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宁夏石嘴山市2020届高三模拟数学（理）试题
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2020年高考（理科）数学二模试卷
一、单选题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|log2x＞1}，则A∩B＝（ ）
A．（2，3） B．（0，3） C．（1，2） D．（0，1）
2．设复数z满足（1+i）z＝3+i，则|z|＝（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知实数1，m，9成等比数列，则椭圆+y2＝1的离心率为（ ）
A．2 B． C．或2 D．或
4．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则＝（ ）
A． B． C． D．9
5．由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测．结合右图，下列说法错误的是（ ）
A．5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加
B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
D．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
6．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）可以为（ ）
A．f （x）＝ B．f （x）＝
C．f （x）＝ D．f （x）＝xe|x|
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．命题“∃x0≤0，2x0≤sinx0”的否定形式是“∀x＞0，2x＞sinx”
B．若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（ξ＞0）＝0.8
D．设x是实数，“x＜0”是“”的充分不必要条件
9．将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则函数y＝f（x）在的值域为（ ）
A．[﹣1，2] B．[﹣1，1] C． D．
10．若双曲线的一条渐近线与函数f（x）＝ln（x+1）的图象相切，则该双曲线离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
11．如图，在四棱锥C﹣ABCD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB＝2OD＝12，AD＝6，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的半径为（ ）
A．3 B．4 C． D．
12．已知函数f（x）＝的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在y＝kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2x2+）5展开式中?4系数为 ．
14．在各项均为正数的等比数列{?n}中，?1＝2，且?2，?4+2，?5成等差数列，记?n是数列{?n}的前n项和，则?6＝
15．已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2＝25截得的弦长为8，则直线L的方程是 ．
16．已知f（x）是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f（x2+2）+f（﹣2x﹣m）只有一个零点，则函数g（x）＝mx+（x＞1）的最小值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD满足AD∥BC，且AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADD1A1；
（Ⅱ）求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值．
18．在△ABC中，角A，B，C对边分别为?，?，?，若2????A＝????B+????A．
（1）求角A；
（2）若2?＝?+?，且△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积．
19．2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：
（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；
（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%．根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值．（结论不要求证明）
20．已知F1，F2分别是椭圆E：的左，右焦点，点在椭圆E上，且抛物线y2＝4x的焦点是椭圆E的一个焦点．
（1）求a，b的值：
（2）过点F2作不与x轴重合的直线l，设l与圆x2+y2＝a2+b2相交于A，B两点，且与椭圆E相交于C，D两点，当时，求△F1CD的面积．
21．已知f（x）＝x2+aex﹣lnx．
（1）设x＝是f（x）的极值点，求实数a的值，并求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求证：f（x）＞．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系x0y中，曲线C1的参数方程为（t为参数且t≠0，a∈[0，π）），曲线C2的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为ρ＝4cosθ．
（1）求C2的普通方程及C3的直角坐标方程；
（2）若曲线C1与曲线C2C3分别交于点A，B，求|AB|的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+a|﹣|x﹣3|（a∈R）．
（1）若a＝﹣1，求不等式f（x）+1＞0的解集；
（2）已知a＞0，若f（x）+3a＞2对于任意x∈R恒成立，求a的取值范围．
参考答案
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|log2x＞1}，则A∩B＝（ ）
A．（2，3） B．（0，3） C．（1，2） D．（0，1）
【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．
解：集合A＝{x|0＜x＜3}＝（0，3），B＝{x|log2x＞1}＝（2，+∞），则A∩B＝（2，3），
故选：A．
2．设复数z满足（1+i）z＝3+i，则|z|＝（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
解：由（1+i）z＝3+i，得z＝，
∴|z|＝．
故选：D．
3．已知实数1，m，9成等比数列，则椭圆+y2＝1的离心率为（ ）
A．2 B． C．或2 D．或
【分析】先根据等比数列中项公式求出m的值，然后根据椭圆的几何性质即可求出离心率．
