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西藏山南二中2020届高三第一次模拟数学(理)试题
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2020年高考(理科)数学一模试卷
一、选择题(共12小题).
1.已知集合A={x|﹣1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=( )
A.(﹣1,1) B.(1,2) C.(﹣1,+∞) D.(1,+∞)
2.复数(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
3.若函数y=f(x)的定义域为M={x|﹣2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.已知等差数列{an}中,a4+a6=8,则a3+a4+a5+a6+a7=( )
A.10 B.16 C.20 D.24
5.为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需把函数y=sin2x上的所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度
D.向右平行移动单位长度
6.已知函数f(x+1)是偶函数,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递减,设a=f(﹣),b=f(3),c=f(0),则a,b,c的大小关系为( )
A.b<a<c B.c<b<d C.b<c<a D.a<b<c
7.若实数x,y满足条件,目标函数z=2x﹣y,则z的最大值为( )
A. B.1 C.2 D.0
8.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上述问题的已知条件,若该女子共织布尺,则这位女子织布的天数是( )
A.2 B.3 C.4 D.1
9.某个命题与正整数n有关,如果当n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时命题也成立. 现已知当n=7时该命题不成立,那么可推得( )
A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立
C.当n=8时该命题不成立 D.当n=8时该命题成立
10.根据如图所示的程序框图,当输入的x值为3时,输出的y值等于( )
A.1 B.e C.e﹣1 D.e﹣2
11.已知点在双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
12.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,]成立,则a的最小值为( )
A.﹣ B.0 C.﹣2 D.﹣3
二.填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.已知x>0,y>0,且+=1,则x+2y的最小值是 .
14.已知向量,,若,则实数m= .
15.某中学高一年级有学生1200人,高二年级有学生900人,高三年级有学生1500人,现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究,则应从高三年级学生中抽取 人.
16.已知函数f(x)=e2x,则过原点且与曲线y=f(x)相切的直线方程为
三.解答题(共70分,解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)(一)必考题:共60分.
17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2bcosB=acosC+ccosA.
(1)求∠B的大小;
(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.
18.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是棱长为2的正方形,侧面PAD为正三角形,且面PAD⊥面ABCD,E、F分别为棱AB、PC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求三棱锥B﹣EFC的体积;
(3)求二面角P﹣EC﹣D的正切值.
19.“绿水青山就是金山银山”,为推广生态环境保护意识,高二一班组织了环境保护兴趣小组,分为两组,讨论学习.甲组一共有4人,其中男生3人,女生1人,乙组一共有5人,其中男生2人,女生3人,现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
(Ⅰ)设事件A为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生,而且这两个男生必须来自不同的组”,求事件A发生的概率;
(Ⅱ)用X表示抽取的4人中B组女生的人数,求随机变量X的分布列和期望.
20.已知函数f(x)=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3;
(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的极小值及单调区间.
21.已知点M(﹣1,0),N(1,0)若点P(x,y)满足|PM|+|PN|=4.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)过点的直线l与(Ⅰ)中曲线相交于A,B两点,O为坐标原点,求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.
(二)选考题:共10分,请考生在22题、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设点P(,0),直线l与曲线C交于A,B两点,求|AP|+|PB|的值.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知f(x)=|x+1|+|x﹣2|.
(1)已知关于x的不等式f(x)<a有实数解,求a的取值范围;
(2)求不等式f(x)≥x2﹣2x的解集.
参考答案
一.单选题(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合A={x|﹣1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=( )
A.(﹣1,1) B.(1,2) C.(﹣1,+∞) D.(1,+∞)
【分析】直接由并集运算得答案.
解:∵A={x|﹣1<x<2},B={x|x>1},
∴A∪B={x|﹣1<x<2}∪{x|x>1}=(﹣1,+∞).
故选:C.
2.复数(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
【分析】化简已知复数z,由共轭复数的定义可得.
解:化简可得z=
==1+i,
∴z的共轭复数=1﹣i
故选:B.
