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上海市松江区2020届高三4月高考模拟数学试题
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2020年上海市松江区高考数学模拟试卷（4月份）
一.本试卷共21题，第1～15题每题6分，第16～21题每题10分，满分150分
1．（6分）若复数z＝，则|z|＝（ ）
A．1 B． C．5 D．5
2．（6分）已知向量＝（1，m），＝（2，5）若 ⊥，则实数m＝（ ）
A．1 B． C． D．﹣
3．（6分）已知A＝{x|x≤1}}，B＝{x|≤0}，若A∪B＝{x|x≤2}，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a≥1 D．a≤1
4．（6分）已知椭圆分别过点A（2，0）和点，则该椭圆的焦距为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
5．（6分）已知实数a＞0，b＞0，且ab＝2，则行列式的（ ）
A．最小值是2 B．最小值是 C．最大值是2 D．最大值是
6．（6分）“k＝1“是“直线l1：kx+y+1＝0和直线l2：x+ky+3＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（6分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝BC＝2，，则异面直线AC1与A1B1所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．（6分）样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
9．（6分）下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（ ）
A．y＝﹣x﹣1 B．y＝
C．y＝x|x| D．y＝2x+2﹣x
10．（6分）给出以下四个命题：其中正确命题的个数是（ ）
①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
②依次首尾相接的四条线段必共面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；
④垂直于同一直线的两条直线必平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（6分）已知 （1+x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，在a0，a1，a2，…，a6这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．（6分）下列命题中是假命题的是（ ）
A．对任意的φ∈R，函数f（x）＝cos（2x+φ）都不是奇函数
B．对任意的a＞0，函数f（x）＝log2x﹣a都有零点
C．存在α、β∈R，使得sin（α+β）＝sinα+sinβ
D．不存在k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减
13．（6分）函数的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（6分）如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1（km），CD＝3（km），在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A、C之间的距离为（ ）
A．2（km） B．（km） C．（km） D．3（km）
15．（6分）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+12＝2Sn+n+1（n∈N*），设数列的前n项和为Tn，则＝（ ）
A．0 B． C．1 D．2
16．（10分）在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，△ABC的外接圆圆心为O，则＝（ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
17．（10分）已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣2的所有零点依次记为x1，x2，…，xn，且x1＜x2＜…＜xn，则x1+2x2+…+2xn﹣1+xn＝（ ）
A．2π B．π C．4π D．π
18．（10分）设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0＝0（a2≠0）在复数集C内的根为x1、x2，则由a2（x﹣x1）（x﹣x2）＝a2x2﹣a2（x1+x2）x+a2x1x2＝0，可得x1+x2＝﹣．类比上述方法：设实系数一元三次方程x3+2x2+3x+4＝0在复数集C内的根为x1，x2，x3，则x12+x22+x32的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
19．（10分）已知函数关于点（0，﹣12）对称，若对任意的x∈[﹣1，1]，k•2x﹣f（2x）≥0恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．k≤﹣11 B．k≥﹣11 C．k≤1 D．k≥11
20．（10分）已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为（ ）
A． B．1 C．2 D．﹣2
21．（10分）若数列{bn}的每一项都是数列{an}中的项，则称{bn}是{an}的子数列．已知两个无穷数列{an}、{bn}的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且{bn}是{an}的子数列，则满足条件的数列{bn}的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个
2020年上海市松江区高考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一.本试卷共21题，第1～15题每题6分，第16～21题每题10分，满分150分
1．（6分）若复数z＝，则|z|＝（ ）
A．1 B． C．5 D．5
【分析】先根据复数的除法对其化简，再代入模长计算公式即可．
【解答】解：∵复数z＝＝＝2+i；
∴|z|＝＝；
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的有关概念，比较基础．
