. C. D.2

5.已知，则下列结论正确的是（    ）

A. B. C. D.

6.将函数的图像向左平移个单位得到函数，则函数的图像大致为（    ）

A. B.

C. D.

7.如图，圆柱的轴截面为边长为2的正方形，过且与截面垂直的平面截该圆柱表面所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为（    ）

A.1  B.

C.2  D.

8.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（    ）

A.8 B. C. D.13

9.在平面直角坐标系中，已知双曲线E：（，）的右焦点F，若存在平行于x轴的直线l，与双曲线E相交于A，B两点，使得四边形为菱形，则该双曲线E的离心率为（    ）

A. B. C. D.

10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（    ）

A. B. C. D.

11.已知函数（）有两个零点，则a的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

12.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为，，，，则（    ）

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷（非选择题90分）

考生注意：

本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，学生根据要求作答.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.已知向量，满足，，，则与的夹角为______.

14.设x，y满足约束条件，则的最大值是______.

15.中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为______.

16.如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为______.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

已知数列满足，，.

（Ⅰ）求证：为等比数列；

（Ⅱ）求的通项公式.

18.（本小题满分12分）

指数（身体质量指数，英文为Body Mass Index，简称）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，

体重（）/身高（）的平方，根据中国肥胖问题工作组标准，当时为肥胖，某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：

（Ⅰ）求被调查者中肥胖人群的平均值；

（Ⅱ）填写下面列联表，并判断是否有的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.

附：，.

19.（本小题满分12分）

如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且.，平面平面.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，，求几何体的体积.

20.（本小题满分12分）

过点的动直线l与y轴交于点，过点T且垂直于l的直线与直线相交于点M.

（Ⅰ）求M的轨迹方程；

（Ⅱ）设M位于第一象限，以为直径的圆与y轴相交于点N，且，求的值.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（Ⅰ）求的单调性；

（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在直角坐标系中，曲线E的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，（），交曲线E于点A，B，交曲线E于点C，D.

（Ⅰ）求曲线E的普通方程及极坐标方程；

（Ⅱ）求的值.

23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知函数的最大值为m.

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若a，b，c为正数，且，求证：.

文科数学答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.

第Ⅰ卷（选择题60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（C）

A. B. C. D.

解：，，故选C.

2.已知复数z满足，则（D）

A. B. C. D.

解：，故选D.

3.已知等差数列的前n项和为，若，，则（D）

A.7 B.9 C.11 D.14

解：法一：由，，得，解得，，故选D.

法二：，又，，，故选D.

4.已知，则（A）

A. B. C. D.2

解：，，故选A.

5.已知，则下列结论正确的是（B）

A. B. C. D.

解：法一：，，在上单调递增，，在上单调递减，故选B.

法二：取，，则，，，，显然，故选B.

6.将函数的图像向左平移个单位得到函数，则函数的图像大致为（    ）

A. B.

C. D.

解：依题意得，

则，，，显然该函数为奇函数，且当时，，故选D.

7.如图，圆柱的轴截面为边长为2的正方形，过且与截面垂直的平面截该圆柱表面所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为（C）

A.1  B.

C.2  D.

解：为椭圆的长轴，，，短轴长等于圆柱的底面圆直径，即，，，，故选C.

8.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（C）

A.8 B. C. D.13

解：依题意得输出S的值为1，2，3，5，8，13的平均数，即，故选C.

9.在平面直角坐标系中，已知双曲线E：（，）的右焦点F，若存在平行于x轴的直线l，与双曲线E相交于A，B两点，使得四边形为菱形，则该双曲线E的离心率为（B）

A. B. C. D.

解：如图，由对称性知，为边长为c的等边三角形，在双曲线E上，，，，解得，故选B.

10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（C）

A. B. C. D.

解：依题意得所拨数字可能为610，601，511，160，151，115，106，1，16，共9个，其中有5个是奇数，则所拨数字为奇数的概率为，故选C.

11.已知函数（）有两个零点，则a的取值范围是（B）

A. B. C. D.

解：（），当时，，在上单调递增，不合题意，

当时，时，；时，，在上单调递减，在上单调递增，，依题意得，取，，

则，，且，，令，则，在上单调递增，，，故a的取值范围是，故选B.

12.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为，，，，则（B）

A.

B.

C.

D.