3.若函数y=f(x)的定义域为M={x|﹣2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【分析】此题考查的是函数的定义和函数的图象问题.在解答时可以就选项逐一排查.对A不符合定义域当中的每一个元素都有象,即可获得解答;对B满足函数定义,故可知结果;对C出现了一对多的情况,从而可以否定;对D值域当中有的元素没有原象,故可否定.
解:对A不符合定义域当中的每一个元素都有象,即可排除;
对B满足函数定义,故符合;
对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况,不符合函数的定义,从而可以否定;
对D因为值域当中有的元素没有原象,故可否定.
故选:B.
4.已知等差数列{an}中,a4+a6=8,则a3+a4+a5+a6+a7=( )
A.10 B.16 C.20 D.24
【分析】由等差数列的性质可得a3+a7=a4+a6=2a5=8,计算即可得到所求和.
解:等差数列{an}中,a4+a6=8,
可得a3+a7=a4+a6=2a5=8,
可得a5=4,
则则a3+a4+a5+a6+a7=8+8+4=20.
故选:C.
5.为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需把函数y=sin2x上的所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度
D.向右平行移动单位长度
【分析】由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论.
解:∵y=sin(2x﹣)=,
∴要得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需把函数y=sin2x上的所有的点向右平移个单位.
故选:D.
6.已知函数f(x+1)是偶函数,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递减,设a=f(﹣),b=f(3),c=f(0),则a,b,c的大小关系为( )
A.b<a<c B.c<b<d C.b<c<a D.a<b<c
【分析】先根据函数f(x+1)是偶函数,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递减,确定当x∈(﹣∞,1)时,函数f(x)单调递增,再结合函数的单调性,即可得到结论.
解:∵函数f(x+1)是偶函数,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递减,
∴当x∈(﹣∞,1)时,函数f(x)单调递增,
∵b=f(3)=f(﹣1),﹣1<﹣<0<1
∴f(﹣1)<f()<f(0)
∴f(3)<f()<f(0)
∴b<a<c
故选:A.
7.若实数x,y满足条件,目标函数z=2x﹣y,则z的最大值为( )
A. B.1 C.2 D.0
【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线z=2x﹣y过点(,1)时,z最大值即可.
解:先根据实数x,y满足条件,画出可行域如图,
做出基准线0=2x﹣y,
由图知,当直线z=2x﹣y过点A(,1)时,z最大值为2.
故选:C.
8.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上述问题的已知条件,若该女子共织布尺,则这位女子织布的天数是( )
A.2 B.3 C.4 D.1
【分析】根据实际问题可以转化为等比数列问题:在等比数列{an}中,公比q=2,前n项和为Sn,,求m,利用等比数列性质直接.
解:根据实际问题可以转化为等比数列问题,
在等比数列{an}中,公比q=2,前n项和为Sn,
,
∵S5==5,解得,
∴=,
解得m=3.
故选:B.
9.某个命题与正整数n有关,如果当n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时命题也成立. 现已知当n=7时该命题不成立,那么可推得( )
A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立
C.当n=8时该命题不成立 D.当n=8时该命题成立
【分析】本题考查的知识点是数学归纳法,由归纳法的性质,我们由P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,由此类推,对n>k的任意整数均成立,结合逆否命题同真同假的原理,当P(n)对n=k不成立时,则它对n=k﹣1也不成立,由此类推,对n<k的任意正整数均不成立,由此不难得到答案.
解:由题意可知,原命题成立则逆否命题成立,
P(n)对n=7不成立,P(n)对n=6也不成立,
否则n=6时,由由已知推得n=7也成立.
与当n=7时该命题不成立矛盾
故选:A.
10.根据如图所示的程序框图,当输入的x值为3时,输出的y值等于( )
A.1 B.e C.e﹣1 D.e﹣2
【分析】模拟算法的运行过程,即可得出程序运行后输出y的值.
解:模拟算法的运行过程,如下;
输入x=3,计算x=3﹣2=1,x≥0;
执行循环,计算x=1﹣2=﹣1,x<0;
终止循环,计算y=e﹣1,
所以该程序运行后输出y=e﹣1.