2．（6分）已知向量＝（1，m），＝（2，5）若 ⊥，则实数m＝（ ）
A．1 B． C． D．﹣
【分析】利用向量垂直的性质直接求解．
【解答】解：∵向量＝（1，m），＝（2，5），⊥，
∴＝2+5m＝0，
解得实数m＝﹣．
故选：D．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（6分）已知A＝{x|x≤1}}，B＝{x|≤0}，若A∪B＝{x|x≤2}，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a≥1 D．a≤1
【分析】根据A∪B＝{x|x≤2}即可得出B＝{x|a≤x≤2}，进而得出a≤1．
【解答】解：∵，A∪B＝{x|x≤2}，
∴B＝{x|a≤x≤2}，
∴a≤1．
故选：D．
【点评】本题考查了描述法的定义，分式不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
4．（6分）已知椭圆分别过点A（2，0）和点，则该椭圆的焦距为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
【分析】有题意将点的坐标代入椭圆的方程求出a，b再由a，b，c之间的关系求出c的值，再求焦距2c的值．
【解答】解：有题意可得：a＝2，且+＝1，可得：a2＝4，b2＝1，c2＝a2﹣b2＝4﹣1＝3，所以c＝，
所以焦距2c＝2，
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的定义，a，b，c之间的关系，属于基础题
5．（6分）已知实数a＞0，b＞0，且ab＝2，则行列式的（ ）
A．最小值是2 B．最小值是 C．最大值是2 D．最大值是
【分析】由实数a＞0，b＞0，且ab＝2，得到＝a+b≥，由此能求出行列式的最小值．
【解答】解：∵实数a＞0，b＞0，且ab＝2，
∴＝a+b≥＝2，
当且仅当a＝b时，取等号，
∴行列式的最小值是2．
故选：B．
【点评】本题考查行列式的最小值的求法，考查行列式展开法则和基本不等式的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（6分）“k＝1“是“直线l1：kx+y+1＝0和直线l2：x+ky+3＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由k2﹣1＝0，解得k，即可判断出关系．
【解答】解：由k2﹣1＝0，解得k＝±1．
经过验证，k＝±1都满足条件．
∴“k＝1“是“直线l1：kx+y+1＝0和直线l2：x+ky+3＝0平行”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（6分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝BC＝2，，则异面直线AC1与A1B1所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】由题意画出图形，连接AC1，BC1，可知∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角．然后求解三角形得答案．
【解答】解：连接AC1，BC1，可知∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角．
∵△ABC1为直角三角形，且AB⊥BC1，AB＝2，，
∴，得∠BAC1＝60°．
即异面直线AC1与A1B1所成的角为60°．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成的角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．
8．（6分）样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【分析】根据平均数求出a的值，再计算方差和标准差．
【解答】解：数据a，1，2，3，4的平均数是
×（a+1+2+3+4）＝2，
解得a＝0；
所以该组数据的方差是
s2＝×[（0﹣2）2+（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝2，
标准差是s＝．
故选：D．
【点评】本题考查了平均数和方差、标准差的计算问题，是基础题．
9．（6分）下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（ ）
A．y＝﹣x﹣1 B．y＝
C．y＝x|x| D．y＝2x+2﹣x
【分析】结合函数的奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断．
【解答】解：A：y＝﹣x﹣1在定义域内（0，+∞）∪（﹣∞，0）内不单调，不符合题意；
B：y＝在定义域R上先减后增，不符合题意；
C：y＝x|x|＝在定义域R上单调递增，且f（﹣x）＝﹣x|﹣x|＝﹣x|x|＝﹣f（x），为奇函数，符合题意；
D：因为y＝2x+2﹣x为偶函数，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．
10．（6分）给出以下四个命题：其中正确命题的个数是（ ）
①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
②依次首尾相接的四条线段必共面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；
④垂直于同一直线的两条直线必平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】直接利用线面的平行和垂直的判定和性质的应用求出结果．
【解答】解：①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；由平面的判定的应用直接得出．正确；
②依次首尾相接的四条线段必共面；错误，可以异面，故错误；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；也可以是互补，故错误；
④垂直于同一直线的两条直线必平行．可以是异面直线，故错误．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：立体几何中的线面之间的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