解：∵实数1，m，9成等比数列，∴m2＝9，即m＝±3，
∵m＞0，∴m＝3，椭圆的方程为，∴a＝，b＝1，c＝
∴离心率为，
故选：B．
4．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则＝（ ）
A． B． C． D．9
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示和数量积运算法则，计算即可．
解：如图所示，边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，
∴•＝2×2×cos60°＝2；又E为BC中点，
∴＝+＝+，且＝+，
∴•＝（+）•（+）
＝+•+＝4+×2+×4＝9．
故选：D．
5．由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测．结合右图，下列说法错误的是（ ）
A．5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加
B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
D．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
【分析】本题结合图形即可得出结果．
解：由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，
而后期是信息服务商处于领先地位，故D项表达错误．
故选：D．
6．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）可以为（ ）
A．f （x）＝ B．f （x）＝
C．f （x）＝ D．f （x）＝xe|x|
【分析】由图象可知，函数的定义域为R，且为奇函数，当x→0时，f（x）→0，结合选项即可得出正确答案．
解：由图象可知，函数的定义域为R，而选项B中函数的定义域为{x|x≠0}，故可排除B；
又函数图象关于原点对称，为奇函数，而选项C不具有奇偶性，故可排除C；
又x→0时，f（x）→0，而选项D当x→+∞时，f（x）→+∞，故可排除D．
故选：A．
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率．
解：有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，
由正方体的结构及锯木块的方法，
可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，
∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：
p＝＝．
故选：C．
8．下列说法正确的是（ ）
A．命题“∃x0≤0，2x0≤sinx0”的否定形式是“∀x＞0，2x＞sinx”
B．若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（ξ＞0）＝0.8
D．设x是实数，“x＜0”是“”的充分不必要条件
【分析】在A中，由特称命题的否定可知：命题“∃x0≤0，2x0≤sinx0”的否定形式是“∀x≤0，2x＞sinx”；在B中，α与β相交或平行；在C中，P（ξ＞0）＝0.4+0.4+0.1＝0.9；在D中，设x是实数，则“x＜0”⇒“”，“”⇒“x＜0或x＞1”．
解：在A中，由特称命题的否定可知：
命题“∃x0≤0，2x0≤sinx0”的否定形式是“∀x≤0，2x＞sinx”，故A错误；
在B中，若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，
如右图的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
平面ADD1A1⊥平面ABCD，平面BCC1B1⊥平面ABCD，平面ADD1A1∥平面BCC1B1；
平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面BCC1B1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1．
故B错误；
在C中，∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），∴正态曲线关于x＝1对称，
∵P（0＜ξ＜1）＝0.4，
∴P（1＜ξ＜2）＝0.4，
∴P（ξ＞2）＝0.5﹣0.4＝0.1，
∴P（ξ＞0）＝0.4+0.4+0.1＝0.9，故C错误；
在D中，设x是实数，则“x＜0”⇒“”，“”⇒“x＜0或x＞1”，
∴“x＜0”是“”的充分不必要条件，故D正确．
故选：D．
9．将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则函数y＝f（x）在的值域为（ ）
A．[﹣1，2] B．[﹣1，1] C． D．
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y＝f（x）在的值域．
解：将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）＝2sin（2x++φ）的图象，
若函数y＝g（x）为偶函数，则 +φ＝，∴φ＝，故函数f（x）＝2sin（2x+）．
∵x∈，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，2sin（2x+）∈[﹣1，2]，
则函数y＝f（x）在的值域为[﹣1，2]，
故选：A．
10．若双曲线的一条渐近线与函数f（x）＝ln（x+1）的图象相切，则该双曲线离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合函数的导数求解切线的斜率，然后推出双曲线的离心率即可．
解：因为双曲线的渐近线过原点，且方程为
函数f（x）＝ln（x+1）图象也过原点，结合图形可知切点就是（0，0），
，
∴．
故选：A．
11．如图，在四棱锥C﹣ABCD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB＝2OD＝12，AD＝6，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的半径为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【分析】首先根据异面直线所成的角得到∠CDO＝30°，求出OC，利用补形法得到长方体的对角线长度即为外接球的直径．
解：由条件可知AB∥OD，所以∠CDO为异面直线CD与AB所成角，
故∠CDO＝30°，而OD＝6，故OC＝ODtan30°＝2，
在直角梯形ABOD中，易得OB＝6，以OB，OC，OD为相邻的三条棱，
补成一个长方体，则该长方体的外接球半径R即为所求的球的半径，
由（2R）2＝（2）2+62+62＝84，故R＝．
故选：C．
12．已知函数f（x）＝的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在y＝kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可化为函数f（x）图象与y＝﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可
