陕西省咸阳市武功县2020届高三模拟考试理科数学试题
展开武功县2020年高考模拟试题理科数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
集合，，
则.
故答案为C.
2.已知复数满足,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】由，
得．
故选．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据被开方数非负，以及真数大于零，即可求得结果.
【详解】要使得函数有意义，
则，
解得.
故选：B.
【点睛】本题考查复合函数定义域的求解，属基础题.
4.已知，那么“”是“共线”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 非充分非必要条件 D. 充要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出共线时的值，再由充分必要条件的定义判断，即可得出结论.
【详解】，当共线时得，
所以“”是“共线”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，利用共线向量的坐标关系是解题的关键，属于基础题.
5.古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，则至少需要
A. 7天 B. 8天 C. 9天 D. 10天
【答案】C
【解析】
【分析】
设所需天数为n天，第一天3为尺，先由等比数列前n项和公式求出，在利用前n项和，便可求出天数n的最小值．
【详解】设该女子所需天数至少为n天，第一天织布尺，
由题意得： ，
解得 ，
，
解得，，
所以要织布总尺数不少于50尺，该女子所需天数至少为9天，
故选C.
【点睛】本题考查等比数列的前n项和，直接两次利用等比数列前n项和公式便可得到答案．
6.设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由长方体的结构特征可得，长方体的外接球的直径为长方体的对角线，即可求解.
【详解】长方体的长、宽、高分别为，
则其对角线长为，
又长方体的顶点都在一个球面上，
所求的球半径，
所以表面积为.
故选：B.
【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，对于常见几何体与球的关系要熟练掌握，属于基础题.
7.某班全体学生参加历史测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是（ ）
A. 70 B. 75 C. 66 D. 68
【答案】D
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图求出各组的频率，按照平均数公式即可求解.
【详解】依题意该班历史平均数估计为
.
故选：D.
【点睛】本题考查由频率分布直方图求样本的平均数，熟记公式即可，考查计算求解能力，属于基础题.
8.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得，结合条件可得所求结果．
【详解】由题意得，
故选A．
【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式，解题的关键是合理利用“1”的代换，将所求值转化为齐次式的形式，然后再根据条件求解．
9.若，则二项式的展开式中含项的系数是( )
A. 210 B. C. 240 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据微积分基本定理求得，再利用二项式的通项公式，即可求得结果.
【详解】因为.
又的通项公式为，
令，故可得含有项的系数为.
故选：C.
【点睛】本题考查微积分基本定理，以及二项式定义，属综合基础题.
10.设是直线，，是两个不同的平面( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可.
【详解】由是直线，，是两个不同的平面，可知：
A选项中，若，，则，可能平行也可能相交，错误；
B选项中，若，，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知，正确；
C选项中，若，，由面面垂直、线面垂直的性质可知或，错误；
D选项中，若，，则，可能平行也可能相交，错误.
故选：B.
【点睛】本题考查了线面、面面间的位置关系的判断，考查了空间思维能力，属于基础题.
11.函数的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C；当时，，，故，故排除A、D，
故选B.
考点：函数的图象.
12.斜率为2的直线过双曲线的左焦点，且与双曲线的左、右支分别相交，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据几何关系，求得的关系，即可求得离心率范围.
【详解】要满足题意，只需，
故.
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，列出不等式关系是解题重点，属基础题.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求的值，再求的值.
【详解】由题得，
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查指数对数运算和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
14.在等差数列中，，则该数列前20项的和为_____.
【答案】300
【解析】
【分析】
根据已知条件结合等差数列的性质可得，求出，即可求解.
【详解】在等差数列中，，
，
.
故答案为：300.
【点睛】本题考查等差数列的前项和，利用等差数列的性质是解题的关键，属于基础题.
15.计算_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据分数指数幂和对数的运算法则即可求解.
【详解】
故答案：.
【点睛】本题考查指数幂和对数运算，熟记运算法则即可，属于基础题.
16.已知函数的导函数为，且满足，则______.
【答案】.
【解析】
【分析】
对函数的解析式求导，得到其导函数，把代入导函数中，列出关于的方程，进而得到的值，确定出函数的解析式，把代入解析式，即可求出的值
【详解】解：求导得：，令，得，解得：
∴，，故答案为-2．
【点睛】此题考查了导数的运算，以及函数的值．运用求导法则得出函数的导函数，求出常数的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
（一）必考题（共60分）
17.已知中，、、是三个内角、、的对边，关于的不等式的解集是空集．
（Ⅰ）求角的最大值；
（Ⅱ）若，的面积，求当角取最大值时的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）若解集为空，则，
解得.
则C的最大值为.