11．（6分）已知 （1+x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，在a0，a1，a2，…，a6这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据条件得到a0，a1，a2，…，a6这7个数分别为：＝1，＝6，＝15，＝20，＝15，＝6，＝1，4个奇数，3个偶数；进而求得其对应的概率．
【解答】解：因为（1+x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，
∴a0，a1，a2，…，a6这7个数分别为：＝1，＝6，＝15，＝20，＝15，＝6，＝1．
4个奇数，3个偶数；
从中任取两数共有：＝21种；
所取的两数之和为偶数的有：+＝9；
∴所取的两数之和为偶数的概率为：＝．
故选：B．
【点评】本题主要考察二项式系数的性质，以及概率的应用，属于基础题目．
12．（6分）下列命题中是假命题的是（ ）
A．对任意的φ∈R，函数f（x）＝cos（2x+φ）都不是奇函数
B．对任意的a＞0，函数f（x）＝log2x﹣a都有零点
C．存在α、β∈R，使得sin（α+β）＝sinα+sinβ
D．不存在k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减
【分析】直接利用函数的性质的应用，三角函数关系式的变换和赋值法的应用求出结果．
【解答】解：对于选项A：当φ＝（k∈Z）时f（x）＝±sin2x，故函数为奇函数，故该命题为假命题．
对于选项B：对任意的a＞0，函数f（x）＝log2x的值域为R，所以无论a取任何大于0的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题．
对于选项C：当α＝β＝0时，使得sin（α+β）＝sinα+sinβ＝0，故该命题为真命题．
对于选项D：由于α＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2≥2，所以函数y＝xα在x∈（0，+∞）单调递增，
故不存在k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减，
所以故该命题为真命题．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
13．（6分）函数的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数，可以排除A，进而分析x→+∞时，函数图象的变化趋势，排除BD，即可得答案．
【解答】解：根据题意，，有≠0，则有x≠±1，即函数的定义域为{x|x≠±1}，
又由f（﹣x）＝log2||＝﹣log2||＝﹣f（x），即函数为奇函数，排除A；
又由当x→+∞时，||→1，则f（x）→0，排除BD；
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象变换，注意分析函数的奇偶性、特殊值，属于基础题．
14．（6分）如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1（km），CD＝3（km），在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A、C之间的距离为（ ）
A．2（km） B．（km） C．（km） D．3（km）
【分析】由直角三角形的边角关系求出BE、DE，利用余弦定理求出BD，再计算AC的值．
【解答】解：AB＝1，CD＝3，
∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠AEC＝120°，
∴BE＝＝＝，DE＝＝＝；
△ACE中，由余弦定理得：
BD2＝BE2+DE2﹣2×BE×DE×cos∠BED
＝3+3﹣2×××（﹣）
＝9，
所以BD＝3；
所以AC＝＝＝，
即两山顶A，C之间的距离为km．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．
15．（6分）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+12＝2Sn+n+1（n∈N*），设数列的前n项和为Tn，则＝（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【分析】本题由an+12＝2Sn+n+1，可得an2＝2Sn﹣1+n，（n≥2）两式相减，进一步转化计算可得an+1＝an+1，则数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可计算出数列{an}的通项公式，然后计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前n项和Tn，最后计算出极限的值．
【解答】解：依题意，由an+12＝2Sn+n+1，可得：
an2＝2Sn﹣1+n，（n≥2）
两式相减，可得：
an+12﹣an2＝2Sn+n+1﹣2Sn﹣1﹣n＝2an+1，
∴an+12＝an2+2an+1＝（an+1）2，
∵an+1＞0，an+1＞0，
∴an+1＝an+1，
∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴an＝1+（n﹣1）•1＝n，n∈N*．
∴＝＝﹣，
则Tn＝++…+
＝1﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝，
∴则＝＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，运用裂项相消法求和，以及数列极限的计算．考查了转化与化归思想，等差数列的基础知识，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．
16．（10分）在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，△ABC的外接圆圆心为O，则＝（ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
【分析】可画出图形，并将O和AC中点D连接，O和AB中点E连接，从而得到OD⊥AC，OE⊥AB，根据数量积的计算公式及条件即可得出•，，从而便可得出的值．
【解答】解：如图，取AC中点D，AB中点E，
并连接OD，OE，则：
OD⊥AC，OE⊥AB；
∴•＝＝，
•＝＝；
∴•＝•（﹣）＝•﹣＝﹣＝8．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义．
17．（10分）已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣2的所有零点依次记为x1，x2，…，xn，且x1＜x2＜…＜xn，则x1+2x2+…+2xn﹣1+xn＝（ ）
A．2π B．π C．4π D．π