故选:C.
11.已知点在双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【分析】利用双曲线上的点在双曲线上求解b,然后求解双曲线的离心率即可.
解:点在双曲线上,
可得,可得b=3,又a=,所以c=10,
双曲线的离心率为:e==.
故选:C.
12.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,]成立,则a的最小值为( )
A.﹣ B.0 C.﹣2 D.﹣3
【分析】不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,]成立⇔a≥,x∈(0,].令f(x)=,
x∈(0,].利用导数研究其单调性极值与最值即可得出.
解:不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,]成立⇔a≥,x∈(0,].
令f(x)=,x∈(0,].
=>0,
∴函数f(x)在x∈(0,]上单调递增,
∴当x=时,函数f(x)取得最大值,=.
∴a的最小值为﹣.
故选:A.
二.填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.已知x>0,y>0,且+=1,则x+2y的最小值是 8 .
【分析】根据x+2y=(x+2y)(+)=2+++2,利用基本不等式求得它的最小值.
解:x+2y=(x+2y)(+)=2+++2≥4+2=8,
当且仅当 =时,等号成立,
故 x+2y的最小值为 8,
故答案为:8.
14.已知向量,,若,则实数m= ﹣2 .
【分析】可求出,根据即可得出4m+2(2﹣m)=0,解出m即可.
解:;
∵;
∴4m+2(2﹣m)=0;
∴m=﹣2.
故答案为:﹣2.
15.某中学高一年级有学生1200人,高二年级有学生900人,高三年级有学生1500人,现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究,则应从高三年级学生中抽取 300 人.
【分析】先求得高三学生占的比例,再利用分层抽样的定义和方法,求得结果.
解:高三学生占的比例为 =,
则应从高三年级学生中抽取的人数为 720×=300,
故答案为:300.
16.已知函数f(x)=e2x,则过原点且与曲线y=f(x)相切的直线方程为 2ex﹣y=0
【分析】设切点为(m,n),求得f(x)的导数,可得切线的斜率,由两点的斜率公式,解方程可得m,n,进而得到所求切线方程.
解:设切点为(m,n),
函数f(x)=e2x的导数为f′(x)=2e2x,
可得切线的斜率为2e2m,
由切线过原点,可得==2e2m,
解得m=,n=e,
则切线方程为y=2ex.
故答案为:2ex﹣y=0.
三.解答题(共70分,解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)(一)必考题:共60分.
17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2bcosB=acosC+ccosA.
(1)求∠B的大小;
(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.
【分析】(1)由正弦定理,两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosB=sinB,结合sinB≠0,可求cosB的值,进而可求B的值.
(2)由余弦定理,基本不等式可得:ac≤4,进而利用三角形面积公式即可得解△ABC面积的最大值.
解:(1)∵2bcosB=acosC+ccosA,
∴可得:2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinB,
∵sinB≠0,
∴cosB=,
∴由B∈(0,π),B=.
(2)∵b=2,B=,
∴由余弦定理可得ac=a2+c2﹣4,
∴由基本不等式可得ac=a2+c2﹣4≥2ac﹣4,可得:ac≤4,当且仅当a=c时,“=”成立,
∴从而S△ABC=acsinB≤×4×=.故△ABC面积的最大值为.
18.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是棱长为2的正方形,侧面PAD为正三角形,且面PAD⊥面ABCD,E、F分别为棱AB、PC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求三棱锥B﹣EFC的体积;
(3)求二面角P﹣EC﹣D的正切值.
【分析】(1)取PD中点G,连结GF、AG,由三角形中位线定理可得GF∥CD且,再由已知可得AE∥CD且,从而得到EFGA是平行四边形,则EF∥AG,然后利用线面平行的判定可得EF∥面PAD;
(2)取AD中点O,连结PO,由面面垂直的性质可得PO⊥面ABCD,且,求出F到面ABCD距离,然后利用等积法求得三棱锥B﹣EFC的体积;
(3)连OB交CE于M,可得Rt△EBC≌Rt△OAB,得到OM⊥EC.进一步证得PM⊥EC,可得∠PMO是二面角P﹣EC﹣D的平面角,然后求解直角三角形可得二面角P﹣EC﹣D的正切值.
