宁夏银川三沙源上游学校2020届高三下学期模拟考试理科数学试题
展开银川三沙源上游学校2020届高三下学期第二次模拟考试
理科数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.若为纯虚数，则z＝（ ）
A. B. 6i C. D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.
【详解】
∵为纯虚数，
∴且
得，此时
故选：C.
【点睛】本题考查复数的概念与运算，属基础题.
2.已知集合A＝{x∈N|x2＜8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，则＝（ ）
A. {2，3，4，5} B. {2，3，4，5，6}
C {1，2，3，4，5，6} D. {1，3，4，5，6，7}
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合的并集、补集的概念，可得结果.
【详解】集合A＝{x∈N|x2＜8x}＝{x∈N|0＜x＜8}，
所以集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}
B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，
故＝{1，4，5，6}，
所以＝{1，2，3，4，5，6}.
故选：C.
【点睛】本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.
3.已知向量，满足||＝1，||＝2，且与的夹角为120°，则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算，然后将进行平方，，可得结果.
【详解】由题意可得：
∴
∴则.
故选：D.
【点睛】本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。
4.若双曲线：的一条渐近线方程为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值.
【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得.
故选：A
【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.
5.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（ ）
附：若，则，.
A. 0.6826 B. 0.8413 C. 0.8185 D. 0.9544
【答案】C
【解析】
【分析】
根据服从的正态分布可得，，将所求概率转化为，结合正态分布曲线的性质可求得结果.
【详解】由题意，，，则，，
所以，.
故果实直径在内的概率为0.8185.
故选：C
【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.
6.如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
如图，已知，，
∴，解得 ，
∴，解得 .
∴折断后的竹干高为4.55尺
故选B.
7.已知命题：“，”，命题：“，””若“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
通过判断命题p和q的真假，从而求得参数的取值范围.
【详解】解：若命题：“，，为真命题，
则，
若命题：“，”为真命题，
则，解得，
若命题“”为真命题，
则，都是真命题，
则，
解得：．
故实数的取值范围为．
故选A．
【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题，的等价条件是解决本题的关键．
8.已知函数，，且，则（ ）
A. 3 B. 3或7 C. 5 D. 5或8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的对称轴以及函数值，可得结果.
【详解】函数，
若，则的图象关于对称，
又，所以或，
所以的值是7或3.
故选：B.
【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题
9.设函数（e为自然底数），则使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由可得：，结合充分、必要条件的概念得解.
【详解】
解得：
又“”可以推出“”
但“”不能推出“”
所以“”是“” 充分不必要条件.
故选A.
【点睛】本题主要考查了等价转化思想及充分、必要条件的概念，属于基础题．
10.已知直线:与双曲线:(，)交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用点差法列式，化简后求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】设，因为是弦的中点，根据中点坐标公式得.
直线:的斜率为，故.
因为两点在双曲线上，所以，
两式相减并化简得，
所以，所以.
故选：D
【点睛】本小题主要考查点差法的运用，考查双曲线离心率的求法，属于中档题.
11.如图所示，半径为1的圆是正方形的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形内，用表示事件“豆子落在圆内”，表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用几何概型先求出，，再由条件概率公式求出．
【详解】如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，
将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，
用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形阴影部分内”，
则，，．故选B．
【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型、条件概率能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．
【详解】∵，即，
（1）当时，，
当时，，
故当时，在上恒成立；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当函数单增，当函数单减，
故，所以．当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
故选C．
【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上．）
13.函数的图像在处的切线方程为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
对函数求导，把分别代入原函数与导数中分别求出切点坐标与切线斜率，进而求得切线方程．
【详解】，函数的图像在处的切线方程为，即.
【点睛】本题考查导数的几何意义和直线的点斜式，关键求出某点处切线的斜率即该点处的导数值，属于基础题．
14.已知为常数，且，则的二项展开式中的常数项为_______________.
【答案】240
【解析】
【分析】
首先求得a的值，然后结合二项式展开式的通项公式可得常数项.
【详解】由题意可得：，故展开式的通项公式为：，
令可得，故常数项为.
【点睛】本题主要考查定积分的计算，二项式展开式的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15.已知直线与抛物线交于两点，为坐标原点，斜率分别为，则=____________．
【答案】
【解析】
【分析】
联立直线的方程和抛物线的方程，结合根与系数关系求得的值.