【分析】求出f（x）的对称轴，根据f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．
【解答】解：令2x+＝+kπ得x＝+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x＝+，k∈Z．
∵f（x）的最小正周期为T＝π，x∈[0，]，
∴f（x）在x∈[0，]上有5条对称轴，
第一条是，最后一条是：；
x1，x2关于对称，x2，x3关于对称…
∴x1+x2＝2×，x2+x3＝2×，x3+x4＝2×，…，x4+x5＝2×，
将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn＝2×（+++）＝．
故选：D．
【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题．
18．（10分）设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0＝0（a2≠0）在复数集C内的根为x1、x2，则由a2（x﹣x1）（x﹣x2）＝a2x2﹣a2（x1+x2）x+a2x1x2＝0，可得x1+x2＝﹣．类比上述方法：设实系数一元三次方程x3+2x2+3x+4＝0在复数集C内的根为x1，x2，x3，则x12+x22+x32的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【分析】由x3+2x2+3x+4＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝+a3（x1x2+x1x3+x2x3）•x﹣a3x1x2x3，利用对应系数相等知x1+x2+x3＝﹣2，x1x2+x1x3+x2x3＝3，再由x12+x22+x32＝（x1+x2+x3）2﹣2（x1x2+x1x3+x2x3），能求出结果．
【解答】解：∵x3+2x2+3x+4
＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）
＝+（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣x1x2x3
＝+a3（x1x2+x1x3+x2x3）•x﹣a3x1x2x3，
由对应系数相等知：
x1+x2+x3＝﹣2，x1x2+x1x3+x2x3＝3，
∴x12+x22+x32＝（x1+x2+x3）2﹣2（x1x2+x1x3+x2x3）＝4﹣6＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查代数式的值的求法，考查类比推理等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（10分）已知函数关于点（0，﹣12）对称，若对任意的x∈[﹣1，1]，k•2x﹣f（2x）≥0恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．k≤﹣11 B．k≥﹣11 C．k≤1 D．k≥11
【分析】运用f（x）的图象关于（0，a）对称，求得a＝﹣12，由题意可得k•2x≥3•2x+﹣12在x∈[﹣1，1]恒成立，所以k≥﹣+3，令t＝，运用指数函数的单调性求得t的范围，设h（t）＝8t2﹣12t+3，求得其最大值，可得k的范围．
【解答】解：由y＝3x+为奇函数，可得其图象关于（0，0）对称，可得f（x）的图象关于（0，a）对称，
函数关于点（0，﹣12）对称，可得a＝﹣12，
对任意的x∈[﹣1，1]，k•2x﹣f（2x）≥0恒成立，即k•2x≥3•2x+﹣12在x∈[﹣1，1]恒成立，
所以k≥﹣+3，令t＝，由x∈[﹣1，1]，可得t∈[，2]，
设h（t）＝8t2﹣12t+3＝8（t﹣）2﹣，
当t＝2时，h（t）取得最大值11，
则k的取值范围是k≥11，
故选：D．
【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和指数函数的单调性、二次函数的最值求法，考查运算求解能力，属于中档题．
20．（10分）已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为（ ）
A． B．1 C．2 D．﹣2
【分析】把点P的坐标代入抛物线方程求出p的值，得到抛物线方程，设直线AB的方程为y＝k（x+1）﹣2 （k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理结合点A，B在抛物线上化简kPA•kPB，即可得到kPA•kPB＝2．
【解答】解：由点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px上，可得2p＝4，
∴p＝2，
∴抛物线方程为：y2＝4x，
由已知得Q（﹣1，﹣2），设点A（x1，y1），B（x2，y2），
由题意直线AB斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为y＝k（x+1）﹣2 （k≠0），
联立方程，消去x得：ky2﹣4y+4k﹣8＝0，
∴，，
因为点A，B在抛物线C上，所以，，
∴＝＝，kPB＝＝，
∴kPA•kPB＝•＝＝＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，以及斜率公式，是中档题．
21．（10分）若数列{bn}的每一项都是数列{an}中的项，则称{bn}是{an}的子数列．已知两个无穷数列{an}、{bn}的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且{bn}是{an}的子数列，则满足条件的数列{bn}的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个
【分析】由{bn}是{}的子数列，可设b1＝，，公比q＝，又因为S＝＝可得k，m得关系，再有等比数列的通项公式得
通过m取值代入不定方程检验求解，找出符合条件的数列有2个．
【解答】解：设（k≥1，k∈N+），公比q＝（m＞0），则b1qn＝.＝（k，p∈N+）
对任意的n∈N+都成立，故m是正奇数，又S存在，所以m＞1．
m＝3时，S＝，此时b1＝，即，成立．
当m＝5时，S＝，此时b1＝，∵不是数列{an}中的项，故不成立．
m＝7时，S＝，此时b1＝，bn＝，成立．
当m≥9时，1﹣≥，由＝，得（1﹣）≥，得k≤，又因为k∈N+，所以k＝1，2，此时b1＝1或，
分别代入S＝＝，得到q＜0不合题意，
由此满足条件的数列只有两个，即bn＝，或bn＝，
故选：C．
【点评】本题根据新定义子数列，结合等比数列的公式，寻找符合条件的数列，属于探索性试题，方法思路不易，是道有难度试题．