【解答】(1)证明:取PD中点G,连结GF、AG,
∵GF为△PDC的中位线,∴GF∥CD且,
又AE∥CD且,∴GF∥AE且GF=AE,
∴EFGA是平行四边形,则EF∥AG,
又EF⊄面PAD,AG⊂面PAD,
∴EF∥面PAD;
(2)解:取AD中点O,连结PO,
∵面PAD⊥面ABCD,△PAD为正三角形,∴PO⊥面ABCD,且,
又PC为面ABCD斜线,F为PC中点,∴F到面ABCD距离,
故;
(3)解:连OB交CE于M,可得Rt△EBC≌Rt△OAB,
∴∠MEB=∠AOB,则∠MEB+∠MBE=90°,即OM⊥EC.
连PM,又由(2)知PO⊥EC,可得EC⊥平面POM,则PM⊥EC,
即∠PMO是二面角P﹣EC﹣D的平面角,
在Rt△EBC中,,∴,
∴,即二面角P﹣EC﹣D的正切值为.
19.“绿水青山就是金山银山”,为推广生态环境保护意识,高二一班组织了环境保护兴趣小组,分为两组,讨论学习.甲组一共有4人,其中男生3人,女生1人,乙组一共有5人,其中男生2人,女生3人,现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
(Ⅰ)设事件A为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生,而且这两个男生必须来自不同的组”,求事件A发生的概率;
(Ⅱ)用X表示抽取的4人中B组女生的人数,求随机变量X的分布列和期望.
【分析】(Ⅰ)基本事件总数n=,事件A包含的基本事件个数m=,由此能求出事件A发生的概率.
(Ⅱ)X可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和数学期望.
【解答】(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)高二一班组织了环境保护兴趣小组,分为两组,讨论学习.
甲组一共有4人,其中男生3人,女生1人,乙组一共有5人,其中男生2人,女生3人,
要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛,
基本事件总数n=,
事件A为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生,而且这两个男生必须来自不同的组”,
则事件A包含的基本事件个数m=,
∴事件A发生的概率………(列式,结果1分)
(Ⅱ)X可能取值为0,1,2,3………
………(列式(1分),结果1分)
………(列式(1分),结果1分)
………(列式(1分),结果1分)
………(列式(1分),结果1分)
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
………(列式(1分),结果1分)
(本题得数不约分不扣分)
20.已知函数f(x)=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3;
(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的极小值及单调区间.
【分析】(1)由题意得到关于实数a,b的方程组,求解方程组即可求得函数的解析式;
(2)结合(1)中函数的解析式求解导函数,利用导函数与原函数的性质求解最值和单调区间即可.
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx,
当x=1时,,
据此解得a=﹣6,b=9,
∴函数解析式为:y=﹣6x3+9x2.
(2)由(1)知f(x)=﹣6x3+9x2,
f′(x)=﹣18x2+18x=﹣18x(x﹣1),令f′(x)>0,得0<x<1;令f′(x)<0,得x>1或x<0,
∴当x=0时函数取得极小值为0,
函数的单调增区间为:(0,1),
单调减区间为:(﹣∞,0)和(1,+∞).
21.已知点M(﹣1,0),N(1,0)若点P(x,y)满足|PM|+|PN|=4.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)过点的直线l与(Ⅰ)中曲线相交于A,B两点,O为坐标原点,求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.
【分析】(Ⅰ)判断P的轨迹是椭圆,然后求解求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线l的方程为与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与椭圆的方程消去x,利用韦达定理结合三角形的面积,经验换元法以及基本不等式求解最值,然后推出直线方程.
解:(Ⅰ)由定义法可得,P点的轨迹为椭圆且2a=4,c=1.所以b=,
因此椭圆的方程为.
(Ⅱ)设直线l的方程为与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2),
联立直线与椭圆的方程消去x,
可得,即,.