解：正n边形的中心运动轨迹是由n段圆弧组成，每段圆弧的圆心角为，每段圆弧的半径r为顶点到中心的距离，所以当它们滚动一周时，中心运动轨迹长，圆的中心运动轨迹长也为，依题意得边长均为1的正方形、正五边形、正六边形的顶点到中心距离及圆的半径满足，，故选B.

第Ⅱ卷（非选择题90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，学生根据要求作答.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.已知向量，满足，，，则与的夹角为.

解：，，，，与的夹角为.

14.设x，y满足约束条件，则的最大值是.

解：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过时取得最大值，即，

15.中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为2.

解：由余弦定理知，，，.

16.如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为.

解：设O为正方形的中心，的中点为M，连接，，，则，，，如图，在截面中，设N为球与平面的切点，则N在上，且，设球的半径为R，则，，，则，，，设球与球相切于点Q，则，设球的半径为r，同理可得，，故小球的体积.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

已知数列满足，，.

（Ⅰ）求证：为等比数列；

（Ⅱ）求的通项公式.

解：（Ⅰ）由，得，即

又，

是以为首项，为公比的等比数列

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

，，…，（），

累加得

又，（）

又也符合上式，

18.（本小题满分12分）

指数（身体质量指数，英文为Body Mass Index，简称）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，

体重（）/身高（）的平方，根据中国肥胖问题工作组标准，当时为肥胖，某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：

（Ⅰ）求被调查者中肥胖人群的平均值；

（Ⅱ）填写下面列联表，并判断是否有的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.

附：，.

解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，200名高血压患者中，值在的人数为，在的人数为，在的人数为

1000名非高血压患者中，值在的人数为，在的人数为，在的人数为

被调查者中肥胖人群的平均值

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，200名高血压患者中，有人肥胖，人不肥胖

1000名非高血压患者中，有人肥胖，人不肥胖.

有的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关

19.（本小题满分12分）

如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且.，平面平面.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，，求几何体的体积.

解：（Ⅰ）取的中点E，连接，，，

是正方形，，又平面平面，平面，

又平面，

又，平面，，平面

，四边形为平行四边形，，四边形为平行四边形

，平面

又平面，平面平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）知所求几何体为四棱锥和直三棱柱的组合体

，，，平面，平面，

四棱锥的体积

直三棱柱的体积

所求几何体的体积

20.（本小题满分12分）

过点的动直线l与y轴交于点，过点T且垂直于l的直线与直线相交于点M.

（Ⅰ）求M的轨迹方程；

（Ⅱ）设M位于第一象限，以为直径的圆与y轴相交于点N，且，求的值.

解：（Ⅰ），，当时，M的坐标为

当时，，，的方程为

由得，

验证当时，也满足

M的坐标满足方程，即M的轨迹方程为

（Ⅱ）法二：设（，），则，，

圆的方程为

令得，即，，即，轴

，，，直线的方程为

联立，消去y整理得，解得或（舍），即

A为抛物线的焦点，

法二：作轴于O，轴于，则

又A为抛物线的焦点，，故圆与y轴相切于点N

，，，直线的方程为

联立，消去y整理得，解得或（舍），即

A为抛物线的焦点，

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（Ⅰ）求的单调性；

（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.

解：（Ⅰ）法一：由，知

当时，，，，此时

当时，，，，此时

在上单调递减，在上单调递增

法二：由，知

令（），则，在上单调递增.

，当时，；当时，

在上单调递减，在上单调递增.

（Ⅱ）不等式等价于

令，则，当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减

又在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，即在处取得最小值

，故实数a的取值范围是

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在直角坐标系中，曲线E的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，（），交曲线E于点A，B，交曲线E于点C，D.

（Ⅰ）求曲线E的普通方程及极坐标方程；

（Ⅱ）求的值.

解：（Ⅰ）由E的参数方程（为参数），知曲线E是以为圆心，半径为2的圆，

曲线E的普通方程为

令，得，

即曲线E极坐标方程为

（Ⅱ）依题意得，根据勾股定理，，

分将，代入中，得，

设点A，B，C，D所对应的极径分别为，，，，则，，，

23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知函数的最大值为m.

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若a，b，c为正数，且，求证：.

解：（Ⅰ）的定义域为，

，

当且仅当，即或时取等号

，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

，，

相加得，当且仅当时取等号.

.