日期：2020/5/2 11:47:56；用户：高中数学；邮箱：jbhc01@xyh.com；学号：35960594
一.本试卷共21题，第1～15题每题6分，第16～21题每题10分，满分150分
1．（6分）若复数z＝，则|z|＝（ ）
A．1 B． C．5 D．5
2．（6分）已知向量＝（1，m），＝（2，5）若 ⊥，则实数m＝（ ）
A．1 B． C． D．﹣
3．（6分）已知A＝{x|x≤1}}，B＝{x|≤0}，若A∪B＝{x|x≤2}，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a≥1 D．a≤1
4．（6分）已知椭圆分别过点A（2，0）和点，则该椭圆的焦距为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
5．（6分）已知实数a＞0，b＞0，且ab＝2，则行列式的（ ）
A．最小值是2 B．最小值是 C．最大值是2 D．最大值是
6．（6分）“k＝1“是“直线l1：kx+y+1＝0和直线l2：x+ky+3＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（6分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝BC＝2，，则异面直线AC1与A1B1所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．（6分）样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
9．（6分）下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（ ）
A．y＝﹣x﹣1 B．y＝
C．y＝x|x| D．y＝2x+2﹣x
10．（6分）给出以下四个命题：其中正确命题的个数是（ ）
①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
②依次首尾相接的四条线段必共面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；
④垂直于同一直线的两条直线必平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（6分）已知 （1+x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，在a0，a1，a2，…，a6这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．（6分）下列命题中是假命题的是（ ）
A．对任意的φ∈R，函数f（x）＝cos（2x+φ）都不是奇函数
B．对任意的a＞0，函数f（x）＝log2x﹣a都有零点
C．存在α、β∈R，使得sin（α+β）＝sinα+sinβ
D．不存在k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减
13．（6分）函数的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（6分）如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1（km），CD＝3（km），在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A、C之间的距离为（ ）
A．2（km） B．（km） C．（km） D．3（km）
15．（6分）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+12＝2Sn+n+1（n∈N*），设数列的前n项和为Tn，则＝（ ）
A．0 B． C．1 D．2
16．（10分）在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，△ABC的外接圆圆心为O，则＝（ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
17．（10分）已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣2的所有零点依次记为x1，x2，…，xn，且x1＜x2＜…＜xn，则x1+2x2+…+2xn﹣1+xn＝（ ）
A．2π B．π C．4π D．π
18．（10分）设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0＝0（a2≠0）在复数集C内的根为x1、x2，则由a2（x﹣x1）（x﹣x2）＝a2x2﹣a2（x1+x2）x+a2x1x2＝0，可得x1+x2＝﹣．类比上述方法：设实系数一元三次方程x3+2x2+3x+4＝0在复数集C内的根为x1，x2，x3，则x12+x22+x32的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
19．（10分）已知函数关于点（0，﹣12）对称，若对任意的x∈[﹣1，1]，k•2x﹣f（2x）≥0恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．k≤﹣11 B．k≥﹣11 C．k≤1 D．k≥11
20．（10分）已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为（ ）
A． B．1 C．2 D．﹣2
21．（10分）若数列{bn}的每一项都是数列{an}中的项，则称{bn}是{an}的子数列．已知两个无穷数列{an}、{bn}的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且{bn}是{an}的子数列，则满足条件的数列{bn}的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个
2020年上海市松江区高考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一.本试卷共21题，第1～15题每题6分，第16～21题每题10分，满分150分
1．（6分）若复数z＝，则|z|＝（ ）
A．1 B． C．5 D．5
【分析】先根据复数的除法对其化简，再代入模长计算公式即可．
【解答】解：∵复数z＝＝＝2+i；
∴|z|＝＝；
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的有关概念，比较基础．
2．（6分）已知向量＝（1，m），＝（2，5）若 ⊥，则实数m＝（ ）
A．1 B． C． D．﹣
【分析】利用向量垂直的性质直接求解．
【解答】解：∵向量＝（1，m），＝（2，5），⊥，
