山东省潍坊市昌乐县2020届高三4月高考模拟数学试题

昌乐县2020届高三4月高考模拟

数学试题

2020.4

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则集合

A．    B．    C．    D．

2．设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则

A．      B． 

C．       D．

3．已知，，，则

A．      B．      C．      D．

4．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则

A．，      B．， 

C．，      D．，

5.已知角的终边经过点，则

A.       B.        C.       D.

6．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，……，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则

A.          B．0          C．1007        D．1

7．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，O为坐标原点．P是双曲线在第一象限上的点，直线PO交双曲线C左支于点M，直线交双曲线C右支于另一点N．若，且，则双曲线C的离心率为

A．        B．        C．        D．

8．设是定义在R上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数a的最大值是

A．        B．        C．        D．2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9.设函数，下列关于函数的说法正确的是

A.若，则       B.若为上的增函数，则

C.若，则          D.函数为上的奇函数

10.已知函数，则下列结论正确的是

A.函数的最小正周期为         B.函数的图象是轴对称图形

C.函数的最大值为           D.函数的最小值为

11.已知集合,若对于,,使得成立,则称集合M是“互垂点集”.给出下列四个集合:;;;.其中是“互垂点集”集合的为

A.      B.      C.       D.

12.在三棱锥D-ABC中,AB=BC=CD=DA=1,且AB⊥BC,CD⊥DA,M,N分别是棱的中点,下面结论正确的是

A. AC⊥BD                              B. MN//平面ABD

C.三棱锥A-CMN的体积的最大值为     D.一定不垂直

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.的展开式中的系数是_________．

14.已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为       .

15.F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线交于A，B两点，，分别是该抛物线在A,B两点处的切线,,相交于点C,则____，___．

16.在四棱锥中，是边长为的正三角形，底面为矩形，，。若四棱锥的顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为       .

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）在△ABC中，，，            ，求BC边上的高．

在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18.（12分）如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，，，，的角平分线交于.

（1）求证:平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

19.（12分）设数列的前n项和为,已知,,.

(1)证明:为等比数列,求出的通项公式;

(2)若,求的前n项和,并判断是否存在正整数n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在说明理由.

20.（12分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.

（1）当时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；

（2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由.

21.（12分）椭圆的离心率是，过点做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．

（1）求椭圆E的方程；

（2）当k变化时，在x轴上是否存在点，使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．

22.（12分）已知函数

(1)若是f(x)的导函数,讨论的单调性;

(2)若是自然对数的底数),求证: .

高三数学试题参考答案

2020.4

一、选择题：

BCAA    DDBC

二、多项选择题：

9.AB     10.BCD    11.BD    12.ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 14       14. 10        15. 0，      16.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解：选择①，在△ABC中，由正弦定理得，即，

解得，

由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，

即＝22+c2﹣2×2×c×，

化简得c2﹣2c﹣3＝0，解得c＝3或c＝﹣1（舍去）；

所以BC边上的高为h＝csinB＝3×＝．

选择②，在△ABC中，由正弦定理得，

又因为sinA＝3sinC，所以，即a＝3c；

由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，

即7＝（3c）2+c2﹣2×3c×c×，

化简得7c2＝7，解得c＝1或c＝﹣1（舍去）；

所以BC边上的高为h＝csinB＝1×＝．

选择③，在△ABC中，由a﹣c＝2，得a＝c+2；

由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，

即7＝（c+2）2+c2﹣2×（c+2）×c×，

化简得c2+2c﹣3＝0，解得c＝1或c＝﹣3（舍去）；

所以BC边上的高为h＝csinB＝1×＝．

18.证明：（1）如图，过点作交于，连接，设，连接，，，

又为的角平分线，四边形为正方形，，

又，，，，，又为的中点，

又平面，，平面，

又平面，平面平面，

（2）在中，，，，在中，，，

又，，，，

又，，平面，平面，

故建立如图空间直角坐标系，则，，，

，，，，

设平面的一个法向量为，则，，

令，得,

设平面一个法向量为，

则，

，令，得，

所以，由图示可知二面角是锐角，

故二面角的余弦值为.

19.解：(1)∵，

∴，，

因为，所以可推出．

故，即为等比数列．

∵，公比为2，

∴，即，∵，当时，，也满足此式，

∴；

(2) 因为，，

∴，两式相减得:

即，代入，得．

令()，在成立，

∴，为增函数，

而，所以不存正整数n使得成立．

20.解：（1）某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为,

某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为

某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为.

（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为元，则的可能取值为900，1500.

，

令,则

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减,

的最大值为,

实施此方案，最高费用为（万元），

，故不会超过预算.

21.解：（1）因为椭圆的离心率为，

所以，整理得．

故椭圆的方程为．

由已知得椭圆过点，

所以，解得，

所以椭圆的方程为．

（2）由题意得直线的方程为．

由消去整理得，

其中．

设， 的中点

则，

所以

∴，

∴点C的坐标为．

假设在轴存在点，使得是以为底的等腰三角形，

则点为线段垂直平分线与x轴的交点．

①当时，则过点且与垂直的直线方程，

令，则得．

若，则，

∴．

若，则，

∴．

②当时，则有．

综上可得．

所以存在点满足条件,且m的取值范围是.

22.解：（1）因为，所以，

，

①当，即，所以，且方程在上有一根，故在为增函数，上为减函数.

②当时，方程在上有两个不同根或两等根，

当时，，所以在上减函数，

当时，得，，所以在上增函数，在，上减函数，

当时，得，，所以在上增函数，在，上减函数，

（2）证明：因为，令，则

，

即在是增函数，

下面证明在区间上有唯一零点，

因为，，

因为，所以，，

由零点存在定理可知，在区间上有唯一零点，

在区间上，，是减函数，

在区间上，，是增函数，

故当时，取得最小值，

因为，所以，

所以，

因为，所以，

所以，.