解：∵函数f（x）＝的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在y＝kx﹣1的图象上，
而函数y＝kx﹣1关于直线y＝﹣1的对称图象为y＝﹣kx﹣1，
∴f（x）＝的图象与y＝﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，
作函数f（x）＝的图象与y＝﹣kx﹣1的图象如下，
易知直线y＝﹣kx﹣1恒过点A（0，﹣1），
设直线AC与y＝xlnx﹣2x相切于点C（x，xlnx﹣2x），
y′＝lnx﹣1，
故lnx﹣1＝，
解得，x＝1；
故kAC＝﹣1；
设直线AB与y＝x2+x相切于点B（x，x2+x），
y′＝2x+，
故2x+＝，
解得，x＝﹣1；
故kAB＝﹣2+＝﹣；
故﹣1＜﹣k＜﹣，
故＜k＜1；
故选：A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2x2+）5展开式中?4系数为 80 ．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得展开式中x4的系数．
解：∵（2x2+）5展开式的通项公式为Tr+1＝•25﹣r•x10﹣3r，令10﹣3r＝4，求得r＝2，
故展开式中x4的系数为•23＝80，
故答案为：80．
14．在各项均为正数的等比数列{?n}中，?1＝2，且?2，?4+2，?5成等差数列，记?n是数列{?n}的前n项和，则?6＝ 126
【分析】由a2，a4+2，a5成等差数列，可得a2+a5＝2（a4+2），把已知代入解得q．再利用求和公式即可求得?6．
解：设正数的等比数列{an}的公比为q＞0，a1＝2，
∵a2，a4+2，a5成等差数列，
∴a2+a5＝2（a4+2），
∴2q+2q4＝2（2q3+2），解得q＝2．
∵S6＝＝126．
故答案为：126．
15．已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2＝25截得的弦长为8，则直线L的方程是 x＝﹣4和4x+3y+25＝0 ．
【分析】求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦心距，通过直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解，求出直线的方程即可．
解：圆心（﹣1，﹣2），半径r＝5，弦长m＝8，
设弦心距是d，
则由勾股定理，
r2＝d2+（）2
d＝3，
若l斜率不存在，直线是x＝﹣4，
圆心和它的距离是﹣3，符合题意，
若l斜率存在，设直线方程y+3＝k（x+4），
即kx﹣y+4k﹣3＝0，
则d＝＝3，
即9k2﹣6k+1＝9k2+9，
解得k＝﹣，所以所求直线方程为x+4＝0和4x+3y+25＝0，
故答案为：x＝﹣4和4x+3y+25＝0．
16．已知f（x）是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f（x2+2）+f（﹣2x﹣m）只有一个零点，则函数g（x）＝mx+（x＞1）的最小值为 5 ．
【分析】函数的零点转化为方程的根，由函数f（x）的奇偶性和单调性可得f（x2+2）＝f（2x+m）有唯一解，整理可得二次方程由判别式为0解出m的值，代入g（x）中，由均值不等式可得函数g（x）的最小值．
解：函数y＝f（x2+2）+f（﹣2x﹣m）只有一个零点，可得：f（x2+2）+f（﹣2x﹣m）＝0有唯一解，
即f（x2+2）＝﹣f（﹣2x﹣m），
又f（x）是奇函数并且是R上的单调函数，所以f（x2+2）＝f（2x+m），即x2+2＝2x+m，
所以x2﹣2x﹣m+2＝0有唯一解，即△＝4﹣4（﹣m+2）＝0，解得m＝1，
所以函数g（x）＝mx+（x＞1）＝x﹣1++1+1＝5，当且仅当x﹣1＝（x＞1），即x＝3时取等号．
所以函数g（x）＝mx+（x＞1）的最小值为5，
故答案为：5．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD满足AD∥BC，且AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADD1A1；
（Ⅱ）求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥AA1，AB⊥AD，由此能证明AB⊥平面ADD1A1．
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值．
解：（Ⅰ）证明：∵在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，
底面ABCD满足AD∥BC，且AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2．
∴AB⊥AA1，AB2+AD2＝BD2，∴AB⊥AD，
∵AA1∩AD＝A，∴AB⊥平面ADD1A1．
（Ⅱ）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（2，4，0），D1（0，2，2），
＝（2，0，0），＝（0，﹣4，2），＝（﹣2，﹣2，2），
设平面B1CD1的法向量为＝（x，y，z），
则，取y＝1，得＝（1，1，2），
设直线AB与平面B1CD1所成角为θ，
则直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值为：
sinθ＝＝＝．
18．在△ABC中，角A，B，C对边分别为?，?，?，若2????A＝????B+????A．
（1）求角A；
（2）若2?＝?+?，且△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积．
【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cosA，进而可求A；
（2）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求bc，然后结合三角形的面积公式即可求解．
解：（1）因为2ccosA＝acosB+bcosA．
由正弦定理得2sinCcosA＝sinAcosB+sinBcosA，从而可得2sinCcosA＝sinC，
又C为三角形的内角，所以sinC≠0，于是，
又A为三角形内角，因此；
（2）设△ABC的外接圆半径为R，则R＝1，，
由余弦定理得，即3＝12﹣3bc，
所以bc＝3．所以△ABC的面积为：．
19．2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：
（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；
（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%．根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值．（结论不要求证明）
【分析】（I）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，再求出结论即可；
（II）根据题意，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，X＝0，1，2，求出分布列和数学期望；
（III）根据题意，求出即可．