△AOB面积可表示为
=
令,则u≥1,上式可化为,
当且仅当,即时等号成立,
因此△AOB面积的最大值为,此时直线l的方程为.
(二)选考题:共10分,请考生在22题、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设点P(,0),直线l与曲线C交于A,B两点,求|AP|+|PB|的值.
【分析】(1)由代入法可得直线l的普通方程;由极坐标和直角坐标的关系:x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,可得曲线C的直角坐标方程;
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,可得t的二次方程,再由参数的几何意义和韦达定理,即可得到所求值.
解:(1)直线l的参数方程为(t为参数),
消去t,可得2x﹣2y﹣1=0;
曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
由x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,
可得x2+y2=2x,即曲线C的直角坐标方程为(x﹣1)2+y2=1;
(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入C的方程(x﹣1)2+y2=1,
可得t2﹣t﹣=0,△=+3>0,
设t1,t2是点A,B对应的参数值,
t1+t2=,t1t2=﹣,则|PA|+|PB|=|t1﹣t2|===.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知f(x)=|x+1|+|x﹣2|.
(1)已知关于x的不等式f(x)<a有实数解,求a的取值范围;
(2)求不等式f(x)≥x2﹣2x的解集.
【分析】(1)根据绝对值三角不等式求出f(x)的最小值,然后由f(x)<a有实数解可知a>f(x)min,从而求出a的范围;
(2)将f(x)去绝对值写成分段函数的形式,根据f(x)≥x2﹣2x分别解不等可得不等式的解集.
解:(1)f(x)=|x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)﹣(x﹣2)|=3,
当且仅当(x+1)(x﹣2)≤0,即﹣1≤x≤2时取等号,
∴f(x)min=3,
∵不等式f(x)<a有实数解,
∴a>f(x)min=3,
∴a的取值范围为(3,+∞);
(2)f(x)=|x+1|+|x﹣2|=,
∵f(x)≥x2﹣2x,
∴或或,
∴或﹣1<x<2或x=﹣1,
∴
∴不等式的解集为.
一、选择题(共12小题).
1.已知集合A={x|﹣1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=( )
A.(﹣1,1) B.(1,2) C.(﹣1,+∞) D.(1,+∞)
2.复数(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
3.若函数y=f(x)的定义域为M={x|﹣2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.已知等差数列{an}中,a4+a6=8,则a3+a4+a5+a6+a7=( )
A.10 B.16 C.20 D.24
5.为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需把函数y=sin2x上的所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度
D.向右平行移动单位长度
6.已知函数f(x+1)是偶函数,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递减,设a=f(﹣),b=f(3),c=f(0),则a,b,c的大小关系为( )
A.b<a<c B.c<b<d C.b<c<a D.a<b<c
7.若实数x,y满足条件,目标函数z=2x﹣y,则z的最大值为( )
A. B.1 C.2 D.0
8.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上述问题的已知条件,若该女子共织布尺,则这位女子织布的天数是( )
A.2 B.3 C.4 D.1
9.某个命题与正整数n有关,如果当n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时命题也成立. 现已知当n=7时该命题不成立,那么可推得( )
A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立
C.当n=8时该命题不成立 D.当n=8时该命题成立
10.根据如图所示的程序框图,当输入的x值为3时,输出的y值等于( )
A.1 B.e C.e﹣1 D.e﹣2
11.已知点在双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
12.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,]成立,则a的最小值为( )
A.﹣ B.0 C.﹣2 D.﹣3
二.填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.已知x>0,y>0,且+=1,则x+2y的最小值是 .
14.已知向量,,若,则实数m= .
15.某中学高一年级有学生1200人,高二年级有学生900人,高三年级有学生1500人,现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究,则应从高三年级学生中抽取 人.
16.已知函数f(x)=e2x,则过原点且与曲线y=f(x)相切的直线方程为
三.解答题(共70分,解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)(一)必考题:共60分.
17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2bcosB=acosC+ccosA.
(1)求∠B的大小;
(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.
