宁夏回族自治区银川市第一中学2020届高三第四次模拟考试数学（理）试卷

理科数学试题卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合，，则

A．   B．    C．    D．

2．已知是关于的方程（，）的一个根，则

A． B． C． D．

3．等比数列{an}中，，则与的等比中项是

A．±4   B．4           C．    D．

4．要得到函数的图象，只需将函数的图象

A．向右平移个单位   B．向右平移个单位

C．向左平移个单位   D．向左平移个单位

5．按照程序框图（如图所示）执行，第个输出的数是

A． B． 

C． D．

6．总体由编号为01,02，...，39,40的40个个体组成.利用

下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表

（如右表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右

依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

A．23     B．21     

C．35     D．32

7．在空间中，a、b、c是三条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是

A．若a⊥c，b⊥c，则a∥b

B．若a，b，⊥，则a⊥b

C．若a∥，b∥，∥，则a∥b

D．若∥，a，则a∥

8．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是

A．－     B．－        C．     D．

9．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相,则甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为

A．    B．    C．   D．

10．已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率等于

A．   B．   C．  D．

11．若函数与函数，在公共点处有共同的切线，则实数 的值为

A．4    B．    C．   D．

12．在中，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，

A．    B．    C．   D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知函数为奇函数，若，则　　　．

14．满足约束条件，则的最大值______．

15．某四棱锥的三视图如图所示，

则该四棱锥外接球的表面积

是_______.

16．（本小题第一空2分，第二空3分）

设数列满足a1=2,a2=6，，且an+2-2an+1+an=2，若[x]表示不超过x的最大整数，

（1）求_______；（2）则___________.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分)

17．(12分)

如图，在直三棱柱中，，

，，点、分别为与

的中点.

（1）证明：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

18．(12分)

如图，考虑点A(1,0),

,从这个图出发.

（1）推导公式：

（2）利用（1）的结果证明：

并计算的值.

19．(12分)

习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8.鱼苗乙、丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.

（1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为，求的分布列和数学期望；

（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且乙种鱼苗中的每一尾是否成活也相互独立，扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？

20．(12分)

已知函数f（x）＝x＋alnx在x＝1处的切线l与直线x＋2y＝0垂直，

函数g（x）＝f（x）＋－bx．

   （1）求实数a的值；

（2）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）－g（x2）的最小值．

21．(12分)

已知椭圆方程为．

（1）设椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上运动，求的值；

（2）设直线和圆相切，和椭圆交于、两点，为原点，线段、分别和圆交于、两点，设、的面积分别为、，求的取值范围．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线的极坐标方程是.

（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设点.若直与曲线相交于两点,求的值.

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知.

（1）求使得的的取值集合；

（2）求证：对任意实数，，当时，恒成立.

（理科）参考答案

一．选择题

二、填空题：

13. 1；    14.2；   15.；16.（1）20，（2）2019

三．解答题：

17．【解析】（1）如图，连接、，

因为三棱柱为直三棱柱，所以为的中点.        

又因为为的中点，所以.                              ……4分

又平面，平面，所以平面； ……6分

（2）以为原点，、、所在直线分别为

、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，……7分

则、、、，

所以，，，…8分

设平面的一个法向量为，

则， 令，得，                ……10分

记与平面所成角为，则. …12分

18.…6分

 （1）中的向量方法同样给分

……12分

19.【解析】（1）记随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，         ……1分

则，

，

，

.                                ……3分

故的分布列为

.           ……6分

（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，    

依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为，      ……7分

所以一尾乙种鱼苗的平均收益为元.          ……9分

设购买尾乙种鱼苗，为购买尾乙种鱼苗最终可获得的利润，

则，解得.                          ……11分

所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元.    ……12分

20. 解：（Ⅰ）∵，∴，    …………2分

又与直线垂直，∴，∴．……4分

(Ⅱ) ，

令，得 ，

,……………6分

,  …8分

， 所以设

   ，所以在单调递减， ……10分 ， ，

∴，

故所求的最小值是．…………12分

21．【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由已知，，设，

由，…1分

同理，

可得，…2分

．…3分

结合，得，

故；…5分

（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为，

由对称性，不妨设，此时，

故．                                           ……6分

若直线的斜率存在，设其方程为，

由已知可得，则，

设、，将直线与椭圆方程联立，

得，

由韦达定理得，．           ……8分

结合及，

可知．…10分

将根与系数的关系代入整理得：

，

结合，得．

设，，

则．

的取值范围是．                                  …12分

22．【解析】（1）将直线的参数方程消去参数t并化简，得

直线的普通方程为.                 …2分

将曲线C的极坐标方程化为.

即.∴x2+y2=2y+2x.

故曲线C的直角坐标方程为.    …5分

（2）将直线的参数方程代入中，

得.化简，得.             …7分

∵Δ>0，∴此方程的两根为直线与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.

由根与系数的关系，得，，即t1，t2同正.

由直线方程参数的几何意义知,

          .…10分

23.【解析】（1）由，即.

而表示数轴上的对应点到1和2对应点的距离之和，…2分

而数轴上满足的点的坐标为和，

故不等式的解集为.            …5分

（2）证明：要证，只需证，…6分

∵，当且仅当时取等号，

∴                                                …8分

由（1），当时，∴

∴原命题成立.                                     …10分