山东省潍坊市临朐县2020届高三综合模拟考试数学试题（一）

高三数学试题（一）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，集合，则集合子集个数是（    ）

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出集合A，集合B，由此求出，从而能求出集合子集个数.

【详解】∵集合，
集合，
.
∴集合子集个数是22＝4.
故选：B.

【点睛】本题考查交集的子集个数的求法，考查集合的交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.己知z为复数，i为虚数单位，若复数为纯虚数，则（    ）

A. 2 B.  C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

设，代入计算，利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出.

【详解】解：设，
∴复数为纯虚数，
.
.
故选：C.

【点睛】本题考查了复数的运算性质、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

3.设p：a，b是正实数，q：，则（    ）

A. p是q的充分条件但不是必要条件

B. p是q的必要条件但不是充分条件

C. p是q的充要条件

D. p既不是q的充分条件，也不是q必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】

举例并结合充分必要条件的判断得答案.

【详解】解：由a，b是正实数，不一定得到，如；
反之，由，不一定得到a，b是正实数，如.
∴p既不是q的充分条件，也不是q必要条件.
故选：D.

【点睛】本题考查不等式的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题.

4.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.古代数学家称直角三角形的较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1～15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

所有的基本事件个数，利用列举法求出勾股数有4个，由此能求出这三个数为勾股数的概率．

【详解】从这15个数中随机选取3个整数，所有的基本事件个数，

其中，勾股数为：（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（5，12，13），共4个，

∴这三个数为勾股数的概率为：．

故选D．

【点睛】本题考查古典概型概率的求法，排列组合等基础知识，考查审题能力，属于基础题．

5.已知，是两个相互垂直的单位向量，且，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意可设，然后根据，即可得出，这样即可得出的坐标，从而可求出的值.

【详解】解：，且，都是单位向量，
∴设，且，，
，
∴，
，
.
故选：A.

【点睛】本题考查了通过设向量的坐标，利用向量的坐标解决向量问题的方法，单位向量的定义，向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题.

6.在的展开式中，含项的系数为（    ）

A.  B. 6 C.  D. 24

【答案】B

【解析】

【分析】

利用二项展开式的通项公式即可得出.

【详解】解：通项公式为：，
的通项公式.
令，则.
∴含项的系数为.
故选：B.

【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

7.双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先求双曲线的一条渐近线为，再利用直线互相垂直得，代入即可.

【详解】双曲线的一条渐近线为，渐近线

与直线垂直，

得，即，代入

故选C

【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，渐近线方程，属于基础题.

8.已知奇函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，设，结合题意求导分析可得函数在上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数为奇函数，进而将不等式转化为，结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得的取值范围，即可得答案.

【详解】根据题意，设，其导数为，
又由时，有，

则有，
则函数在上为减函数，
又由为定义域为的奇函数，
则，则函数为奇函数，

所以函数在上为减函数，
，
所以，
即不等式的解集为.
故选：A.

【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造新函数，并分析其单调性.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.

根据折线图，下列结论错误的是（    ）

A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数

B. 月跑步平均里程逐月增加

C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月

D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳

【答案】ABC

【解析】

【分析】

由折线图的意义、及其统计量即可判断出正误.

【详解】解：A.根据中位数的定义可得：月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，因此A不正确.

B.月跑步平均里程不逐月增加，因此B不正确；

C.月跑步平均里程高峰期大致在10月，因此C不正确.

D.1月至5月的跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，因此D正确.

故选：ABC.

【点睛】本题考查了折线图的意义、及其统计量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

10.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（）

A. 在上的最小值为

B. 在上的最小值为-1

C. 在上的最大值为

D. 在上的最大值为1

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据函数图象的平移可得，结合正弦函数的图像和性质可求最值.

【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数,

,

故选AD.

【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象平移和性质，由定义域求值域，属于中档题.

11.实数，满足，则下列关于的判断正确的是（    ）

A. 的最大值为 B. 的最小值为

C. 的最大值为 D. 的最小值为

【答案】CD

【解析】

分析】

的值相当于曲线上的点与定点的斜率的最值问题，当过的直线与曲线相切时达到最值，而由题意可得曲线为圆心，半径为1的直线，由圆心到直线的距离等于半径求出直线的最值.