18.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是棱长为2的正方形,侧面PAD为正三角形,且面PAD⊥面ABCD,E、F分别为棱AB、PC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求三棱锥B﹣EFC的体积;
(3)求二面角P﹣EC﹣D的正切值.
19.“绿水青山就是金山银山”,为推广生态环境保护意识,高二一班组织了环境保护兴趣小组,分为两组,讨论学习.甲组一共有4人,其中男生3人,女生1人,乙组一共有5人,其中男生2人,女生3人,现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
(Ⅰ)设事件A为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生,而且这两个男生必须来自不同的组”,求事件A发生的概率;
(Ⅱ)用X表示抽取的4人中B组女生的人数,求随机变量X的分布列和期望.
20.已知函数f(x)=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3;
(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的极小值及单调区间.
21.已知点M(﹣1,0),N(1,0)若点P(x,y)满足|PM|+|PN|=4.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)过点的直线l与(Ⅰ)中曲线相交于A,B两点,O为坐标原点,求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.
(二)选考题:共10分,请考生在22题、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设点P(,0),直线l与曲线C交于A,B两点,求|AP|+|PB|的值.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知f(x)=|x+1|+|x﹣2|.
(1)已知关于x的不等式f(x)<a有实数解,求a的取值范围;
(2)求不等式f(x)≥x2﹣2x的解集.
参考答案
一.单选题(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合A={x|﹣1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=( )
A.(﹣1,1) B.(1,2) C.(﹣1,+∞) D.(1,+∞)
【分析】直接由并集运算得答案.
解:∵A={x|﹣1<x<2},B={x|x>1},
∴A∪B={x|﹣1<x<2}∪{x|x>1}=(﹣1,+∞).
故选:C.
2.复数(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
【分析】化简已知复数z,由共轭复数的定义可得.
解:化简可得z=
==1+i,
∴z的共轭复数=1﹣i
故选:B.
3.若函数y=f(x)的定义域为M={x|﹣2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【分析】此题考查的是函数的定义和函数的图象问题.在解答时可以就选项逐一排查.对A不符合定义域当中的每一个元素都有象,即可获得解答;对B满足函数定义,故可知结果;对C出现了一对多的情况,从而可以否定;对D值域当中有的元素没有原象,故可否定.
解:对A不符合定义域当中的每一个元素都有象,即可排除;
对B满足函数定义,故符合;
对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况,不符合函数的定义,从而可以否定;
对D因为值域当中有的元素没有原象,故可否定.
故选:B.
4.已知等差数列{an}中,a4+a6=8,则a3+a4+a5+a6+a7=( )
A.10 B.16 C.20 D.24
【分析】由等差数列的性质可得a3+a7=a4+a6=2a5=8,计算即可得到所求和.
解:等差数列{an}中,a4+a6=8,
可得a3+a7=a4+a6=2a5=8,
可得a5=4,
则则a3+a4+a5+a6+a7=8+8+4=20.
故选:C.
5.为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需把函数y=sin2x上的所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度
D.向右平行移动单位长度
【分析】由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论.
解:∵y=sin(2x﹣)=,
∴要得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需把函数y=sin2x上的所有的点向右平移个单位.
故选:D.
6.已知函数f(x+1)是偶函数,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递减,设a=f(﹣),b=f(3),c=f(0),则a,b,c的大小关系为( )
A.b<a<c B.c<b<d C.b<c<a D.a<b<c
【分析】先根据函数f(x+1)是偶函数,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递减,确定当x∈(﹣∞,1)时,函数f(x)单调递增,再结合函数的单调性,即可得到结论.
解:∵函数f(x+1)是偶函数,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递减,
∴当x∈(﹣∞,1)时,函数f(x)单调递增,
∵b=f(3)=f(﹣1),﹣1<﹣<0<1
∴f(﹣1)<f()<f(0)
∴f(3)<f()<f(0)
∴b<a<c
故选:A.
7.若实数x,y满足条件,目标函数z=2x﹣y,则z的最大值为( )
A. B.1 C.2 D.0
【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线z=2x﹣y过点(,1)时,z最大值即可.