解：（I）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，
在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数约为50×0.1＝5万人；
（II）由图表得，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，
记其中测试成绩在70分以上的人数为X，选出的8名男生中随机抽取2人，则X＝0，1，2，
则P（X＝0）＝，
P（X＝1）＝，
P（X＝2）＝，
X的分布列如下：
x
0
1
2
p
故E（X）＝0，
（III）m的最小值为4．
20．已知F1，F2分别是椭圆E：的左，右焦点，点在椭圆E上，且抛物线y2＝4x的焦点是椭圆E的一个焦点．
（1）求a，b的值：
（2）过点F2作不与x轴重合的直线l，设l与圆x2+y2＝a2+b2相交于A，B两点，且与椭圆E相交于C，D两点，当时，求△F1CD的面积．
【分析】（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义，可求出a，b；
（2）联立直线与圆的方程可以求出t2，再联立直线和椭圆的方程化简，有根与系数的关系的到结论，继而求出面积．
解：（1）∵y2＝4x的焦点为F（1，0），
则F1（﹣1，0），F2（1，0），
∴2a＝|PF1|+|PF2|＝，
解得，c＝1，b＝1．
（2）由已知，可设直线l的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得
（t2+1）y2+2ty﹣2＝0，
易知△＞0，
则，，
∴＝（x1+1）（x2+1）+y1y2＝（ty1+2）（ty2+2）+y1y2＝（t2+1）y1y2+2t（y1+y2）+4＝．
因为，
所以＝1，解得t2＝3．
联立，得（t2+2）y2+2ty﹣1＝0，△＝8（t2+1），
设C（x3，y3），D（x4，y4），则，，
∴＝＝．
21．已知f（x）＝x2+aex﹣lnx．
（1）设x＝是f（x）的极值点，求实数a的值，并求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求证：f（x）＞．
【分析】（1）求得，利用f＝﹣2＝0．求得a＝．再求f（x）的单调区间．
（2）证法1，由（1）可得a＞0时，∃x0∈（0，1）使得f′（x0）＝0，即．f（x）min＝f（x0）＝，（0＜x0＜1）
令．利用导数可得f（x）＞．
方法2，令g（x）＝，（x＞0），利用导数可得．即可得．
解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
又，
∵x＝是f（x）的极值点，∴f＝﹣2＝0．
∴a＝．
∵f′（x）在（0，+∞）上单调递增，且f．
∴f′（x）＞0时，x，f′（x）＜0时，．
∴f（x）的递减区间为（0，），递增区间为（，+∞）．
（2）证法1，由（1）可得a＞0时，f′（x）＝x+aex﹣在（0，+∞）上单调递增．
又因为f′（1）＝1+ae﹣1＝ae＞0，当x趋近于0时，f′（x）趋近于﹣∞．
∴∃x0∈（0，1）使得f′（x0）＝0，即．
当x∈（0，x0）时，f′（x0）＜0，x∈（x0，+∞）时，f′（x0）＞0．
∴f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增．
∴f（x）min＝f（x0）＝，（0＜x0＜1）
令．
，在（0，1）上g′（x）＜0，
∴g′（x）单调递减，∴．
∴当a＞0时，f（x）＞．
方法2，令g（x）＝，（x＞0）
，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．
∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．
∴，∴．
∵a＞0，∴aex＞0．
∴．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系x0y中，曲线C1的参数方程为（t为参数且t≠0，a∈[0，π）），曲线C2的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为ρ＝4cosθ．
（1）求C2的普通方程及C3的直角坐标方程；
（2）若曲线C1与曲线C2C3分别交于点A，B，求|AB|的最大值．
【分析】（1）由消去参数θ得C2的普通方程为：x2+（y﹣1）2＝1；由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ得C3的直角坐标方程为：x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4．
（2）C1的极坐标方程为：θ＝α，C2的极坐标方程为：ρ＝2sinθ，将θ＝α分别代入C2，C3的极坐标方程后利用极径的几何意义可得．
解：（1）由消去参数θ得C2的普通方程为：x2+（y﹣1）2＝1；
由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ得C3的直角坐标方程为：x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4．
（2）C1的极坐标方程为：θ＝α，C2的极坐标方程为：ρ＝2sinθ
将θ＝α分别代入C2，C3的极坐标方程得：ρA＝2sinα，ρB＝4cosα，
∴|AB|＝|ρA﹣ρB|＝|2sinα﹣4cosα|＝|2sin（α+φ）|．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+a|﹣|x﹣3|（a∈R）．
（1）若a＝﹣1，求不等式f（x）+1＞0的解集；
（2）已知a＞0，若f（x）+3a＞2对于任意x∈R恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1 ）当a＝﹣1吋，函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|，利用分段讨论法去掉绝对值，求出对应不等式的解集；
（2）当a＞0吋，利用分段讨论法去掉绝对值，求出对应f（x）的最小值f（x）min，
再解关于a的不等式，从而求出a的取值范围．
解：（1 ）当a＝﹣1吋，函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|，
当x≤时，f（x）＝1﹣2x+（x﹣3）＝﹣x﹣2，
不等式f（x）+1＞0化为﹣x﹣2+1＞0，解得x＜﹣1；
当＜x＜3时，f（x）＝2x﹣1+（x﹣3）＝3x﹣4，
不等式f（x）+1＞0化为3x﹣4+1＞0，解得x＞1，取1＜x＜3；
当x≥3时，f（x）＝2x﹣1﹣（x﹣3）＝x+2，
不等式f（x）+1＞0化为x+2+1＞0，解得x＞﹣3，取x≥3；
综上所述，不等式f（x）+1＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞1}；
（2）当a＞0吋，若x≤﹣，则f（x）＝﹣2x﹣a+（x﹣3）＝﹣x﹣a﹣3，
此时f（x）min＝f（﹣）＝﹣﹣3，则f（x）+3a≥a﹣3＞2，解得a＞2；
若﹣＜x＜3，则f（x）＝2x+a+（x﹣3）＝3x+a﹣3，
此时f（x）＞f（﹣）＝﹣a﹣3，则f（x）+3a＞a﹣3＞2，解得a＞2；
若x≥3，则f（x）＝2x+a﹣（x﹣3）＝x+a+3，
此时f（x）min＝f（3）＝6+a，则f（x）+3a≥4a+6＞2恒成立；