∴＝2+5m＝0，
解得实数m＝﹣．
故选：D．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（6分）已知A＝{x|x≤1}}，B＝{x|≤0}，若A∪B＝{x|x≤2}，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a≥1 D．a≤1
【分析】根据A∪B＝{x|x≤2}即可得出B＝{x|a≤x≤2}，进而得出a≤1．
【解答】解：∵，A∪B＝{x|x≤2}，
∴B＝{x|a≤x≤2}，
∴a≤1．
故选：D．
【点评】本题考查了描述法的定义，分式不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
4．（6分）已知椭圆分别过点A（2，0）和点，则该椭圆的焦距为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
【分析】有题意将点的坐标代入椭圆的方程求出a，b再由a，b，c之间的关系求出c的值，再求焦距2c的值．
【解答】解：有题意可得：a＝2，且+＝1，可得：a2＝4，b2＝1，c2＝a2﹣b2＝4﹣1＝3，所以c＝，
所以焦距2c＝2，
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的定义，a，b，c之间的关系，属于基础题
5．（6分）已知实数a＞0，b＞0，且ab＝2，则行列式的（ ）
A．最小值是2 B．最小值是 C．最大值是2 D．最大值是
【分析】由实数a＞0，b＞0，且ab＝2，得到＝a+b≥，由此能求出行列式的最小值．
【解答】解：∵实数a＞0，b＞0，且ab＝2，
∴＝a+b≥＝2，
当且仅当a＝b时，取等号，
∴行列式的最小值是2．
故选：B．
【点评】本题考查行列式的最小值的求法，考查行列式展开法则和基本不等式的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（6分）“k＝1“是“直线l1：kx+y+1＝0和直线l2：x+ky+3＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由k2﹣1＝0，解得k，即可判断出关系．
【解答】解：由k2﹣1＝0，解得k＝±1．
经过验证，k＝±1都满足条件．
∴“k＝1“是“直线l1：kx+y+1＝0和直线l2：x+ky+3＝0平行”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（6分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝BC＝2，，则异面直线AC1与A1B1所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】由题意画出图形，连接AC1，BC1，可知∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角．然后求解三角形得答案．
【解答】解：连接AC1，BC1，可知∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角．
∵△ABC1为直角三角形，且AB⊥BC1，AB＝2，，
∴，得∠BAC1＝60°．
即异面直线AC1与A1B1所成的角为60°．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成的角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．
8．（6分）样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【分析】根据平均数求出a的值，再计算方差和标准差．
【解答】解：数据a，1，2，3，4的平均数是
×（a+1+2+3+4）＝2，
解得a＝0；
所以该组数据的方差是
s2＝×[（0﹣2）2+（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝2，
标准差是s＝．
故选：D．
【点评】本题考查了平均数和方差、标准差的计算问题，是基础题．
9．（6分）下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（ ）
A．y＝﹣x﹣1 B．y＝
C．y＝x|x| D．y＝2x+2﹣x
【分析】结合函数的奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断．
【解答】解：A：y＝﹣x﹣1在定义域内（0，+∞）∪（﹣∞，0）内不单调，不符合题意；
B：y＝在定义域R上先减后增，不符合题意；
C：y＝x|x|＝在定义域R上单调递增，且f（﹣x）＝﹣x|﹣x|＝﹣x|x|＝﹣f（x），为奇函数，符合题意；
D：因为y＝2x+2﹣x为偶函数，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．
10．（6分）给出以下四个命题：其中正确命题的个数是（ ）
①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
②依次首尾相接的四条线段必共面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；
④垂直于同一直线的两条直线必平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】直接利用线面的平行和垂直的判定和性质的应用求出结果．
【解答】解：①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；由平面的判定的应用直接得出．正确；
②依次首尾相接的四条线段必共面；错误，可以异面，故错误；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；也可以是互补，故错误；
④垂直于同一直线的两条直线必平行．可以是异面直线，故错误．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：立体几何中的线面之间的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
11．（6分）已知 （1+x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，在a0，a1，a2，…，a6这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据条件得到a0，a1，a2，…，a6这7个数分别为：＝1，＝6，＝15，＝20，＝15，＝6，＝1，4个奇数，3个偶数；进而求得其对应的概率．