解:先根据实数x,y满足条件,画出可行域如图,
做出基准线0=2x﹣y,
由图知,当直线z=2x﹣y过点A(,1)时,z最大值为2.
故选:C.
8.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上述问题的已知条件,若该女子共织布尺,则这位女子织布的天数是( )
A.2 B.3 C.4 D.1
【分析】根据实际问题可以转化为等比数列问题:在等比数列{an}中,公比q=2,前n项和为Sn,,求m,利用等比数列性质直接.
解:根据实际问题可以转化为等比数列问题,
在等比数列{an}中,公比q=2,前n项和为Sn,
,
∵S5==5,解得,
∴=,
解得m=3.
故选:B.
9.某个命题与正整数n有关,如果当n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时命题也成立. 现已知当n=7时该命题不成立,那么可推得( )
A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立
C.当n=8时该命题不成立 D.当n=8时该命题成立
【分析】本题考查的知识点是数学归纳法,由归纳法的性质,我们由P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,由此类推,对n>k的任意整数均成立,结合逆否命题同真同假的原理,当P(n)对n=k不成立时,则它对n=k﹣1也不成立,由此类推,对n<k的任意正整数均不成立,由此不难得到答案.
解:由题意可知,原命题成立则逆否命题成立,
P(n)对n=7不成立,P(n)对n=6也不成立,
否则n=6时,由由已知推得n=7也成立.
与当n=7时该命题不成立矛盾
故选:A.
10.根据如图所示的程序框图,当输入的x值为3时,输出的y值等于( )
A.1 B.e C.e﹣1 D.e﹣2
【分析】模拟算法的运行过程,即可得出程序运行后输出y的值.
解:模拟算法的运行过程,如下;
输入x=3,计算x=3﹣2=1,x≥0;
执行循环,计算x=1﹣2=﹣1,x<0;
终止循环,计算y=e﹣1,
所以该程序运行后输出y=e﹣1.
故选:C.
11.已知点在双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【分析】利用双曲线上的点在双曲线上求解b,然后求解双曲线的离心率即可.
解:点在双曲线上,
可得,可得b=3,又a=,所以c=10,
双曲线的离心率为:e==.
故选:C.
12.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,]成立,则a的最小值为( )
A.﹣ B.0 C.﹣2 D.﹣3
【分析】不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,]成立⇔a≥,x∈(0,].令f(x)=,
x∈(0,].利用导数研究其单调性极值与最值即可得出.
解:不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,]成立⇔a≥,x∈(0,].
令f(x)=,x∈(0,].
=>0,
∴函数f(x)在x∈(0,]上单调递增,
∴当x=时,函数f(x)取得最大值,=.
∴a的最小值为﹣.
故选:A.
二.填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.已知x>0,y>0,且+=1,则x+2y的最小值是 8 .
【分析】根据x+2y=(x+2y)(+)=2+++2,利用基本不等式求得它的最小值.
解:x+2y=(x+2y)(+)=2+++2≥4+2=8,
当且仅当 =时,等号成立,
故 x+2y的最小值为 8,
故答案为:8.
14.已知向量,,若,则实数m= ﹣2 .
【分析】可求出,根据即可得出4m+2(2﹣m)=0,解出m即可.
解:;
∵;
∴4m+2(2﹣m)=0;
∴m=﹣2.
故答案为:﹣2.
15.某中学高一年级有学生1200人,高二年级有学生900人,高三年级有学生1500人,现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究,则应从高三年级学生中抽取 300 人.
【分析】先求得高三学生占的比例,再利用分层抽样的定义和方法,求得结果.
解:高三学生占的比例为 =,
则应从高三年级学生中抽取的人数为 720×=300,
故答案为:300.
16.已知函数f(x)=e2x,则过原点且与曲线y=f(x)相切的直线方程为 2ex﹣y=0
【分析】设切点为(m,n),求得f(x)的导数,可得切线的斜率,由两点的斜率公式,解方程可得m,n,进而得到所求切线方程.