综上所述，不等式f（x）+3a＞2对任意x∈一、选择题恒成立时，a的取值范围是a＞2．
一、单选题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|log2x＞1}，则A∩B＝（ ）
A．（2，3） B．（0，3） C．（1，2） D．（0，1）
2．设复数z满足（1+i）z＝3+i，则|z|＝（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知实数1，m，9成等比数列，则椭圆+y2＝1的离心率为（ ）
A．2 B． C．或2 D．或
4．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则＝（ ）
A． B． C． D．9
5．由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测．结合右图，下列说法错误的是（ ）
A．5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加
B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
D．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
6．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）可以为（ ）
A．f （x）＝ B．f （x）＝
C．f （x）＝ D．f （x）＝xe|x|
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．命题“∃x0≤0，2x0≤sinx0”的否定形式是“∀x＞0，2x＞sinx”
B．若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（ξ＞0）＝0.8
D．设x是实数，“x＜0”是“”的充分不必要条件
9．将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则函数y＝f（x）在的值域为（ ）
A．[﹣1，2] B．[﹣1，1] C． D．
10．若双曲线的一条渐近线与函数f（x）＝ln（x+1）的图象相切，则该双曲线离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
11．如图，在四棱锥C﹣ABCD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB＝2OD＝12，AD＝6，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的半径为（ ）
A．3 B．4 C． D．
12．已知函数f（x）＝的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在y＝kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2x2+）5展开式中?4系数为 ．
14．在各项均为正数的等比数列{?n}中，?1＝2，且?2，?4+2，?5成等差数列，记?n是数列{?n}的前n项和，则?6＝
15．已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2＝25截得的弦长为8，则直线L的方程是 ．
16．已知f（x）是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f（x2+2）+f（﹣2x﹣m）只有一个零点，则函数g（x）＝mx+（x＞1）的最小值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD满足AD∥BC，且AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADD1A1；
（Ⅱ）求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值．
18．在△ABC中，角A，B，C对边分别为?，?，?，若2????A＝????B+????A．
（1）求角A；
（2）若2?＝?+?，且△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积．
19．2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：
（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；
（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%．根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值．（结论不要求证明）
20．已知F1，F2分别是椭圆E：的左，右焦点，点在椭圆E上，且抛物线y2＝4x的焦点是椭圆E的一个焦点．
（1）求a，b的值：
（2）过点F2作不与x轴重合的直线l，设l与圆x2+y2＝a2+b2相交于A，B两点，且与椭圆E相交于C，D两点，当时，求△F1CD的面积．
21．已知f（x）＝x2+aex﹣lnx．
（1）设x＝是f（x）的极值点，求实数a的值，并求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求证：f（x）＞．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系x0y中，曲线C1的参数方程为（t为参数且t≠0，a∈[0，π）），曲线C2的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为ρ＝4cosθ．
（1）求C2的普通方程及C3的直角坐标方程；
（2）若曲线C1与曲线C2C3分别交于点A，B，求|AB|的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+a|﹣|x﹣3|（a∈R）．
（1）若a＝﹣1，求不等式f（x）+1＞0的解集；
（2）已知a＞0，若f（x）+3a＞2对于任意x∈R恒成立，求a的取值范围．
参考答案
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|log2x＞1}，则A∩B＝（ ）
A．（2，3） B．（0，3） C．（1，2） D．（0，1）
【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．
解：集合A＝{x|0＜x＜3}＝（0，3），B＝{x|log2x＞1}＝（2，+∞），则A∩B＝（2，3），
故选：A．
2．设复数z满足（1+i）z＝3+i，则|z|＝（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
解：由（1+i）z＝3+i，得z＝，
∴|z|＝．
故选：D．
3．已知实数1，m，9成等比数列，则椭圆+y2＝1的离心率为（ ）
A．2 B． C．或2 D．或
【分析】先根据等比数列中项公式求出m的值，然后根据椭圆的几何性质即可求出离心率．
解：∵实数1，m，9成等比数列，∴m2＝9，即m＝±3，
∵m＞0，∴m＝3，椭圆的方程为，∴a＝，b＝1，c＝
∴离心率为，
故选：B．
