四川省泸县第二中学2020届高三三诊模拟考试数学（理）试题
展开2020年春四川省泸县第二中学高三三诊模拟考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知复数，则复数的共轭复数
A． B． C． D．
3．记等差数列的前项和为，若，则
A．64 B．48 C．36 D．24
4．函数的大致图像为
A．B．C．D．
5．设为双曲线上一点，分别为左、右焦点，若，则
A．1 B．11 C．3或11 D．1或15
6．已知，则
A． B． C． D．
7．已知向量满足，且在方向上的投影是，则实数
A． B．2 C． D．
8．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A．264 B．270 C．274 D．282
9．已知是定义在上的偶函数，且，如果当
时，，则
A．3 B．-3 C．2 D．-2
10．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从这个数中随机抽取个数，则这三个数为勾股数的概率为
A． B． C． D．
11．设，则
A． B．
C． D．
12．函数的零点个数是
A．0 B．1 C．2 D．与a有关
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设向量，，若，则______.
14．的展开式中，的系数为______.
15．将名学生分配到个社区参加社会实践活动，每个社区至少分配一人，则不同的分配方案有__________种．（用数字填写答案）
16．数列满足，且对于任意的都有，则______.
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．(12分)如图，已知的内角，，的对边分别是，，，且，点是的中点，，交于点，且，.
（I）求；
（II）求的面积.
18．(12分)某大型工厂招聘到一大批新员工.为了解员工对工作的熟练程度，从中随机抽取100人组成样本，统计他们每天加工的零件数，得到如下数据：
将频率作为概率，解答下列问题：
(I)当时，从全体新员工中抽取2名，求其中恰有1名日加工零件数达到240及以上的概率；
(II)若根据上表得到以下频率分布直方图，估计全体新员工每天加工零件数的平均数为222个，求的值(每组数据以中点值代替)；
(III)在(2)的条件下，工厂按工作熟练度将新员工分为三个等级：日加工零件数未达200的员工为C级；达到200但未达280的员工为B级；其他员工为A级．工厂打算将样本中的员工编入三个培训班进行全员培训：A，B，C三个等级的员工分别参加高级、中级、初级培训班，预计培训后高级、中级、初级培训班的员工每人的日加工零件数分别可以增加20，30，50．现从样本中随机抽取1人，其培训后日加工零件数增加量为X，求随机变量X的分布列和期望．
19．(12分)在三棱柱中，，侧面底面，D是棱的中点.
（I）求证：平面平面；
（II）若，求二面角的余弦值.
20．(12分)已知椭圆E：过点Q（），椭圆上的动点P与其短轴两端点连线的斜率乘积为－．
（I）求椭圆E的方程；
（II）设F1，F2分别为E的左、右焦点，直线l过点F1且与E相交于A，B两点，当＝2时，求的面积．
21．(12分)已知函数，若曲线在点处的切线方程为.
（I）求实数、的值；
（II）证明：.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，圆的参数方程为以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（I）求圆的普通方程；
（II）直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为、，与直线的交点为,求线段的长.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
(I)当时，画出函数的图象；
(II)不等式恒成立，求m的取值范围．
2020年春四川省泸县第二中学高三三诊模拟考试
理科数学参考答案
1．D 2．A 3．B 4．A 5．C 6．B 7．A 8．A 9．C 10．C 11．B 12．A
13． 14．-455 15． 16．
17．解（1），由得，
由余弦定理得，
，:
（2）连接，如下图：是的中点，，，
，
在中，由正弦定理得，
，，
，，
，，，
，，，
18．（1）依题意，故员工日加工零件数达到及以上的频率为，所以相应的概率可视为，设抽取的名员工中，加工零件数达到及以上的人数为，则,故所求概率为.
（2）根据后三组数据对应频率分布直方图的纵坐标为，可知，解得，因此，故根据频率分布直方图得到的样本平均数估计值为，解得，进而，故.
(3)由已知可得的可能取值为20,30,50，
且，所以的分布列为
所以.
19．解：（1）取的中点，连接与交于点，连接.
则为的中点，因为三棱柱，
所以，且，
所以四边形是平行四边形.又是棱的中点，所以.
因为侧面底面，且，
所以平面所以平面
又平面，所以平面平面
（2）连接，因为，所以是等边三角形，故底面．
设，可得，
分别以分别为轴正方向建立空间直角坐标系，
则
设平面的一个法向量为
则所以，取
所以又平面的一个法向量为故
因为二面角为钝角，所以其余弦值为.
20．解：（1）设，为短轴两端点，，则.
由于 ，∴.①
又在上，∴.②解①②得，.所以椭圆的方程为.
（2）设直线：，代入得.③
设，，则，.④
.⑤
把④代入⑤得，解得.
由对称性不妨取，则③变为，解得，.
的面积.
21．（1），，
又由题意得，，所以，
所以可得，，构造函数，
则在区间内恒大于0，所以在区间内单调递增，
又，所以关于的方程的根为，
把代入，解得，所以，.
（2）证明：由（1）知，则，
因为在区间单调递增，，，
所以有唯一实根，记为，即，所以，
由得，整理得，
因为时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，
所以，当且仅当，即时取等号，因为，所以，即.
22．圆的参数方程为消去参数可得圆的普通方程为.
化圆的普通方程为极坐标方程得，
设,则由解得，，
设,则由解得，，
.
23．（1）当时，，画出图像如下图所示：
（2）因为，所以不等式成立，等价于成立，该不等式转化为或或，解得.
