宁夏回族自治区银川市第一中学2020届高三第三次模拟考试数学（理）试卷
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宁夏回族自治区银川市第一中学2020届高三第三次模拟考试数学（理）试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则
A． B． C． D．
2．若复数z与其共轭复数满足，则
A． B． C．2 D．
3．抛物线的准线方程是
A． B． C． D．
4．若向量与平行，则
A． B． C． D．
5．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则或
6．已知函数y=f(x)的部分图像如图，则f(x)的解析式可能是
A． B．
C． D．
7．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲，乙，丙，丁，戊五位同学参加A,B,C三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲，乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有
A．24 B．36 C．48 D．64
8．已知函数，，则的大小关系为
A． B． C． D．
9．天文学中，为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念。星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗。到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森（M.R.Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为,已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（当较小时，）
A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27
10．已知数列的通项公式是，其中 的部分图像如图所示，为数列的前项和，
则的值为
A． B． C． D．
11．已知双曲线的右焦点为F，过F作直线的垂线，垂足为M，且交双曲线的左支于N点，若,则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
12．已知函数，若函数有4个零点，则实数m的取值范围为
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个样本容量为36的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为_____________ .
14．已知实数x,y满足，则的最大值为_____________ .
15．等差数列的前n项和为，,则_____________.
16．（本小题第一空2分，第二空3分）
古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点
A、B距离之比为常数的点的轨迹
是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏
圆.根据以上信息，解决下列的问题：如图，
在长方体中，，点E在棱AB上，BE=2AE，动点P满足.若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为_______;
若点P在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则三棱锥的体积的最小值为___________.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：(共60分)
17．（12分）
在锐角△ABC中，,________，
（1）求角A;
（2）求△ABC的周长l的范围．
注：在①,且，
②，③
这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．
18.（12分）
在创建“全国文明城市”过程中，银川市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：
组别 | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
频数 | 2 | 13 | 21 | 25 | 24 | 11 | 4 |
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z∽N(μ，198)，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），①求μ的值；②利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额（单元：元） | 20 | 50 |
概率 |
现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．
参考数据与公式：
．若X∽N ，则，，．
19.(12分)
如图,四棱锥中，，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面
与平面所成锐二面角为？若存在，求的值；
若不存在，说明理由．
20.（12分）
已知函数
（1）设，试讨论的单调性；
（2）若函数在上有最大值，求实数a的取值范围
21.（12分）
已知O为坐标原点，椭圆C：的左，右焦点分别为,且又恰为抛物线D:的焦点，以为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线与D相交于A,B两点，记点A,B到直线的距离分别为，，直线与C相交于E,F两点，记的面积分别为.
①证明：的周长为定值；
②求的最大值.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，若直线与曲线交于两点，中点为M，求的值.
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若，使得恒成立，求的取值范围.
数学（理科）参考答案
一．选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | A | D | C | A | C | B | A | C | D | B | D |
二、填空题：
13、700 14、22 15、 16、（本小题第一空2分，第二空3分）
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）若选①，∵，且
（2） .........8分
.............10分
............11分
.............12分
（1）②∵cos A(2b-c)＝acos C
. .........6分
（2） .........8分
........10分
.........11分
. .........12分
（1）③
＝cos2x＋cos xsin x－
＝×＋×－
........3分
.........5分
. .........6分
（2） .........8分
........10分
.........11分
. ........12分
18.解（1）由题意得：
∴，...........3分
∵，
...........6分
（2）由题意知，...........7分
获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，
，
，
，
，
，...........10分
∴的分布列为：
| 20 | 40 | 50 | 70 | 100 |
|
|
|
|
|
|
...........11分
∴．...........12分
19.（1）证明：因四边形为直角梯形，
且, ,,
所以，
又因为。根据余弦定理得 ．...........2分
所以，故. ．...........3分
又因为, ,且,平面，所以平面，．...........4分
又因平面PBC，所以...........5分
（2）由（1）得平面平面,
设为的中点，连结 ，因为,
所以,,又平面平面，
平面平面，
平面............6分
如图，以为原点分别以，和垂直平面的
方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
假设存在满足要求，设，即，
所以............7分
易得平面的一个法向量为. ............8分
设为平面的一个法向量，，
由得，不妨取.............9分
因为平面与平面所成的锐二面角为，所以，
解得，（不合题意舍去）............11分
故存在点满足条件，且.............12分
20.解析：
（Ⅰ）
令， ；.……………………………….1分
当时，，在上递增，无减区间.……….3分
当时，令，
令
所以，在上单调递增，在上单调递减；.……………….5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，在上递增，
在上递增，无最大值，不合题意；.……………………………….6分
当时，
在上递减，，
在上递减，无最大值，不合题意；.……………………………….7分
当时，，
由（Ⅰ）可知在上单调递增，在上单调递减；.……….8分
设，则；
令；令
在上单调递减，在单调递增；
，即
由此，当时，，即．
所以，当时，．
取，则，且．
又因为，所以由零点存在性定理，存在，使得；.……………………………….11分
当时，，即；当时，，即；
所以，在上单调递增，在上单调递减，在上有最大值．
综上，.……………………………….12分
21.解（1）因为为抛物线D的焦点，故,所以c=1…………………….1分
又因为以为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点知：b=c…………………….2分
所以，所以椭圆C的标准方程为…………………3分
（1）①由题知，x=-1为抛物线D的准线，由抛物线的定义知：
又因为,等号当且仅当三点共线时成立
所以直线过定点………………5分
由椭圆定义得：………………6分
②若直线的斜率不存在，则直线的方程为x=1
因为,所以………………7分
若直线斜率存在，则可设直线方程为，设
由得，，
所以………………8分
由得，，设
则，
所以……………10分
则
综上，的最大值等于……………12分
22.解：（1）因为直线，故，
即直线的直角坐标方程为.……………2分
因为曲线，则曲线的直角坐标方程为，即.………4分
（2）设直线的参数方程为（为参数），
将其代入曲线的直角坐标系方程得.
设，对应的参数分别为，，则，， ……………6分
所以M对应的参数，……………8分
故……………10分
23.解：（1）不等式可化为，
当时，，，所以无解；……………1分
当时，，所以；……………2分
当时，，，所以.……………3分
综上，不等式的解集是.……………5分
（2），
又，使得恒成立，则，……………8分
，解得.
所以的取值范围为.……………10分