4．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则＝（ ）
A． B． C． D．9
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示和数量积运算法则，计算即可．
解：如图所示，边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，
∴•＝2×2×cos60°＝2；又E为BC中点，
∴＝+＝+，且＝+，
∴•＝（+）•（+）
＝+•+＝4+×2+×4＝9．
故选：D．
5．由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测．结合右图，下列说法错误的是（ ）
A．5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加
B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
D．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
【分析】本题结合图形即可得出结果．
解：由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，
而后期是信息服务商处于领先地位，故D项表达错误．
故选：D．
6．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）可以为（ ）
A．f （x）＝ B．f （x）＝
C．f （x）＝ D．f （x）＝xe|x|
【分析】由图象可知，函数的定义域为R，且为奇函数，当x→0时，f（x）→0，结合选项即可得出正确答案．
解：由图象可知，函数的定义域为R，而选项B中函数的定义域为{x|x≠0}，故可排除B；
又函数图象关于原点对称，为奇函数，而选项C不具有奇偶性，故可排除C；
又x→0时，f（x）→0，而选项D当x→+∞时，f（x）→+∞，故可排除D．
故选：A．
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率．
解：有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，
由正方体的结构及锯木块的方法，
可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，
∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：
p＝＝．
故选：C．
8．下列说法正确的是（ ）
A．命题“∃x0≤0，2x0≤sinx0”的否定形式是“∀x＞0，2x＞sinx”
B．若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（ξ＞0）＝0.8
D．设x是实数，“x＜0”是“”的充分不必要条件
【分析】在A中，由特称命题的否定可知：命题“∃x0≤0，2x0≤sinx0”的否定形式是“∀x≤0，2x＞sinx”；在B中，α与β相交或平行；在C中，P（ξ＞0）＝0.4+0.4+0.1＝0.9；在D中，设x是实数，则“x＜0”⇒“”，“”⇒“x＜0或x＞1”．
解：在A中，由特称命题的否定可知：
命题“∃x0≤0，2x0≤sinx0”的否定形式是“∀x≤0，2x＞sinx”，故A错误；
在B中，若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，
如右图的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
平面ADD1A1⊥平面ABCD，平面BCC1B1⊥平面ABCD，平面ADD1A1∥平面BCC1B1；
平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面BCC1B1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1．
故B错误；
在C中，∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），∴正态曲线关于x＝1对称，
∵P（0＜ξ＜1）＝0.4，
∴P（1＜ξ＜2）＝0.4，
∴P（ξ＞2）＝0.5﹣0.4＝0.1，
∴P（ξ＞0）＝0.4+0.4+0.1＝0.9，故C错误；
在D中，设x是实数，则“x＜0”⇒“”，“”⇒“x＜0或x＞1”，
∴“x＜0”是“”的充分不必要条件，故D正确．
故选：D．
9．将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则函数y＝f（x）在的值域为（ ）
A．[﹣1，2] B．[﹣1，1] C． D．
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y＝f（x）在的值域．
解：将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）＝2sin（2x++φ）的图象，
若函数y＝g（x）为偶函数，则 +φ＝，∴φ＝，故函数f（x）＝2sin（2x+）．
∵x∈，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，2sin（2x+）∈[﹣1，2]，
则函数y＝f（x）在的值域为[﹣1，2]，
故选：A．
10．若双曲线的一条渐近线与函数f（x）＝ln（x+1）的图象相切，则该双曲线离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合函数的导数求解切线的斜率，然后推出双曲线的离心率即可．
解：因为双曲线的渐近线过原点，且方程为
函数f（x）＝ln（x+1）图象也过原点，结合图形可知切点就是（0，0），
，
∴．
故选：A．
11．如图，在四棱锥C﹣ABCD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB＝2OD＝12，AD＝6，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的半径为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【分析】首先根据异面直线所成的角得到∠CDO＝30°，求出OC，利用补形法得到长方体的对角线长度即为外接球的直径．
解：由条件可知AB∥OD，所以∠CDO为异面直线CD与AB所成角，
故∠CDO＝30°，而OD＝6，故OC＝ODtan30°＝2，
在直角梯形ABOD中，易得OB＝6，以OB，OC，OD为相邻的三条棱，
补成一个长方体，则该长方体的外接球半径R即为所求的球的半径，
由（2R）2＝（2）2+62+62＝84，故R＝．
故选：C．
12．已知函数f（x）＝的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在y＝kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可化为函数f（x）图象与y＝﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可
解：∵函数f（x）＝的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝﹣1的对称点在y＝kx﹣1的图象上，
而函数y＝kx﹣1关于直线y＝﹣1的对称图象为y＝﹣kx﹣1，
