宁夏银川一中2020届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题

2020年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

解一元二次不等式求得集合，解不等式求得集合，然后求两个集合的交集.

【详解】由，解得；由，解得，故.故选A.

【点睛】本小题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.

2.复数，若复数， 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可知，据此结合复数的乘法运算法则计算的值即可.

【详解】由题意可知，所以，故选A．

【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数的对称性，属于基础题.

3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增函数是    （   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

试题分析：A：函数为偶函数，在上单调递减，

B：函数为偶函数，在上单调递减，

C：函数为偶函数，在上单调递增，

D：函数为奇函数．

所以综上可得：C正确．

考点：函数奇偶性、函数的单调性．

4.若，，且，则与的夹角是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据相互垂直的向量数量积为零，求出与的夹角.

【详解】由题有，

即，

故，

因为，所以.

故选：B.

【点睛】本题考查了向量的数量积运算，向量夹角的求解，属于基础题.

5.为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的名居民进行模排，各年龄段男、女生人数如下表.已知在小区的居民中随机抽取名，抽到岁~岁女居民的概率是.现用分层抽样的方法在全小区抽取名居民，则应在岁以上抽取的女居民人数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据抽到岁~岁女居民的的概率是，可求出岁~岁女居民的人数， 进而求出岁以上的女居民的人数为，根据全小区要抽取人，再根据分层抽样法，即可求出结果．

【详解】因为在全小区中随机抽取1名，抽到岁~岁女居民的概率是0.19 即：， ∴． 岁以上的女居民的人数为， 现用分层抽样的方法在全小区抽取名居民， 应在应在岁以上抽取的女居民人数为名．

故选：C.

【点睛】本题考查分布的意义和作用，考查分层抽样，属于基础题．

6.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（  ）

A.  B.  C. 27 D. 18

【答案】B

【解析】

【分析】

由题得几何体为正四棱台，再利用棱台的体积公式求解.

【详解】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，

所以几何体体积.

故选B

【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查棱台体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

7.已知，则（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

将问题中的角看作未知角，条件中的角看作已知角，由未知角与已知角的关系，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值.

【详解】因为，

又因为，所以，则有

故选A.

【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.

8.已知数列为等差数列，前项和为，且则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据等差数列的前项和公式和等差中项的概念，即可求出结果.

【详解】因数列为等差数列且，所以.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和公式和等差中项的概念的应用，属于基础题.

9.函数f（x）=的大数图象为（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；再由当时，函数的值小于0，排除B，即可得到答案.

【详解】由题知，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；

又由当时，函数的值小于0，排除B，故选A.

【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

10.在三角形中，，，分别是角，，的对边，若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根据余弦定理，即可求出，然后再根据，即可求出结果.

【详解】由余弦定理可知，，即，所以，所以.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形的中应用，同时考查了三角形面积公式的应用，属于基础题.

11.已知椭圆的两个焦点分别是，，过的直线交椭圆于，两点，若且，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意作出草图，设点，从而由可写出点；再由椭圆第二定义可得，从而可得，从而化简得到 ，再由及椭圆的第二定义可得，从而解得．

【详解】由题意作出草图，如下图所示，

其中是椭圆的准线，设点 ，

∵， ∴点；

又∵ ， ∴，

又∵ ，， ∴ ， 解得，，

∵，∴； 将 代入化简可得，

， 即 ； 解得 (舍去)或 ，所以椭圆的离心率为.

故选：C．

【点睛】本题考查了椭圆的性质应用及数形结合的思想应用，属于中档题．

12.已知定义在上的函数满足，时，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，分析可得，即是周期为的周期函数，结合函数的解析式求出的值，分析可得的值，进而可得，又由，分析可得答案．

【详解】根据题意，函数满足， 则，即是周期为的周期函数，

当时，，则 ，，

又由，则，，

所以，

所以.

故选：D．

【点睛】本题考查函数的周期性的应用，关键是分析函数的周期，属于基础题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设，满足约束条件，则的最小值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

作可行域，结合目标函数所表示的直线确定最优解，解得结果．

【详解】作出 满足约束条件的可行域，如下图：

当直线经过点时，．

故答案为：．

【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属中档题．

14.如图，y=f（x）是可导函数，直线l: y=kx+2是曲线y= f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），其中是g（x）的导函数，则＝       ．

【答案】0

【解析】

试题分析：由题意直线: y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，由图像可知其切点为（3,1）代入直线方程得k=,,所以.

考点：导数的运算.

15.已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e为__________.

【答案】

【解析】

试题分析：由题意可得：双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为，即.

考点：双曲线的定义及性质.

16.如图所示，某住宅小区内有一个正方形草地，现欲在其中修建一个正方形花坛，若已知花坛面积为正方形草地面积的，则________

【答案】或

【解析】

【分析】

设，，用，表示出草地和正方形的面积，根据面积比列出方程得出．

【详解】设，则．

∵花坛面积为正方形草地面积的， ∴ ，即．

∴，解得 或 ，即或者

∴或．

故答案为：或．

【点睛】本题考查了解三角形的实际应用，属于基础题．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分)

17.记为等比数列的前项和，，.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）已知，且的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据等比数列通项公式及求和公式，代入即可求得公比，进而求得通项公式．

（2）根据等比数列的乘积，表示为指数为等差数列求和，进而求得，再根据二次函数的单调性求得最大值即可．

【详解】（1）设的公比为，由题意得：

所以，即

则

所以.

