宁夏石嘴山市第三中学2020届高三第三次模拟考试数学（文）试题
展开石嘴山三中2020届高三年级第三次模拟考试
数学（文科）试卷
一、选择题
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出集合，由此能求出．
【详解】集合，2，3，，
，，4，9，，
，．
故选：．
【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
按照复数的运算规则进行运算即可.
【详解】.
故选：D
【点睛】本题考查复数的基本运算，属于基础题.
3.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用“分段法”比较出三者的大小关系.
【详解】因为，，，所以.
故选：C
【点睛】本小题主要考查指数、对数比较大小，属于基础题.
4.“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
首先将化简可得，然后根据充分条件和必要条件即可得到答案
【详解】由得，
因为在上单调递增，所以，而，所以，
故充分性成立；
而当时，且，
故必要性不成立．
故选：A．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，属于基础题．
5.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
此点取自该圆内接正六边形的概率是正六边形面积除以圆的面积，分别求出即可.
【详解】如图，在单位圆中作其内接正六边形，
该正六边形是六个边长等于半径的正三角形，
其面积，圆的面积为
则所求概率.
故选：B
【点睛】此题考查几何概率模型求解，关键在于准确求出正六边形的面积和圆的面积.
6.如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】C
【解析】
【详解】执行如图程序框图：当n=2，b=1，当n=3，b=2，当n=4，b=4，当n=5，b=16，当n=5则输出b故选C
7.我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，结合三视图求出相应的长度，利用柱体和椎体的体积公式，即可得到答案．
【详解】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，
半圆柱的底面半圆的直径为，高为，故半圆柱的体积为，
三棱柱的底面三角形的一边长为，该边上的高为，该三棱柱的高为，
故该三棱柱体积为，
所以该“柱脚”的体积为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查对三视图所表达的空间几何体的识别及几何体体积的计算．由三视图还原几何体，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化为对应几何体中的线段长度、图形特点，再进行计算．
8.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由辅助角公式将所求的角化为与已知同角，再利用同角间的三角函数关系，即可求解.
详解】，
，
，
.
故选:C.
【点睛】本题考查三角恒等变换、同角间的三角函数关系求值，应用平方关系要注意角的范围判断，属于中档题.
9.已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.
【详解】由成等比数列得，即，已知，解得.
故选：.
【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.
10.在中，角所对的边分别为，若则的面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知式子和正弦定理可得B，再由余弦定理和基本不等式可得ac≤16，代入三角形的面积公式可得最大值．
【详解】∵在△ABC中，
∴（2a﹣c）cosB＝bcosC，
∴（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，
∴2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝sinA，
约掉sinA可得cosB＝，即B＝，
由余弦定理可得16＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，
∴ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，
∴△ABC的面积S＝acsinB＝ac≤
故选A．
【点睛】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．
11.已知奇函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，设，结合题意求导分析可得函数在上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数为偶函数，进而将不等式转化为，结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得，解可得的取值范围，即可得答案.
【详解】根据题意，设，其导数为，
又由时，有，
则有，
则函数在上为减函数，
又由为定义域为的偶函数，
则，则函数为偶函数，
，
又由为偶函数且在上为减函数，且其定义域为，
则有，
解得：或，
即不等式的解集为.
故选：B.
【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造新函数，并分析其单调性.
12.已知椭圆的左右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用直线过椭圆的焦点坐标，可得直线方程，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和的条件，建立的关系式，进而求椭圆的离心率即可．
【详解】椭圆的左右焦点分别为，过且斜率为的直线为
联立直线与椭圆方程
消后，化简可得
因为直线交椭圆于A，B，设
由韦达定理可得
且，可得，代入韦达定理表达式可得
即
化简可得
所以
故选：D．
【点睛】本题考查椭圆简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题．
二、填空题
13.平面向量与的夹角为，，，则__________________．
【答案】
【解析】
【分析】
由计算模．
【详解】由题意，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查求向量的模，考查向量的数量积．求向量的模一般转化为数量积运算，即由公式转化即可．
14.已知点为抛物线的焦点，则点坐标为______；若双曲线（）的一个焦点与点重合，则该双曲线的渐近线方程是____．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据题意直接求出点F的坐标，再双曲线（）的一个焦点与点重合，求出a，得出渐近线方程.
【详解】因为点为抛物线的焦点，2p=8，p=4
双曲线（）的一个焦点与点重合，
渐近线方程为：
故答案为，
【点睛】本题考查了抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，属于基础题.
15.要制作一个容积为，高为的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是元/，侧面造价是元/，则该容器的最低总造价是______元.
【答案】
【解析】
分析】
由已知可得底面面积为，设池底的长为，则宽为，成本为，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值.
【详解】长方体的容积为，高为，底面面积为，
设池底的长为，则宽为，成本为，
则
，当且仅当时，等号成立.
故答案为：160
【点睛】本题考查基本不等式在实际问题中的应用，考查数学建模、数学计算能力，属于基础题.
16.已知函数，则函数图象与直线的交点个数为______.