【详解】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，

由为圆上的点与定点的斜率的值，

设过点的直线为，即，

圆心到到直线的距离，即，整理可得解得，

所以，即的最大值为，最小值为。

故选：.

【点睛】本题考查了与圆相关的分式型式子的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.

12.如图，在正方体中，点F是线段上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A. 当点F移动至中点时，直线与平面所成角最大且为

B. 无论点F在上怎么移动，都有

C. 当点F移动至中点时，才有与相交于一点，记为点E，且

D. 无论点F在上怎么移动，异面直线与所成角都不可能

【答案】BD

【解析】

【分析】

A，当F为中点时，可求出最大角的余弦值，进而可判断；
B，通过面，可判断；
C，设和相交于点，则，根据相似比可判断；
D，F为中点时，可求出最小角的正切值，进而可判断.

【详解】解：对于A选项，当点F在上移动时，直线与平面所成角由小变大再变小，如图所示，其中点O为在平面上的投影，为直线与平面所成角，，当F为中点时，最小，

则最大角的余弦值为，

最大角大于60°，即A错误；
对于B选项，在正方体中，面，又面，∴，即B正确；
对于C选项，当点F为中点时，也是的中点，与共面于平面，且必相交，设交点为E，连接和，如图所示，

因为，所以，即C错误；
对于D选项，当F从B移至时，异面直线与CD所成角由大变小再变大，且F为中点时，最小角的正切值为，最小角大于30°，即D正确.
故选：BD.

【点睛】本题考查空间立体几何中的综合问题，涉及线面夹角、异面直线夹角、线线垂直等问题，考查学生的空间立体感和推理运算能力，属于中档题.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.已知，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

由可求得，从而可求得.

【详解】解：，
，
.
故答案为：.

【点睛】本题考查二倍角的余弦，关键在于灵活掌握与应用公式，属于基础题.

14.已知定义在上的奇函数满足，且

时，，则的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

先判断的周期为4，结合是奇函数，可得，从而可得结果.

【详解】因为，

所以的周期为4.

又因为是奇函数，

所以，

因为时，，

所以，

，故答案为-2.

【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；

15.已知点在抛物线上，则______；点到抛物线的焦点的距离是______.

【答案】    (1). 2    (2). 2

【解析】

【分析】

将点M坐标代入抛物线方程可得p值，然后由抛物线的定义可得答案.

【详解】点代入抛物线方程得：

，解得：；

抛物线方程为：，准线方程为：，

点M到焦点的距离等于点M到准线的距离：

故答案为2,2

【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题.

16.三棱锥的个顶点在半径为的球面上，平面，是边长为的正三角形，则点到平面的距离为______．

【答案】

【解析】

【分析】

由题意，球心在三棱锥各顶点的距离相等，球心到底面的距离等于三棱锥的高PA的一半，求出PA,，然后利用等体积求点到平面的距离

【详解】△ABC是边长为的正三角形，可得外接圆的半径2r2，即r＝1．

∵PA⊥平面ABC，PA＝h，球心到底面的距离d等于三棱锥的高PA的一半即，

那么球的半径R,解得h=2,又

由 知 ，得 故点到平面的距离为

故答案为．

【点睛】本题考查外接球问题，锥的体积，考查计算求解能力，是基础题

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①，②（），③（）这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由.已知数列为等比数列，，，数列的首项，其前n项和为，______，是否存在，使得对任意，恒成立？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

由数列为等比数列可得，①通过，整理可得，进而可求出数列的通项公式，求出，利用单调性可判断；②由可得数列为等比数列，求出数列的通项公式，求出，利用单调性可判断；③由知数列是等差数列，求出数列的通项公式，求出，利用作差法求最大项即可判断..

【详解】设等比数列的公比为q，因为，所以，

所以，

故.

若选择①，则，则（），两式相减整理得（），又，

所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以

所以

由指数函数的性质知，数列单调递增，没有最大值，

所以不存在，使得对任意，恒成立.

若选择②，则由（），，知数列是首项为1，公比为的等比数列，

所以

所以

因为.当且仅当时取得最大值.