（2）

当或4时，取得最大值，且.

【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，等差数列求和公式的应用及最值求法，属于基础题．

18.在直三棱柱中，是的中点，是上一点.

（1）当时，证明：平面；

（2）若，求三棱锥的体积.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明 与两线垂直，利用线面垂直的判定定理得出 平面 ；（2）若 ，则 ，可求 ，即可求三棱锥 体积.

试题解析：（1）证明：因为是的中点，所以，

在直三棱柱中，因为底面，底面，所以,

因为，所以平面，因为平面，所以.

在矩形中，因为，

所以，所以，所以,

（或通过计算，得到为直角三角形）

所以，因为，所以平面.

（2）解：因为平面，,

因为是的中点，所以，在中，,

所以，

因为，所以，

所以，所以，

所以.

19.某种植物感染病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗病毒的制剂，现对株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：)进行统计规定：植株吸收在（包括）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该株植株样本进行统计，其中“植株存活”的株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共株.

（1）完成以下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？

（2）若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取株，求这株中恰有株“植株存活”的概率.

参考数据：

，其中

【答案】（1）填表见解析；不能在犯错误概率不超过的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关（2）

【解析】

【分析】

（1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；

（2）用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．

【详解】解析：(1)由题意可得“植株存活”的株，“植株死亡”的株；“吸收足量”的株，“吸收不足量”的株，填写列联表如下：

所以不能在犯错误概率不超过的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关

(2)样本中“制剂吸收不足量”有株，其中“植株死亡”的有株，存活的株

设事件：抽取的株中恰有株存活

记存活的植株为，死亡的植株分别为，，，

则选取的株有以下情况：，，，，，，，

共种，其中恰有一株植株存活的情况有种

所以(其他方法酌情给分.)

【点睛】本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．

20.已知动点到定点的距离比到定直线的距离小.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点任意作互相垂直的两条直线，，分别交曲线于点，和，.设线段，的中点分别为，，求证：直线恒过一个定点；

（3）在（2）条件下，求面积的最小值.

【答案】（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

【分析】

（1）由题意可知：动点到定点的距离等于到定直线的距离，由此利用抛物线的定义能求出点的轨迹的方程．

（2）设 两点坐标分别为 ，则点的坐标为．由题意可设直线的方程为，，由，得．由此利用根的判别式、韦达定理、直线的斜率、直线方程，结合已知条件能证明直线恒过定点．

（3）求出，利用基本不等式能求出三角形面积的最小值．

【详解】解：(1)由题意可知：动点到定点的距离等于到定直线的距离.根据抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线.

，抛物线方程为：

(2)设，两点坐标分别为，，则点的坐标为.

由题意可设直线的方程为.

由，得.

.

因为直线与曲线于，两点，所以，.

所以点的坐标为.由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.

当时，有，此时直线的斜率.

所以，直线的方程为，整理得.

于是，直线恒过定点；

当时，直线的方程为，也过点.

综上所述，直线恒过定点.

(3)可求得.所以面积.

当且仅当时，“”成立，所以面积的最小值为.

【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线恒过定点的证明，考查三角形面积的最小值的求法，考查抛物线、根的判别式、韦达定理、直线的斜率、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

21.已知函数.

（1）若函数在上是减函数，求实数的最小值；

（2）若存在，，使成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质求出导函数的最大值，从而求出的范围即可； （2）问题等价于当时，有，通过讨论的范围，得到函数的单调区间，从而求出的具体范围即可．

【详解】解：已知函数的定义域为.

(1)因为在上为减函数，故在上恒成立，即当时，.

又，

故当，即时，.

所以，于是，故的最小值为.

(2)命题“若存在，使成立”等价于“当时，有”.

由(1)知，当时，，所以.

故问题等价于：“当时，有”

①当时，由(2)知，在上为减函数，

则，故.

②当，时，，由(1)知，函数在上是减函数，，所以，与矛盾，不合题意.

综上，得实数的取值范围.

【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.

22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，曲线.

（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 ，的极坐标方程；

（2）若射线(与的异于极点的交点为，与的交点为，求.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由曲线：(为参数)化为普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得 ，的极坐标方程；

（2）分别求得点对应的的极径，根据极经的几何意义，即可求解.

【详解】（1）曲线：(为参数)可化为普通方程：，

由可得曲线的极坐标方程为，

曲线的极坐标方程为.

（2）射线与曲线的交点的极径为，

射线与曲线的交点的极径满足，解得，

所以.

【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

23.已知关于的不等式有解，记实数的最大值为.

（1）求值；

（2）正数满足，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用绝对值不等式可求得，所以，解这个不等式可求得.（2）由（1）得，将此式乘以要证明不等式的左边，化简后利用基本不等式可求得最小值为.

试题解析：（1）,

若不等式有解，

则满足，解得，

∴.

（2）由（1）知正数满足，

∴

.当且仅当，时，取等号.