宁夏六盘山高级中学2020届高三第三次模拟考试数学（文）试题
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文科数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第I卷（选择题)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合后可得.
【详解】因为集合，则，选C
【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如表示函数的定义域，而表示函数的值域，表示函数的图像.
2.若复数满足(i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
由复数模的概念可得，进而可得，运算后即可得解.
【详解】由题意，
所以，
所以复数在复平面内对应的点为，在第四象限.
故选：D.
【点睛】本题考查了复数模的概念、复数的运算与复数的几何意义，考查了运算求解能力，属于基础题.
3.若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据平移规则，得到平移后的解析式，根据正弦函数的图像和性质即可得出对称中心.
【详解】将函数图像向左平移个单位长度后，得到，
令，解得，当时，所以平移后图像一个对称中心可以为.
故选：A
【点睛】本题主要考查正弦型函数的平移变换，求正弦函数对称中心，属于基础题.
4.若双曲线的渐近线为，则其实轴长为（ ）
A. 4 B. C. 8 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知可得双曲线的渐近线为，建立关于的方程，求解即可.
【详解】因为的渐近线方程为，
所以，，
所以双曲线的实轴长为8.
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
5.已知圆：（），直线：，则“”是“上恰有不同的两点到的距离为”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆心到直线距离d，比较d与r的关系即可判断．
【详解】圆：（）
圆心坐标为
则圆心到直线距离为
所以当时恰有两个不同的点到的距离为
当上恰有不同的两点到的距离为时，满足
所以“”是“上恰有不同的两点到的距离为”的充分不必要条件
所以选A
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，充分必要条件的简单应用，属于中档题．
6.若球的半径为，且球心到平面的距离为，则平面截球所得截面圆的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】作出对应的截面图，
∵球的半径R=4,由球心距d=
故截面圆半径
故截面圆面积S=πr2=13π
故选C.
7.已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，可依次判断出三个代数的取值范围，由中间量法比较三数的大小，选出正确选项.
【详解】解：由于，
可得：，
又，
，
故选：B.
【点睛】本题考查指对数以及三角函数值比较大小，三角函数式的取值范围的判断，对数式的取值范围的判断及指数式的取值范围的判断，解题的关键是利用中间量法.
8.甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”（即乙领取的钱数不少于丙、丁）的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用隔板法得到共计有种领法，乙获得“最佳手气”的情况总数，由此能求出乙获得“最佳手气”的概率．
【详解】如下图，利用隔板法，
得到共计有种领法，
乙领2元获得“最佳手气”的情况有2种，
乙领3元获得“最佳手气”的情况有1种，
乙获得“最佳手气”的情况总数，
乙获得“最佳手气”的概率．
故选A．
【点睛】本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
9.执行如图所示的程序框图，输出的结果为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．
【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，
由于．
故选C．
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
10.奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则＝（ ）
A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意和函数的奇偶性，得到函数是周期为4的周期函数，进而利用函数的周期性，求得的值，即可得到答案．
【详解】由题意，奇函数的定义域为R，若为偶函数，
则，
即，则，
即是周期为4的周期函数，
，
，
则，
故选B．
【点睛】本题主要考查了函数的求值问题，其中解答中结合条件判断函数的周期性是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
11.若，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由
得.
故选D.
12.已知实数，，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，对于函数分2段分析：当，由指数函数的性质分析可得①，当，由导数与函数单调性的关系可得，在上恒成立，变形可得②，再结合函数的单调性，分析可得③，联立三个式子，分析可得答案.
【详解】解：根据题意，函数在上单调递增，
当，若为增函数，则①，
当，
若为增函数，必有在上恒成立，
变形可得：，
又由，可得在上单调递减，则，
若在上恒成立，则有②，
若函数在上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，
则需有，③
联立①②③可得：.
故选：D.
【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.
第II卷（非选择题)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，，若，则的取值范围为____.
