山西省太原市第五中学2020届高三6月模拟考试数学（文科）试题
展开太原五中2019-2020学年度6月份月考试题（一）
高三数学（文）
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若，则（ ）
A. B. C. D.
3.在正方体中，下列命题正确的是（ ）
A.与是相交直线且互相垂直； B.与是异面直线且互相垂直；
C.与是相交直线且互相垂直； D.与是异面直线且互相垂直
4.新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性，下面的图表给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况.（图表见下页）下列说法中不正确的是（ ）
A.每天新增疑似病例的中位数为2；
B.在对新增确诊病例的统计中，样本容量为18；
C.每天新增确增与新增疑似病例之和不超过20例的天数为13天；
D.在对新增确诊病例的统计中，样本是4月18日至5月5日.
5.在直角三角形中，，，点P是斜边上一点，且，则（ ）
A.-4 B-2 C.2 D.4
6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A.14 B.15 C.16 D.17
7.设、是两个非零向量，下列命题正确的是（ ）
A.若，则；
B.若，则；
C.若，则存在实数，使得；
D.若存在实数，使得，则
8.函数的部分图象大致是（ ）
A. B. C. D.
9.已知定义在R上的奇函数满足：函数的图象关于y轴对称，当时，，则下列选项正确的是（ ）
A.的图象关于y轴对称； B.的最小正周期为2；
C.当时，； D.在上是减函数
10.已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数a的最小值为（ ）
A. B. C. D.
11.已知抛物线，过其焦点F的直线与C交于A、B两点，O为坐标原点，记的面积为S，且满足，则P=（ ）
A. B. C.1 D.2
12.已知函数，，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.函数在点处的切线方程为________________.
14.若实数，满足约束条件，则的最大值为____________________.
15.如图所示，是一正方形苗圃图案，中间黑色的大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍，若在正方形图案上随机地取一点，则该点取自黑色区域的概率为______________________.
16.在中，，，点D在边的延长线上，，，且，则_____________________.
三、解答题（共70分）
第15题图17.（本小题满分12分）
已知等差数列中，，，数列满足，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和.
18.（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为O，且平面.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，，，求直线与平面所成角的正弦值.
19.（本小题满分12分）
2020年全球爆发新冠肺炎，人感染了新冠肺炎病毒后常见的呼吸道症状有：发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重时会危及生命.政府为了及时收治轻症感染的群众，逐步建立起了14家万舱医院，其中武汉体育中心万舱医院从2月12日开舱至3月8日闭舱，累计收治轻症患者1056人，据部分统计该万舱医院从2月26日至3月2日轻症者治愈出舱人数频数表与散点图如下：
日期 | 2.26 | 2.27 | 2.28 | 2.29 | 3.1 | 3.2 |
序号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
出舱人数y | 3 | 8 | 17 | 31 | 68 | 168 |
根据散点图和表中数据，某研究人员对出舱人数y与日期序号x进行了拟合分析.从散点图观察可得，研究人员分别用两种函数①；②分析其拟合效果.其相关指数可以判断其拟合效果，越大其拟合效果越好.已知的相关指数为.
（Ⅰ）根据相关指数判断上述两类函数，哪一类函数拟合效果更好？（注：相关系数r与相关指数满足，参考数据表中，）
（Ⅱ）①根据（Ⅰ）中结论，求拟合效果更好的函数解析式（结果保留小数点后三位）；
②3月3日实际总出舱人数为216人，按①中的回归模型计算，差距有多少人？
附：一组数据，其的回归方程为
相关系数：，，
参考数据：
3.5 | 49.17 | 15.17 | 3.13 | 894.83 | 19666.83 | 10.55 |
13.56 | 3957.83 | |||||
，，，
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，焦距为，点在该椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线两侧的动点.当点A，B运动时，满足，问直线的斜率是否为定值，请说明理由.
21.（本小题满分12分）已知函数，.
（Ⅰ）当时，若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）当时，证明：.
选考题：满分10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多选，则所做第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4，坐标系与参数方程
在直角坐标系中中，曲线C的参数方程（为参数，）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当时，求点P到直线的距离的最大值；
（Ⅱ）若曲线C上所有的点均在直线的右下方，求t的取值范围.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若，函数恒成立，求实数a的取值范围.
太原五中校模文科数学（一）参考答案
一、BDDDD CCCCB DA
二、13.；14. 4；15.；16.
三、17.（1），
（2）
18.（1）连，只证：平面，余略
（2）设直线与平面所成的角为
利用得：，，
19.解：（1）由得：，由上表中可得：，，，，
又由已知计算得：，
所以：由，因此，回归方程的拟合效果要更好.
（2）①由题知：
因此有：
故，
故回归方程为，即：
②当序号时，，
由题知：3月3日实际出舱的人数为126人，相差人
20.（1）因为椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，
所以设椭圆方程为
因为焦距为，所以，焦点坐标，
又因为点在该椭圆上，代入椭圆方程得：，即
解得，所以，则椭圆C的方程为.
（2）将代入椭圆方程可得，解得，则，
当点A，B运动时，满足，则直线与直线的斜率互为相反数，
不妨设，则，所以直线的方程为，
联立，解得
因为2，是该方程的两根，所以，即，
同理直线的方程为且
所以，，所以，
即直线的斜率为定值.
21.（1）参变分离：
（2）由（1）知：当时，恒成立，
即：，要证：，只证：，当时只证：，因为对，都有：，所以：
要证：，只作差函数即可，余略
22.（1）点P到直线距离的最大值为
（2）t的取值范围为
23.（1）；（2）