（2）＝，得，
由余弦定理得：， 从而得
则 .
考点：解三角形及不等式
点评：解三角形的题目常用到正弦定理，余弦定理，
，三角形面积公式
18.为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与．志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物．每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作．相关统计数据如下表所示：
到班级宣传 | 整理、打包衣物 | 总计 |
20人 | 30人 | 50人 |
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？
（Ⅱ）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由分层抽样方法得参与到班级宣传志愿者被抽中的有2人，参与整理、打包衣物者被抽中的有3人，由此能求出至少有1人是参与班级宣传的志愿者的概率．
（Ⅱ）女生志愿者人数X=0，1，2，分别求出其概率，由此能求出随机变量X的分布列及数学期望．
【解答】（Ⅰ）解：用分层抽样方法，每个人抽中的概率是，
∴参与到班级宣传的志愿者被抽中的有20×=2人，
参与整理、打包衣物者被抽中的有30×=3人，
故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率为：P=1﹣=．
（Ⅱ）解：女生志愿者人数X=0，1，2，
则，
，
，
∴X的分布列为：
∴X的数学期望EX==．
考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．
19.如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，，.
（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）证明：连接，，发现，求出和，并证得，又平面，所以，所以平面，证得；（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量为，设平面的法向量为，然后计算夹角即可.
【详解】解：（1）证明：连接，，
因为在中，，，．
所以．
所以，
因为．
所以，
又平面，且平面，
所以，，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，设平面的法向量为，
则，取，
则，
取．
所以，
即二面角的平面角的余弦值为．
【点睛】本题考查了直线与平面垂直的证明，空间向量求解二面角的平面角，属于中档题.
20.已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率，它与直线交于P、Q两点，若，求椭圆方程．为原点．
【答案】
【解析】
【分析】
先设出椭圆的标准方程,根据离心率的范围求得a和c的关系,进而表示出b和a的关系,代入椭圆方程,根据判断出,直线与椭圆方程联立消去y,进而根据表示出和,根据求得b的值．进而可得椭圆的方程．
【详解】解：设椭圆方程为,
由得
椭圆方程为,即设,,
则由由,
椭圆方程为
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质．直线与圆锥曲线的关系,以及平面向量的几何意义．考查了基本知识的识记和基本的运算能力．
21.函数的图象在处的切线方程为：.
（1）求和的值；
（2）若满足：当时，，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】
（1）根据切线斜率，以及导数值，即可求得参数；
（2）分离参数，利用导数求解函数值域，即可容易求得结果.
【详解】（1）因为，故可得，
又因为在处的切线方程为：，
故可得，解得；
又在函数的图像上，
故可得；
综上所述：
（2）因为当时，，
等价于在区间上恒成立.
令，则只需即可.
故可得，令，
容易知其在为单调增函数，且，
故存在，使得.且，即，
则在区间单调递减，在单调递增.
故，
故要满足题意，只需，
即.
【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数求解恒成立问题，属综合中档题.
（二）选考题（共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）
选修4-4：参数方程与极坐标
22.在极坐标系中,过曲线外的一点(其中，为锐角)作平行于的直线与曲线分别交于．
(Ⅰ) 写出曲线和直线的普通方程(以极点为原点,极轴为 轴的正半轴建系)；
（Ⅱ）若成等比数列,求的值．
【答案】(Ⅰ) 曲线L和直线的普通方程分别为，
（Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据极坐标方程与直角坐标系下的普通方程的互化公式可求曲线方程及直线方程.
（Ⅱ）写出直线的参数方程,代入曲线L 的普通方程得 ,利用韦达定理以及题设条件化简得到的值．
【详解】(Ⅰ)由两边同乘以得到
所以曲线L的普通方程为
由，为锐角，得
所以 的直角坐标为，即
因为直线平行于直线，所以直线的斜率为1
即直线的方程为
所以曲线L和直线的普通方程分别为，
（Ⅱ）直线的参数方程为 (为参数),代入得到
,则有
因为 ,所以
即
解得
【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线参数方程中参数的几何意义，属于中档题．
选修4-5：不等式选讲
23.设函数.
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若函数的定义域为，试求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）令，在同一坐标系中作出函数和的图象，结合图象可得，求得不等式的解集，即可求解；
（2）由题意转化为，由（1）求得，即可求解．
【详解】（1）由题意，令，
在同一坐标系中作出函数和的图象，如图所示，
结合图象可得，不等式的解集为，
函数的定义域为.
（2）由题设知，当时，恒有，即，
又由（1）知，∴，即
【点睛】本题主要考查了函数的定义域，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中合理转化，正确作出函数图象，结合函数点的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．