【答案】
【解析】
【分析】
直接进行向量数量积的坐标运算列出不等式求解即可.
【详解】，解得.
故答案为：
【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题.
14.已知实数，满足则的最大值为__________.
【答案】13
【解析】
【分析】
作出可行域，目标函数可表示为点到原点的距离的平方，数形结合可知OA为此距离的最大值，求出点A坐标即可得解.
【详解】作出可行域如图所示：
目标函数可表示为点到原点的距离的平方，由图可知OA为此距离的最大值，，则.
故答案为：13
【点睛】本题考查线性规划中求平方和型目标函数的最值，理解目标函数的几何意义是解题的关键，属于基础题.
15.如图，在四边形中，，且，则对角线的长为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
设，在中和中，分别应用余弦定理，列出关于的方程，即可求解．
【详解】由题意，设，
由，则，
在中，，由余弦定理得；
在中，，由余弦定理得；
∵，∴．
故答案为
【点睛】本题主要考查了余弦定理，以及四边形的内角和的应用，其中解得中熟练掌握余弦定理，列出方程求解是解本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
16.甲、乙、丙三个同学同时做标号为、、的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下面说法正确的是_____.
（1）三个题都有人做对；（2）至少有一个题三个人都做对；（3）至少有两个题有两个人都做对．
【答案】③
【解析】
【分析】
运用题目所给的条件，进行合情推理，即可得出结论.
【详解】若甲做对、，乙做对、，丙做对、，则题无人做对，所以①错误；
若甲做对、， 乙做对、，丙做对、，则没有一个题被三个人都做对，所以②错误.
做对的情况可分为这三种：三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足③的说法.
故答案是：③.
【点睛】该题考查的是有关推理的问题，属于简单题目.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
必做题：共60分.
17.在等差数列中，已知.
（I）求数列的通项公式；
（II）记为数列的前项和，求的最小值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)30
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列的基本量运算，得到首项和公差，得到通项
（2）根据（1）求出的等差数列，得到其前项和，表示出，然后找到其最小值，注意.
【详解】(Ⅰ)由得，
由，得，
即数列的通项公式为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，
，
令，
,当；当
则在上单调递减，在上单调递增，
又，
当或时，，取到最小值，即的最小值为.
【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，数列的函数性质，属于基础题.
18.已知某企业近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：
（1）试问这3年的前7个月中哪个月的平均利润最高？
（2）通过计算判断这3年前7个月的总利润的发展趋势；
（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 |
利润（单位：百万元） | 4 | 4 | 6 | 6 |
相关公式：，．
【答案】(1)5月和6月平均利润最高；(2)总利润呈上升趋势；(3)940万元.
【解析】
试题分析：
(1)由折线图，通过计算每个月的平均利润可得；
(2)分别计算出第1、2、3年前七个月的总利润，由计算结果即可分析趋势；
(3)由题意将数据代入公式，列出回归方程求解即可．
试题解析：
（1）由折线图可知5月和6月的平均利润最高．
（2）第1年前7个月的总利润为（百万元），
第2年前7个月的总利润为（百万元），
第3年前7个月总利润为（百万元），
所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势．
（3）∵，，，，
∴，
∴，
∴，
当时，（百万元），∴估计8月份的利润为940万元．
19.如图，三棱锥B－ACD的三条侧棱两两垂直，BC＝BD＝2，E，F，G分别是棱CD，AD，AB的中点．
（1）证明：平面ABE⊥平面ACD；
（2）若四面体BEFG的体积为，且F在平面ABE内的正投影为M，求线段CM的长．
【答案】(1)见解析.（2）见解析.
【解析】
试题分析：(1)先证明平面，又平面，可得平面平面.
（2）由（1）知平面，因为平面，所以，结合为的中点，得为的中点，由四面体体的体积为 ，解得，进而可求得.