【答案】
【解析】
【分析】
令，由，求出的值，转化为与交点的个数，画出函数的图像，即可得出结论.
【详解】图象与直线的交点个数，
即为方程解的个数，
设，先解方程的解，
当时，，
解得或（舍去），
当时，，
方程解的个数，
即求与交点的个数，
画出的图象，
可得与有两个交点，
与有一个交点，
所以函数图象与直线的交点个数为3.
故答案为：3.
【点睛】本题考查函数交点与方程解的关系，换元法是解题的关键，数形结合是解题的依赖，考查分类讨论思想以及直观想象能力，属于中档题.
三、解答题
17.设数列的前项和为，且，等差数列满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据，求出的通项公式；由，求出等差数列的公差，即可求出的通项公式；
（2）由的通项公式特征，用错位相减法求出其前项和.
【详解】（1）当时，，
当时，，
也满足上式，所以数列的通项公式，
设等差数列的公差为，则，
又，所以.
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
则，①
，②
由①－②，得
，
所以.
【点睛】本题考查数列前和与通项的关系、等差数列通项公式的基本量计算，以及错位相减法求数列的前项和，考查计算求解能力，属于基础题.
18.下表为年至年某百货零售企业的线下销售额（单位：万元），其中年份代码年份．
年份代码 | ||||
线下销售额 |
（1）已知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测年该百货零售企业的线下销售额；
（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了位男顾客、位女顾客（每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种），其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有人、女顾客有人，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？
参考公式及数据：．
【答案】（1），万元；（2）能.
【解析】
【分析】
（1）先求出，，利用给出的公式求出，可得线性回归方程.代入可得年该百货零售企业的线下销售额.
（2）先根据题设中的数据得到列联表，再根据公式算出的值，最后根据表中数据可得在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关.
【详解】（1）由题易得，，，，
所以，
所以，
所以y关于x的线性回归方程为．
由于，所以当时，，
所以预测年该百货零售企业的线下销售额为万元．
（2）由题可得列联表如下：
| 持乐观态度 | 持不乐观态度 | 总计 |
|
男顾客 |
| |||
女顾客 |
| |||
总计 |
|
故的观测值，
由于，所以可以在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关．
【点睛】本题考查线性回归方程的计算和独立性检验，此类问题属于基础题，解题时注意公式的正确使用.
19.如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，、分别为、的中点.
（I）证明：平面平面；
（II）求三棱锥的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题意，易得，，得证；
（Ⅱ）法一：由题易知，分别求出得出答案；
法二：过作，证明，然后用等体积法求得结果.
【详解】（Ⅰ）证明：由已知 为直角，为的中点，,故是矩形，,,
又分别为的中点. ,
，所以平面．
（Ⅱ）法一：如图所示,
．
法二：过作
．
【点睛】本题主要考查了立体几何的面面平行的判定和体积的求法，属于中档题.
20.已知抛物线：的焦点为，抛物线上的点到准线的最小距离为2.
（1）求抛物线的方程；
（2）若过点作互相垂直的两条直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，，分别为弦，的中点，求的最小值.
【答案】（1）；（2）32.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，解得答案.
（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，联立方程解得，，则，利用均值不等式得到答案.
【详解】（1）因为抛物线上的点到准线的最小距离为2，所以，解得，
故抛物线的方程为.
（2）焦点为，，所以两直线，的斜率都存在且均不为0.
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
故直线的方程为，联立方程组
消去，整理得.
设点，则.
因为为弦的中点，所以.
由，得，故点.
同理可得.
故，.
所以，当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为32.
【点睛】本题考查了抛物线方程，长度的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21.已知函数（为自然对数的底数）
（Ⅰ）若函数的图像在处的切线与直线垂直，求的值；
（Ⅱ）对总有≥0成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（I）求出函数的导数，由函数的图像在处的切线与直线垂直可得，从而求出的值；（II）对总有≥0成立，等价于对上恒成立，设，只需即可，利用导数研究函数的单调性可得时，为增函数，时，为减函数，从而，进而可求出的范围.
试题解析：（Ⅰ）
∴
∵函数的图像在处的切线与直线垂直
∴
（Ⅱ）时
设，，.
令得；令得
∴时，为增函数，时，为减函数，
∴ ∴
22.已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是: （是参数）.
若直线与曲线相交于、两点，且，试求实数值.
设为曲线上任意一点，求的取值范围.
【答案】或；.
【解析】
【分析】
把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离求出值；
把曲线的普通方程化为参数方程，利用三角恒等变换求出的取值范围.
【详解】解：曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为：，直线的直角坐标方程为：.
圆心到直线的距离（弦心距）,
圆心到直线的距离为 ：,
或.
曲线的方程可化为，其参数方程为： （为参数）
为曲线上任意一点，
的取值范围是.
【点睛】本题考查参数方程与极坐标的应用，属于中档题.
23.已知函数，记不等式解集为.
（1）求；
（2）设，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集.
（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立.
【详解】（1）解：，
由，解得，
故.
（2）证明：因为，所以，，
所以，
所以.
【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.
