宁夏银川市贺兰县景博中学2020届高三第五次模拟考试数学（理）试题
展开景博高中2020届高三第五次模拟考试
理科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上
无效.
3.回答笫Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数z与其共轭复数满足，则 （ ）
A． B． C．2 D．
3．若夹角为的向量与满足，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
4．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是 （ ）
A．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，种植收入减少
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
5．已知直线和平面，则下列四个命题中正确的是 （ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长
六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解
决此问题的一个程序框图，其中为松长，为竹长，则菱形框与矩形框处依次填 （ ）
A． B．
C． D．
7.已知函数在一个周期内的图象如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，，则的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
9.阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）
A. B. C. D.
10.是双曲线的左、右焦点， 过的直线与的左、右两支分别交于两点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C．2 D．
11．若的展开式中二项式系数和为256．则二项式展开式中有理项系数之和为（ ）
A．85 B．84 C．57 D． 56
12．若函数有且只有4个不同的零点．则实数m的取值范围是 （ ）
A． B C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．已知实数x,y满足，则的最大值为_____________ ．
14. 已知甲、乙、丙三位同学在某次考试中总成绩列前三名，有三位学生对其排名猜测如下：：甲第一名，乙第二名； ：丙第一名，甲第二名；：乙第一名，甲第三名．成绩公布后得知，三人都恰好猜对了一半，则第一名是_____________ ．
15．等差数列的前n项和为，,则_____________ ．
16．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各
切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖
的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，
其容积最大．
三、解答题：第17-21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）在中，角，，所对的边分别是，，，已知，.
(1)若，求的值；
(2)的面积为，求的值.
18．（本小题满分12分）美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪70元，每单抽成1元；百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：
----
（1）求百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系；
（2）若将频率视为概率，回答下列问题：
①记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．
19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，,底面是梯形，，，，为棱上一点.
（1）若点是的中点，证明：∥平面；
（2）试确定的值使得二面角为60°.
20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中,已知圆的方程为,圆的方程为,动圆与圆内切且与圆外切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于两点，求四边形面积的最大值.
21．（本小题满分12分）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）设两个极值点分别为，证明：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）．
（1）求直线和曲线的普通方程；
（2）直线与轴交于点，与曲线交于，两点，求．
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲[来源:学§科§网]
函数，其最小值为.
（1） 求的值；
（2）正实数满足，求证：.
第五次模拟理科试题答案：
一、选择题（每题5分，共60分）
1-5 DABCB 6-10 CDACA 11-12 AB
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 22 14. 丙 15. 16.
三、解答题（共70分）
17．解：（Ⅰ）由，
则，且 ，
由正弦定理，
因为，所以，所以，
（Ⅱ），∴，
，
∴，，
∴.
18.（12分）
【解答】解：（Ⅰ）∵百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，
∴当送餐单数n≤45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100，
当送餐单数n＞45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100+（n﹣45）×6=6n﹣170，n∈N*，
∴百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系为：
（Ⅱ）①记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，
P（X=100）==0.2，
P（X=106）==0.3，
P（X=118）==0.4，
P（X=130）==0.1，
∴X的分布列为：
X | 100 | 106 | 118 | 130 |
P | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.1 |
E（X）=100×0.2+106×0.3+118×0.4+130×0.1=112（元）．
②美团外卖“骑手”日平均送餐单数为：42×0.2+44×0.4+46×0.2+48×0.1+50×0.1=45所以美团外卖“骑手”日平均工资为：70+45×1=115（元）
由①知，百度外卖“骑手”日平均工资为112元．故推荐小明去美团外卖应聘．
19.(Ⅰ)证明：取PD的中点M，连接AM，M，
，
M∥CD，…………………………1分
又AB∥CD，∥AB，QM＝AB，
则四边形ABQM是平行四边形.∥AM.……………3分
又平面PAD，BQ平面PAD，∥平面PAD.……4分
(另解：作CD中点证面面平行）
（Ⅱ）解：由题意可得DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0).……………… 5分[来源:Zxxk.Com]
令
…………………………… 7分[来源:学科网]
又易证BC⊥平面PBD，
设平面QBD的法向量为
令………………………9分
，
解得……………………………………………………………11分
Q在棱PC上，………………………………12分
20.（12分）（1）轨迹方程为.............................................4分
（2）方法一：设的方程为，联立，
消去得，设点，
有………………6分
所以令，………………8分
有，由函数，
故函数，在上单调递增…………………10分
故，故
当且仅当即时等号成立，[来源:学科网ZXXK]
四边形面积的最大值为.………………………………12分
方法二：设的方程为，联立，
消去得，设点，
有………………………6分
有，
点到直线的距离为，点到直线的距离为，从而四边形的面积
………………………8分
令，有，函数，
故函数，在上单调递增……………………10分
有，故当且仅当即时等号成立，四边形面积的最大值为.…………………12分
方法三：①当的斜率不存在时，
此时，四边形的面积为…………………………6分
②当的斜率存在时，设为：，
则
…………………………8分
……10分
四边形的面积
令 则
,
综上，四边形面积的最大值为.………………12分
- 法一:
解：f '(x)=1+lnx-ax-1=lnx-ax=g(x) , g '(x)=-a
①当a≤0时，g(x)在（0，+）上单调递增，g(x)至多有一个零点，即f(x)至多一个极值点；
②当a>0时，g '(x)=0可得x=；g '(x)>0可得0<x<；g '(x)<0可得x>
故g(x)在x=处取得极大值也为最大值g()=ln（）-1
当a>时，g(x)无零点，f(x)无极值；a=时，g(x)有一个零点，f(x)无极值；当0<a<时，g()>0,g(1)<0,g()<0,故g（x）在（1，）（，）上有零点即f(x)有两个极值点，故a(0,)
法二:
可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只需.
令切点，∴，又，∴，解得，于是，∴.
22. （1）的普通方程为，的普通方程为；（2）．
（1），
化为，即的普通方程为，
消去，得的普通方程为．········5分
（2）在中，令得，
∵，∴倾斜角，
∴的参数方程可设为，即，
代入得，，∴方程有两解，
，，∴，同号，
．········10分
23.解：（1），………………….3分[来源:学科网]
当且仅当取等，所以的最小值………………….5分
（2）根据柯西不等式，
.
………………….10分