试题解析：(1)证明：因为，是棱的中点，所以，
又三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，
所以平面，则
因为，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）知平面，因为平面，
所以
又为的中点，所以为的中点，
因为，，
所以四面体体的体积为 ，
则
在中，，，
在中，，.
20.设抛物线的焦点为，准线为，为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦，已知以为直径的圆经过点.
（1）求的值及该圆的方程；
（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.
【答案】（1），圆的方程为：.（2）答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可知点的坐标为，即可求出的值，即可求出该圆的方程；
（2）由题易知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为，与抛物线联立方程组，根据，求得，化简解得，进而求得点的坐标为，分别求出，，利用向量的数量积为0，即可证出.
【详解】解：（1）易知点的坐标为，
所以，解得
又圆的圆心为，
所以圆的方程为.
（2）证明易知，直线的斜率存在且不为0，
设的方程为，
代入的方程，得.
令，得，
所以，解得.
将代入的方程，得，即点的坐标为.
所以，，
.
故.
【点睛】本题考查抛物线的标准方程和圆的方程，考查直线和抛物线的位置关系，利用联立方程组、求交点坐标以及向量的数量积，考查解题能力和计算能力.
21.已知函数．
（1）证明：当时，恒成立；
（2）若函数在R上只有一个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）详见解析（2）或
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，得到函数的最小值为2，即可证明.
（2对a分类讨论，易得a=0时无零点，a<0和a>0时求函数的导数，判断函数的单调性和极值，通过分析特殊点的函数值即可得到结论．
【详解】（1）f′（x）=，
令f′（x）=0，得到x=0,
当x<0时，f′（x）<0，单调递减，
当x>0时，f′（x）>0，单调递增, ∴在x=0处取得最小值.
,
∴.
（2）当a=0时，>0恒成立，无零点，与题意不符；
当a<0时，f′（x）=,在R上单调递增,
又x=时,=-1+a<1-1+a<0,x=1时，=e>0，
根据零点存在性定理，在R上有唯一零点，
当a>0时，f′（x）=
令f′（x）=，x=lna,
，f(x)单减，
，f(x)单增，
在x=lna处取得最小值，f（lna）=a-a(lna-1)=a(2-lna)=0，
Lna=2，所以a=
∴当a<0或a=时，在R上有唯一的零点.
【点睛】本题考查了运用导数求函数的最值，考查了函数的零点的判断，注意运用分类讨论思想，考查逻辑思维能力，具有一定的难度．
选做题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）将的方程化为普通方程，将的方程化为直角坐标方程；
（2）已知直线的参数方程为（，为参数，且），与交于点，与交于点，且，求的值.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）利用参数方程消参，化为普通方程，利用极坐标与平面直角坐标的转换关系将极坐标方程化为平面直角坐标方程即可；
（2）曲线的参数方程为（，为参数，且），将其分别代入两个曲线方程中，分别求得和，结合直线的参数方程中参数的几何意义，得到，结合题意，求得结果.
【详解】（1）曲线消去参数得，
曲线的极坐标方程为，
即化为直角坐标方程为，
即.
（2）把直线的参数方程代入曲线的普通方程得，
∵，∴.同理，把直线的参数方程代入曲线的普通方程得，.，
∵，∴，∴.
综上所述：.
【点睛】该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，利用直线的参数方程中参数的几何意义来解决有关线段长度的问题，属于中档题目.
23.已知函数，其中．
（1）若，求正实数的取值范围；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）．
【解析】
【分析】
（1）把代入，利用零点分段讨论去掉绝对值可求；
（2）恒成立，转化为的最小值，求出最小值可得.
【详解】（1）由题可得，所以，
即或，
解得或，故正实数的取值范围为．
（2）由题可得，
因为，所以，当且仅当时取等号，
因为对任意的，恒成立，所以，
故实数的取值范围为．
【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法和恒成立问题，零点分段讨论法是解不等式的常用方法，恒成立问题一般是利用绝对值的三角不等式来求解.