∴f（x）＝的图象与y＝﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，
作函数f（x）＝的图象与y＝﹣kx﹣1的图象如下，
易知直线y＝﹣kx﹣1恒过点A（0，﹣1），
设直线AC与y＝xlnx﹣2x相切于点C（x，xlnx﹣2x），
y′＝lnx﹣1，
故lnx﹣1＝，
解得，x＝1；
故kAC＝﹣1；
设直线AB与y＝x2+x相切于点B（x，x2+x），
y′＝2x+，
故2x+＝，
解得，x＝﹣1；
故kAB＝﹣2+＝﹣；
故﹣1＜﹣k＜﹣，
故＜k＜1；
故选：A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2x2+）5展开式中?4系数为 80 ．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得展开式中x4的系数．
解：∵（2x2+）5展开式的通项公式为Tr+1＝•25﹣r•x10﹣3r，令10﹣3r＝4，求得r＝2，
故展开式中x4的系数为•23＝80，
故答案为：80．
14．在各项均为正数的等比数列{?n}中，?1＝2，且?2，?4+2，?5成等差数列，记?n是数列{?n}的前n项和，则?6＝ 126
【分析】由a2，a4+2，a5成等差数列，可得a2+a5＝2（a4+2），把已知代入解得q．再利用求和公式即可求得?6．
解：设正数的等比数列{an}的公比为q＞0，a1＝2，
∵a2，a4+2，a5成等差数列，
∴a2+a5＝2（a4+2），
∴2q+2q4＝2（2q3+2），解得q＝2．
∵S6＝＝126．
故答案为：126．
15．已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2＝25截得的弦长为8，则直线L的方程是 x＝﹣4和4x+3y+25＝0 ．
【分析】求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦心距，通过直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解，求出直线的方程即可．
解：圆心（﹣1，﹣2），半径r＝5，弦长m＝8，
设弦心距是d，
则由勾股定理，
r2＝d2+（）2
d＝3，
若l斜率不存在，直线是x＝﹣4，
圆心和它的距离是﹣3，符合题意，
若l斜率存在，设直线方程y+3＝k（x+4），
即kx﹣y+4k﹣3＝0，
则d＝＝3，
即9k2﹣6k+1＝9k2+9，
解得k＝﹣，所以所求直线方程为x+4＝0和4x+3y+25＝0，
故答案为：x＝﹣4和4x+3y+25＝0．
16．已知f（x）是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f（x2+2）+f（﹣2x﹣m）只有一个零点，则函数g（x）＝mx+（x＞1）的最小值为 5 ．
【分析】函数的零点转化为方程的根，由函数f（x）的奇偶性和单调性可得f（x2+2）＝f（2x+m）有唯一解，整理可得二次方程由判别式为0解出m的值，代入g（x）中，由均值不等式可得函数g（x）的最小值．
解：函数y＝f（x2+2）+f（﹣2x﹣m）只有一个零点，可得：f（x2+2）+f（﹣2x﹣m）＝0有唯一解，
即f（x2+2）＝﹣f（﹣2x﹣m），
又f（x）是奇函数并且是R上的单调函数，所以f（x2+2）＝f（2x+m），即x2+2＝2x+m，
所以x2﹣2x﹣m+2＝0有唯一解，即△＝4﹣4（﹣m+2）＝0，解得m＝1，
所以函数g（x）＝mx+（x＞1）＝x﹣1++1+1＝5，当且仅当x﹣1＝（x＞1），即x＝3时取等号．
所以函数g（x）＝mx+（x＞1）的最小值为5，
故答案为：5．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD满足AD∥BC，且AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADD1A1；
（Ⅱ）求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥AA1，AB⊥AD，由此能证明AB⊥平面ADD1A1．
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值．
解：（Ⅰ）证明：∵在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，
底面ABCD满足AD∥BC，且AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2．
∴AB⊥AA1，AB2+AD2＝BD2，∴AB⊥AD，
∵AA1∩AD＝A，∴AB⊥平面ADD1A1．
（Ⅱ）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（2，4，0），D1（0，2，2），
＝（2，0，0），＝（0，﹣4，2），＝（﹣2，﹣2，2），
设平面B1CD1的法向量为＝（x，y，z），
则，取y＝1，得＝（1，1，2），
设直线AB与平面B1CD1所成角为θ，
则直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值为：
sinθ＝＝＝．
18．在△ABC中，角A，B，C对边分别为?，?，?，若2????A＝????B+????A．
（1）求角A；
（2）若2?＝?+?，且△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积．
【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cosA，进而可求A；
（2）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求bc，然后结合三角形的面积公式即可求解．
解：（1）因为2ccosA＝acosB+bcosA．
由正弦定理得2sinCcosA＝sinAcosB+sinBcosA，从而可得2sinCcosA＝sinC，
又C为三角形的内角，所以sinC≠0，于是，
又A为三角形内角，因此；
（2）设△ABC的外接圆半径为R，则R＝1，，
由余弦定理得，即3＝12﹣3bc，
所以bc＝3．所以△ABC的面积为：．
19．2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：
（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；
（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%．根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值．（结论不要求证明）
【分析】（I）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，再求出结论即可；
（II）根据题意，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，X＝0，1，2，求出分布列和数学期望；
（III）根据题意，求出即可．
解：（I）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，
在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数约为50×0.1＝5万人；
