四川省泸县第五中学2020届高三三诊模拟考试数学（理）试题
展开2020年春四川省泸县第五中学高三三诊模拟考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数z在复平面所对应点为，则
A．2 B． C． D．
3．命题，，则为
A．， B．，
C．， D．，
4．记为等差数列的前项和，若，，则
A．8 B．9 C．16 D．15
5．在下列区间中，函数的零点所在的区间为
A． B． C． D．
6．已知直线和互相平行，则实数
A． B． C．或3 D．或
7．已知，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
8．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的新函数的一个对称中心是
A． B． C． D．
9．已知a，b为两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法中正确的是
①若，，则 ②若，，则
③若，，则 ④若，，则
A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④
10．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：“我没有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11．设函数 ，其中 ，则导数 的取值范围是
A． B． C． D．
12．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，，则
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若变量，满足约束条件，则的最大值为___________.
14．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种.
15．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则的取值范围为________________．
16．在四面体ABCD中，若，则当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为________.
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知数列是公比为的正项等比数列，是公差为负数的等差数列，满足，，.
（I）求数列的公比与数列的通项公式；
(II)求数列的前10项和
18．（12分）某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁） | [15，25) | [25，35) | [35，45) | [45，55) | [55，65) | [65，75] |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 4 | 6 | 9 | 6 | 3 | 4 |
（Ⅰ）请估计该市公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值；
（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率取得最大值的整数.
19．（12分）如图，四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，
（I）证明：平面平面；
（II）当平面与平面所成锐二面角的余弦值，求
直线与平面所成角正弦值.
20．（12分）设函数
（I）求函数的极值；
（II）当时，恒成立，求整数的最大值.（参考数值，）
21．（12分）已知抛物线的焦点为F，点，点B在抛物线C上，且满足（O为坐标原点）.
（I）求抛物线C的方程；
（II）过焦点F任作两条相互垂直的直线l与l，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线l与抛物线C交于M，N两点，的面积记为，的面积记为，求证：为定值.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点.
（I）写出曲线C和直线l的普通方程；
（II）若点，求的值.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数．
(I)当时，解不等式；
(II)若的解集为，，求证:．
2020年春四川省泸县第五中学高三三诊模拟考试
理科数学参考答案
1．D 2．C 3．A 4．D 5．C 6．C 7．D 8．D 9．B 10．A 11．A 12．A
13．2 14． 15．. 16．
17．(1)由已知,，得
又
得：或2（舍），于是，
又是公比为的等比数列，故
所以，（舍）或 综上，.
（2）设的前n项和为;令，得于是，
易知，时， 所以，
18：（Ⅰ）该市公众对“车辆限行”的赞成率约为：．
被调查者年龄的平均约为：.
（Ⅱ）依题意得：.
所以的分布列是：
∴的数学期望．
（Ⅲ）∵,其中.
∴
当，即时，；
当，即时，.
即；.
故有：取得最大值时.
19．（1）过D作，垂直为O，连接，
在中，，，可得，在中，
由余弦定理可得，
所以，因为，所以为等边三角形，所以，
所以，可得，又由，且，
所以平面，又平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，以O为原点，，，方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系
设，则，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，即
令，，
平面的法向量为，由，解得
因为平面，所以为与平面所成的角，所以，
即直线与平面所成角正弦值.
20．解：（1）的定义域为,
令，解得；令，解得
当时，单调递增，当时，单调递减，
；无极小值.
（2），因为，所以（）恒成立
设，则
设则所以在上单调递增，
又
所以存在使得，
当时，；当时，
所以在上单调递减，上单调递增
所以 ，又，
所以
令则，所以在上单调递增,
所以，即
因为，所以,所以的最大值为2
21．（1）设
因为点B在抛物线C上，
（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设，代入得，所以
因此，同理可得
因此
22．（1）
（2）代入得
23．(1)当时，不等式为，
∴或或，
∴或．
∴不等式的解集为．
(2)即，解得，而解集是，
∴,解得，所以，
∴．(当且仅当时取等号)