【解答】解：因为（1+x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，
∴a0，a1，a2，…，a6这7个数分别为：＝1，＝6，＝15，＝20，＝15，＝6，＝1．
4个奇数，3个偶数；
从中任取两数共有：＝21种；
所取的两数之和为偶数的有：+＝9；
∴所取的两数之和为偶数的概率为：＝．
故选：B．
【点评】本题主要考察二项式系数的性质，以及概率的应用，属于基础题目．
12．（6分）下列命题中是假命题的是（ ）
A．对任意的φ∈R，函数f（x）＝cos（2x+φ）都不是奇函数
B．对任意的a＞0，函数f（x）＝log2x﹣a都有零点
C．存在α、β∈R，使得sin（α+β）＝sinα+sinβ
D．不存在k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减
【分析】直接利用函数的性质的应用，三角函数关系式的变换和赋值法的应用求出结果．
【解答】解：对于选项A：当φ＝（k∈Z）时f（x）＝±sin2x，故函数为奇函数，故该命题为假命题．
对于选项B：对任意的a＞0，函数f（x）＝log2x的值域为R，所以无论a取任何大于0的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题．
对于选项C：当α＝β＝0时，使得sin（α+β）＝sinα+sinβ＝0，故该命题为真命题．
对于选项D：由于α＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2≥2，所以函数y＝xα在x∈（0，+∞）单调递增，
故不存在k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减，
所以故该命题为真命题．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
13．（6分）函数的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数，可以排除A，进而分析x→+∞时，函数图象的变化趋势，排除BD，即可得答案．
【解答】解：根据题意，，有≠0，则有x≠±1，即函数的定义域为{x|x≠±1}，
又由f（﹣x）＝log2||＝﹣log2||＝﹣f（x），即函数为奇函数，排除A；
又由当x→+∞时，||→1，则f（x）→0，排除BD；
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象变换，注意分析函数的奇偶性、特殊值，属于基础题．
14．（6分）如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1（km），CD＝3（km），在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A、C之间的距离为（ ）
A．2（km） B．（km） C．（km） D．3（km）
【分析】由直角三角形的边角关系求出BE、DE，利用余弦定理求出BD，再计算AC的值．
【解答】解：AB＝1，CD＝3，
∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠AEC＝120°，
∴BE＝＝＝，DE＝＝＝；
△ACE中，由余弦定理得：
BD2＝BE2+DE2﹣2×BE×DE×cos∠BED
＝3+3﹣2×××（﹣）
＝9，
所以BD＝3；
所以AC＝＝＝，
即两山顶A，C之间的距离为km．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．
15．（6分）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+12＝2Sn+n+1（n∈N*），设数列的前n项和为Tn，则＝（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【分析】本题由an+12＝2Sn+n+1，可得an2＝2Sn﹣1+n，（n≥2）两式相减，进一步转化计算可得an+1＝an+1，则数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可计算出数列{an}的通项公式，然后计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前n项和Tn，最后计算出极限的值．
【解答】解：依题意，由an+12＝2Sn+n+1，可得：
an2＝2Sn﹣1+n，（n≥2）
两式相减，可得：
an+12﹣an2＝2Sn+n+1﹣2Sn﹣1﹣n＝2an+1，
∴an+12＝an2+2an+1＝（an+1）2，
∵an+1＞0，an+1＞0，
∴an+1＝an+1，
∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴an＝1+（n﹣1）•1＝n，n∈N*．
∴＝＝﹣，
则Tn＝++…+
＝1﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝，
∴则＝＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，运用裂项相消法求和，以及数列极限的计算．考查了转化与化归思想，等差数列的基础知识，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．
16．（10分）在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，△ABC的外接圆圆心为O，则＝（ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
【分析】可画出图形，并将O和AC中点D连接，O和AB中点E连接，从而得到OD⊥AC，OE⊥AB，根据数量积的计算公式及条件即可得出•，，从而便可得出的值．
【解答】解：如图，取AC中点D，AB中点E，
并连接OD，OE，则：
OD⊥AC，OE⊥AB；
∴•＝＝，
•＝＝；
∴•＝•（﹣）＝•﹣＝﹣＝8．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义．
17．（10分）已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣2的所有零点依次记为x1，x2，…，xn，且x1＜x2＜…＜xn，则x1+2x2+…+2xn﹣1+xn＝（ ）
A．2π B．π C．4π D．π
【分析】求出f（x）的对称轴，根据f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．