（II）由图表得，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，
记其中测试成绩在70分以上的人数为X，选出的8名男生中随机抽取2人，则X＝0，1，2，
则P（X＝0）＝，
P（X＝1）＝，
P（X＝2）＝，
X的分布列如下：
x
0
1
2
p
故E（X）＝0，
（III）m的最小值为4．
20．已知F1，F2分别是椭圆E：的左，右焦点，点在椭圆E上，且抛物线y2＝4x的焦点是椭圆E的一个焦点．
（1）求a，b的值：
（2）过点F2作不与x轴重合的直线l，设l与圆x2+y2＝a2+b2相交于A，B两点，且与椭圆E相交于C，D两点，当时，求△F1CD的面积．
【分析】（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义，可求出a，b；
（2）联立直线与圆的方程可以求出t2，再联立直线和椭圆的方程化简，有根与系数的关系的到结论，继而求出面积．
解：（1）∵y2＝4x的焦点为F（1，0），
则F1（﹣1，0），F2（1，0），
∴2a＝|PF1|+|PF2|＝，
解得，c＝1，b＝1．
（2）由已知，可设直线l的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得
（t2+1）y2+2ty﹣2＝0，
易知△＞0，
则，，
∴＝（x1+1）（x2+1）+y1y2＝（ty1+2）（ty2+2）+y1y2＝（t2+1）y1y2+2t（y1+y2）+4＝．
因为，
所以＝1，解得t2＝3．
联立，得（t2+2）y2+2ty﹣1＝0，△＝8（t2+1），
设C（x3，y3），D（x4，y4），则，，
∴＝＝．
21．已知f（x）＝x2+aex﹣lnx．
（1）设x＝是f（x）的极值点，求实数a的值，并求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求证：f（x）＞．
【分析】（1）求得，利用f＝﹣2＝0．求得a＝．再求f（x）的单调区间．
（2）证法1，由（1）可得a＞0时，∃x0∈（0，1）使得f′（x0）＝0，即．f（x）min＝f（x0）＝，（0＜x0＜1）
令．利用导数可得f（x）＞．
方法2，令g（x）＝，（x＞0），利用导数可得．即可得．
解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
又，
∵x＝是f（x）的极值点，∴f＝﹣2＝0．
∴a＝．
∵f′（x）在（0，+∞）上单调递增，且f．
∴f′（x）＞0时，x，f′（x）＜0时，．
∴f（x）的递减区间为（0，），递增区间为（，+∞）．
（2）证法1，由（1）可得a＞0时，f′（x）＝x+aex﹣在（0，+∞）上单调递增．
又因为f′（1）＝1+ae﹣1＝ae＞0，当x趋近于0时，f′（x）趋近于﹣∞．
∴∃x0∈（0，1）使得f′（x0）＝0，即．
当x∈（0，x0）时，f′（x0）＜0，x∈（x0，+∞）时，f′（x0）＞0．
∴f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增．
∴f（x）min＝f（x0）＝，（0＜x0＜1）
令．
，在（0，1）上g′（x）＜0，
∴g′（x）单调递减，∴．
∴当a＞0时，f（x）＞．
方法2，令g（x）＝，（x＞0）
，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．
∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．
∴，∴．
∵a＞0，∴aex＞0．
∴．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系x0y中，曲线C1的参数方程为（t为参数且t≠0，a∈[0，π）），曲线C2的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为ρ＝4cosθ．
（1）求C2的普通方程及C3的直角坐标方程；
（2）若曲线C1与曲线C2C3分别交于点A，B，求|AB|的最大值．
【分析】（1）由消去参数θ得C2的普通方程为：x2+（y﹣1）2＝1；由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ得C3的直角坐标方程为：x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4．
（2）C1的极坐标方程为：θ＝α，C2的极坐标方程为：ρ＝2sinθ，将θ＝α分别代入C2，C3的极坐标方程后利用极径的几何意义可得．
解：（1）由消去参数θ得C2的普通方程为：x2+（y﹣1）2＝1；
由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ得C3的直角坐标方程为：x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4．
（2）C1的极坐标方程为：θ＝α，C2的极坐标方程为：ρ＝2sinθ
将θ＝α分别代入C2，C3的极坐标方程得：ρA＝2sinα，ρB＝4cosα，
∴|AB|＝|ρA﹣ρB|＝|2sinα﹣4cosα|＝|2sin（α+φ）|．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+a|﹣|x﹣3|（a∈R）．
（1）若a＝﹣1，求不等式f（x）+1＞0的解集；
（2）已知a＞0，若f（x）+3a＞2对于任意x∈R恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1 ）当a＝﹣1吋，函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|，利用分段讨论法去掉绝对值，求出对应不等式的解集；
（2）当a＞0吋，利用分段讨论法去掉绝对值，求出对应f（x）的最小值f（x）min，
再解关于a的不等式，从而求出a的取值范围．
解：（1 ）当a＝﹣1吋，函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|，
当x≤时，f（x）＝1﹣2x+（x﹣3）＝﹣x﹣2，
不等式f（x）+1＞0化为﹣x﹣2+1＞0，解得x＜﹣1；
当＜x＜3时，f（x）＝2x﹣1+（x﹣3）＝3x﹣4，
不等式f（x）+1＞0化为3x﹣4+1＞0，解得x＞1，取1＜x＜3；
当x≥3时，f（x）＝2x﹣1﹣（x﹣3）＝x+2，
不等式f（x）+1＞0化为x+2+1＞0，解得x＞﹣3，取x≥3；
综上所述，不等式f（x）+1＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞1}；
（2）当a＞0吋，若x≤﹣，则f（x）＝﹣2x﹣a+（x﹣3）＝﹣x﹣a﹣3，
此时f（x）min＝f（﹣）＝﹣﹣3，则f（x）+3a≥a﹣3＞2，解得a＞2；
若﹣＜x＜3，则f（x）＝2x+a+（x﹣3）＝3x+a﹣3，
此时f（x）＞f（﹣）＝﹣a﹣3，则f（x）+3a＞a﹣3＞2，解得a＞2；
若x≥3，则f（x）＝2x+a﹣（x﹣3）＝x+a+3，
此时f（x）min＝f（3）＝6+a，则f（x）+3a≥4a+6＞2恒成立；
综上所述，不等式f（x）+3a＞2对任意x∈一、选择题恒成立时，a的取值范围是a＞2．
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