所以存在，使得对任意，恒成立.

若选择③，则由（）知数列是公差为2的等差数列.

又，所以.

设，

则

所以当时，，当时，.

即

所以存在，使得对任意，恒成立.

【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

18.在中，角、、所对的边分别为、、，且.

（1）求的值；

（2）若，且的面积，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理边角互化思想得，然后在等式两边同时除以，利用余弦定理可求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，从而可求出的值；

（2）由正弦定理边角互化思想得出，然后利用三角形的面积公式可求出的值.

【详解】（1）因，故，

，故，

因此，；

（2）因为，故，即，

的面积为，即，故，

解得.

【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.

19.已知的各边长为3，点D，E分别是，上的点，且满足，D为的三等分点（靠近点A），（如图（1）），将沿折起到的位置，使二面角的平面角为，连接，（如图（2））.

（1）求证：平面；

（2）在线段上是否存在点P，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）存在，

【解析】

【分析】

（1）等边中，由已知得到，，由余弦定理算出DE，从而得到，则.结合题意得为二面角的平面角，又二面角为直二面角,利用面面垂直的性质定理，可证出平面；
（2）以D为坐标原点，以射线、、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，通过线面角的向量公式列方程求解即可.

【详解】（1）证明：由图（1）可得：，，.

从而

故得，∴，.

∴，，

∴为二面角的平面角，

又二面角为直二面角，∴，即，

∵且，平面，

∴平面；

（2）存在，由（1）知，平面.

以D为坐标原点，以射线、、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，

过P作交于点H，

设（），则，，，

易知，，，所以.

因为平面，所以平面的一个法向量为

因为直线与平面所成的角为，所以，解得.

∴，满足，符合题意.

所以在线段上存在点P，使直线与平面所成的角为，此时.

【点睛】本题给出平面翻折问题，求证直线与平面垂直并利用空间向量法求直线与平面所成角的问题，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题.

20.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．

（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；

②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．

附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；

②若，则，．

【答案】（1）26.5（2）①0.6826②见解析

【解析】

试题分析：（1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①根据服从正态分布，从而求出；②根据题意得，的可能取值为，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得的数学期望.

试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为：

．

（2）①∵服从正态分布，且，，

∴，

∴落在内的概率是．　

②根据题意得，

；；；；.

∴的分布列为

∴．

21.已知椭圆：过点，且离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知斜率为的直线与椭圆交于两个不同点，点的坐标为，设直线与的倾斜角分别为，证明：．

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】

【分析】

(1)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；

(2)设出直线方程，与椭圆方程联立，将原问题转化为直线斜率的之间关系的问题，然后结合韦达定理即可证得题中的结论.

【详解】（1）由题意得

解得，

所以椭圆的方程为．

（2）设直线，

由消去得，，

解得．

设，

则，

由题意，易知与的斜率存在，所以．

设直线与的斜率分别为，

则，，

要证，即证，

只需证，

∵，，

故，

又，，

所以

，

∴，．

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

22.已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

【分析】

(1)根据的取值对导函数的正负的影响分类讨论即可.

(2)根据题意，需求的最值，结合(1)可得且，于是此式可转化为关于的函数，再利用导数求其最值即可.

【详解】（1）由题意得，

，

令.

①当时，恒成立，则在上单调递减.

②当时，，函数与轴有两个不同的交点，

则，

所以当时，单调递增；

当时，单调递减.

③当时，，函数与轴有两个不同的交点，

则，

所以时，单调递减；

时，单调递增；

时，单调递减.

综上所述：当时，在上单调递减.

当时，时，单调递增；

时，单调递减.

当时，时，单调递减；

时，单调递增；

时，单调递减.

（2）由（1）知：时有两个极值点，

且为方程的两根，

.

.

所以.

所以在时恒成立.

令，则.

令则，

所以在上单调递减.又，

所以在上恒成立，即.所以.

所以在上减函数.所以.

所以，即的取值范围是.

【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的单调性，解决不等式恒成立问题.利用导数讨论函数的单调性时，导函数若是二次型，一般可按二次项系数的正负、判别式的正负、根的大小结合定义域进行讨论.