【解答】解：令2x+＝+kπ得x＝+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x＝+，k∈Z．
∵f（x）的最小正周期为T＝π，x∈[0，]，
∴f（x）在x∈[0，]上有5条对称轴，
第一条是，最后一条是：；
x1，x2关于对称，x2，x3关于对称…
∴x1+x2＝2×，x2+x3＝2×，x3+x4＝2×，…，x4+x5＝2×，
将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn＝2×（+++）＝．
故选：D．
【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题．
18．（10分）设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0＝0（a2≠0）在复数集C内的根为x1、x2，则由a2（x﹣x1）（x﹣x2）＝a2x2﹣a2（x1+x2）x+a2x1x2＝0，可得x1+x2＝﹣．类比上述方法：设实系数一元三次方程x3+2x2+3x+4＝0在复数集C内的根为x1，x2，x3，则x12+x22+x32的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【分析】由x3+2x2+3x+4＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝+a3（x1x2+x1x3+x2x3）•x﹣a3x1x2x3，利用对应系数相等知x1+x2+x3＝﹣2，x1x2+x1x3+x2x3＝3，再由x12+x22+x32＝（x1+x2+x3）2﹣2（x1x2+x1x3+x2x3），能求出结果．
【解答】解：∵x3+2x2+3x+4
＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）
＝+（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣x1x2x3
＝+a3（x1x2+x1x3+x2x3）•x﹣a3x1x2x3，
由对应系数相等知：
x1+x2+x3＝﹣2，x1x2+x1x3+x2x3＝3，
∴x12+x22+x32＝（x1+x2+x3）2﹣2（x1x2+x1x3+x2x3）＝4﹣6＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查代数式的值的求法，考查类比推理等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（10分）已知函数关于点（0，﹣12）对称，若对任意的x∈[﹣1，1]，k•2x﹣f（2x）≥0恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．k≤﹣11 B．k≥﹣11 C．k≤1 D．k≥11
【分析】运用f（x）的图象关于（0，a）对称，求得a＝﹣12，由题意可得k•2x≥3•2x+﹣12在x∈[﹣1，1]恒成立，所以k≥﹣+3，令t＝，运用指数函数的单调性求得t的范围，设h（t）＝8t2﹣12t+3，求得其最大值，可得k的范围．
【解答】解：由y＝3x+为奇函数，可得其图象关于（0，0）对称，可得f（x）的图象关于（0，a）对称，
函数关于点（0，﹣12）对称，可得a＝﹣12，
对任意的x∈[﹣1，1]，k•2x﹣f（2x）≥0恒成立，即k•2x≥3•2x+﹣12在x∈[﹣1，1]恒成立，
所以k≥﹣+3，令t＝，由x∈[﹣1，1]，可得t∈[，2]，
设h（t）＝8t2﹣12t+3＝8（t﹣）2﹣，
当t＝2时，h（t）取得最大值11，
则k的取值范围是k≥11，
故选：D．
【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和指数函数的单调性、二次函数的最值求法，考查运算求解能力，属于中档题．
20．（10分）已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为（ ）
A． B．1 C．2 D．﹣2
【分析】把点P的坐标代入抛物线方程求出p的值，得到抛物线方程，设直线AB的方程为y＝k（x+1）﹣2 （k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理结合点A，B在抛物线上化简kPA•kPB，即可得到kPA•kPB＝2．
【解答】解：由点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px上，可得2p＝4，
∴p＝2，
∴抛物线方程为：y2＝4x，
由已知得Q（﹣1，﹣2），设点A（x1，y1），B（x2，y2），
由题意直线AB斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为y＝k（x+1）﹣2 （k≠0），
联立方程，消去x得：ky2﹣4y+4k﹣8＝0，
∴，，
因为点A，B在抛物线C上，所以，，
∴＝＝，kPB＝＝，
∴kPA•kPB＝•＝＝＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，以及斜率公式，是中档题．
21．（10分）若数列{bn}的每一项都是数列{an}中的项，则称{bn}是{an}的子数列．已知两个无穷数列{an}、{bn}的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且{bn}是{an}的子数列，则满足条件的数列{bn}的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个
【分析】由{bn}是{}的子数列，可设b1＝，，公比q＝，又因为S＝＝可得k，m得关系，再有等比数列的通项公式得
通过m取值代入不定方程检验求解，找出符合条件的数列有2个．
【解答】解：设（k≥1，k∈N+），公比q＝（m＞0），则b1qn＝.＝（k，p∈N+）
对任意的n∈N+都成立，故m是正奇数，又S存在，所以m＞1．
m＝3时，S＝，此时b1＝，即，成立．
当m＝5时，S＝，此时b1＝，∵不是数列{an}中的项，故不成立．
m＝7时，S＝，此时b1＝，bn＝，成立．
当m≥9时，1﹣≥，由＝，得（1﹣）≥，得k≤，又因为k∈N+，所以k＝1，2，此时b1＝1或，
分别代入S＝＝，得到q＜0不合题意，
由此满足条件的数列只有两个，即bn＝，或bn＝，
故选：C．
【点评】本题根据新定义子数列，结合等比数列的公式，寻找符合条件的数列，属于探索性试题，方法思路不易，是道有难度试题．
日期：2020/5/2 11:47:56；用户：高中数学；邮箱：jbhc01@xyh.com；学号：35960594
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