山西省太原市2020届高三模拟试题（二）数学（文）试题

太原市2020年高三年级模拟试题（二）

数学试卷（文科）

（考试时间：下午3：00——5：00）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。

2．回答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则=

A．          B．

C．          D．

2．设复数z满足(1－i)·z=i，则=

A．            B．           C． 2         D．

3．等比数列的前n项和为，若=2，=－6，则=

A．－22            B．－14           C．10         D．18

4．已知，则

A．a＜b＜c       B．a＜c＜b           C．b＜a＜c            D．c＜a＜b

5．右边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．n≡N(modm)表示正整数n除以正整数m的余数为N，例如10≡4(mod6)．执行该程序框图，则输出的n等于

A．11         B．13           C．14            D．17

6．已知，则=

A．        B．          C．            D．

7．函数的图象大致为

8．圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生N人．让每人随机写出一对小于1的正实数a，b，再统计出a，b，1能构造锐角三角形的人数M，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是

A．        B．      C．       D．

9．已知，是两个非零向量，其夹角为，若，且，则=

A．           B．            C．              D．

10．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，设点M（3，0）．若△MAB的面积为．则|AB|=

A．2            B．4            C．             D．8

11．对于函数．有下列说法：

①f（x）的值城为[-1，1]；

②当且仅当时，函数f（x）取得最大值；

③函数f（x）的最小正周期是π；

④当且仅当时f（x）＞0．

其中正确结论的个数是

A．①②            B．②④           C．③④              D．①③

12．三棱锥P—ABC中．AB⊥BC，△PAC为等边三角形，二面角P—AC—B的余弦值为，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π ．则三棱锥体积的最大值为

A．1             B．2              C．              D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若曲线在点处的切线方程为，则=         .

14．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是双曲线上一点，若为等腰三角形，，则双曲线的离心率为         .

15．已知△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，a+c=6，，则△ABC面积的最大值是           .

16．中国古代教育要求学生掌握“六艺”，即“礼、乐、射、御、书、数”．某校为弘扬中国传统文化，举行有关“六艺”的知识竞赛．甲、乙、丙三位同学进行了决赛．决赛规则：决赛共分6场，每场比赛的第一名、第二名、第三名的得分分别为a，b，c（a>b>c，a，b，c），选手最后得分为各场得分之和，决赛结果是甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，现有下列说法：

①每场比赛第一名得分a=4分；

②甲可能有一场比赛获得第二名；

③乙有四场比赛获得第三名；

④丙可能有一场比赛获得第一名.

则以上说法中正确的序号是            .

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）

已知数列的前n项和为Sn，且满足

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）若.求数列的前n项和Tn．

18．（本小题满分12分）

按照水果市场的需要等因素，水果种植户把这种成熟后的水果按其直径d的大小分为了不同的等级．某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售，为了了解这种水果的质量等级情况，随机抽取了100个这种水果，统计得到如下直径分布表：（单位：mm）

    用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品中共抽取6个，其中一级品2个.

（Ⅰ）估计这批水果中特级品的比例；

（Ⅱ）已知样本中这种水果不按等级混装的话20个约1斤，该种植户有20000斤这种水果代售，商家提出两种收购方案；

方案A：以6.5元/斤收购；

方案B：以级别分装收购，每袋20个，特级品8元/袋，一级品5元/袋，二级品4元/袋，三级品3元/袋.

用样本的频率分布估计总体分布，问哪个方案种植户的收益更高？并说明理由.

19．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，PD=DC=2，∠PDC=120°，E是PC的中点，点F在AB上，且AB=4AF.

（Ⅰ）求证：EF⊥CD；

（Ⅱ）求点F到平面ADE的距离.

20．（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为，一个顶点为，直线交椭圆于A，B两点，且MA⊥MB.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）证明：直线过定点.

21．（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）若函数有两个零点，求的取值范围；

（Ⅱ）证明：当时，对任意满足的正实数，都有.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数） ，曲线C2的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点．x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；

（Ⅱ）射线与曲线C2交于O，P两点，射线与曲线C1交于点Q，若△OPQ的面积为1，求|OP|的值．

23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]

已知a，b，c为正实数．

（Ⅰ）若a+b+c= 1，证明：；

（Ⅱ）证明：