【详解】设，则①.
由消去得，所以，
故由①得
故答案为：
【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，属于基础题.
16.已知函数满足，与函数图象的交点为，则=______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据以及的对称性，求得的值.
【详解】由于函数满足，所以函数的图象关于对称，
函数的图象关于对称，故和的交点关于对称，
设.
两式加，可得
，
故答案为：
【点睛】本小题主要考查函数图像的对称性，属于基础题.
三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．）
17.在正项等比数列{}中，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列{}满足，求数列{}的前项和．
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件且可解得公比,再代入通项公式即可得到;
(2)利用错位相减法可求得.
【详解】设正项等比数列{an}的公比为(,
（1）∵∴,所以
∴q＝2，(舍去)
所以；
（2）∵，
∴，①
，②
①﹣②得＝，
∴.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的求法,考查了等差中项,考查了利用错位相减法求和,本题属于基础题.
18.在如图所示的四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.
（1）求证：平面；
（2）已知二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知可得，结合，由直线与平面垂直的判定可得平面；
（2）由（1）知，，则，，两两互相垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，0，，由二面角的余弦值为求解，再由空间向量求解直线与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）证明：因为四边形是等腰梯形，，，所以.又，所以，
因此，，
又，
且，，平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接，，
由于，因此，
又平面，平面，所以.
由于，，平面，
所以平面，故，
所以为二面角的平面角.在等腰三角形中，由于，
因此，又，
因为，所以，所以
以为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系，则，，
，，
设平面的法向量为
所以，即，令，则，，
则平面的法向量，，
设直线与平面所成角为，则
【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题．
19.“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有人，其中男生人，女生人，乙组一共有人，其中男生人，女生人，现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛.
（1）设事件为 “选出的这个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率；
（2）用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列和期望
【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求 . （Ⅱ）先由题得可能取值为,再求x分布列和期望.
【详解】（Ⅰ）
（Ⅱ）可能取值为,
,
,
,
,
的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
.
【点睛】本题主要考查古典概型的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设直线：，，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果.
【详解】（1）设直线方程为：，，
由抛物线焦半径公式可知：
联立得：
则
，解得：
直线的方程为：，即：
（2）设，则可设直线方程为：
联立得：
则
，
，
则
【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.
21.已知函数f(x）=xlnx，g(x)=,
（1）求f(x)的最小值；
（2）对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切，都有成立．
【答案】(1) (2)（ (3)见证明
【解析】
【分析】
（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据函数单调性确定最小值取法；（2）先分离不等式，转化为对应函数最值问题，利用导数求对应函数最值即得结果；（3）构造两个函数，再利用两函数最值关系进行证明.
【详解】（1）
当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数f(x）的最小值为f(）=；
（2）因为所以问题等价于在上恒成立，
记则，
因为，
令
函数f(x）在（0,1）上单调递减;
函数f(x）在（1，+）上单调递增；
即，
即实数a的取值范围为（.
（3）问题等价于证明
由（1）知道
，令
函数在（0,1）上单调递增；
函数在（1，+）上单调递减；
所以{，
因此，因为两个等号不能同时取得，所以
即对一切，都有成立.
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
二、选考题（共10分，请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）
选修4-4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）在曲线上取一点，直线绕原点逆时针旋转，交曲线于点，求的最大值.
【答案】（1）（2）最大值为
【解析】
【分析】
（1）利用消去参数，求得曲线普通方程，再转化为极坐标方程.
（2）设出两点的坐标，求得的表达式，并利用三角恒等变换进行化简，再结合三角函数最值的求法，求得的最大值.
【详解】（1）由消去得曲线的普通方程为.
所以的极坐标方程为，
即.
（2）不妨设，，，，，
则
当时，取得最大值，最大值为.
【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题.
选修4-5：不等式选讲
23.已知函数，．
（）解不等式．
（）若对任意，都有，使得成立，求实数取值范围．
【答案】（1）（2）或．
【解析】
【分析】
（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．
（2）利用条件说明{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．
【详解】（）由，得，
∴，
得不等式的解为．
故解集为：
（）因为任意，都有，使得成立，
所以，
又，
，所以，
解得或，
所以实数的取值范围为或．
【点睛】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．