解:设切点为(m,n),
函数f(x)=e2x的导数为f′(x)=2e2x,
可得切线的斜率为2e2m,
由切线过原点,可得==2e2m,
解得m=,n=e,
则切线方程为y=2ex.
故答案为:2ex﹣y=0.
三.解答题(共70分,解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)(一)必考题:共60分.
17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2bcosB=acosC+ccosA.
(1)求∠B的大小;
(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.
【分析】(1)由正弦定理,两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosB=sinB,结合sinB≠0,可求cosB的值,进而可求B的值.
(2)由余弦定理,基本不等式可得:ac≤4,进而利用三角形面积公式即可得解△ABC面积的最大值.
解:(1)∵2bcosB=acosC+ccosA,
∴可得:2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinB,
∵sinB≠0,
∴cosB=,
∴由B∈(0,π),B=.
(2)∵b=2,B=,
∴由余弦定理可得ac=a2+c2﹣4,
∴由基本不等式可得ac=a2+c2﹣4≥2ac﹣4,可得:ac≤4,当且仅当a=c时,“=”成立,
∴从而S△ABC=acsinB≤×4×=.故△ABC面积的最大值为.
18.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是棱长为2的正方形,侧面PAD为正三角形,且面PAD⊥面ABCD,E、F分别为棱AB、PC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求三棱锥B﹣EFC的体积;
(3)求二面角P﹣EC﹣D的正切值.
【分析】(1)取PD中点G,连结GF、AG,由三角形中位线定理可得GF∥CD且,再由已知可得AE∥CD且,从而得到EFGA是平行四边形,则EF∥AG,然后利用线面平行的判定可得EF∥面PAD;
(2)取AD中点O,连结PO,由面面垂直的性质可得PO⊥面ABCD,且,求出F到面ABCD距离,然后利用等积法求得三棱锥B﹣EFC的体积;
(3)连OB交CE于M,可得Rt△EBC≌Rt△OAB,得到OM⊥EC.进一步证得PM⊥EC,可得∠PMO是二面角P﹣EC﹣D的平面角,然后求解直角三角形可得二面角P﹣EC﹣D的正切值.
【解答】(1)证明:取PD中点G,连结GF、AG,
∵GF为△PDC的中位线,∴GF∥CD且,
又AE∥CD且,∴GF∥AE且GF=AE,
∴EFGA是平行四边形,则EF∥AG,
又EF⊄面PAD,AG⊂面PAD,
∴EF∥面PAD;
(2)解:取AD中点O,连结PO,
∵面PAD⊥面ABCD,△PAD为正三角形,∴PO⊥面ABCD,且,
又PC为面ABCD斜线,F为PC中点,∴F到面ABCD距离,
故;
(3)解:连OB交CE于M,可得Rt△EBC≌Rt△OAB,
∴∠MEB=∠AOB,则∠MEB+∠MBE=90°,即OM⊥EC.
连PM,又由(2)知PO⊥EC,可得EC⊥平面POM,则PM⊥EC,
即∠PMO是二面角P﹣EC﹣D的平面角,
在Rt△EBC中,,∴,
∴,即二面角P﹣EC﹣D的正切值为.
19.“绿水青山就是金山银山”,为推广生态环境保护意识,高二一班组织了环境保护兴趣小组,分为两组,讨论学习.甲组一共有4人,其中男生3人,女生1人,乙组一共有5人,其中男生2人,女生3人,现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
(Ⅰ)设事件A为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生,而且这两个男生必须来自不同的组”,求事件A发生的概率;
(Ⅱ)用X表示抽取的4人中B组女生的人数,求随机变量X的分布列和期望.
【分析】(Ⅰ)基本事件总数n=,事件A包含的基本事件个数m=,由此能求出事件A发生的概率.
(Ⅱ)X可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和数学期望.
【解答】(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)高二一班组织了环境保护兴趣小组,分为两组,讨论学习.
甲组一共有4人,其中男生3人,女生1人,乙组一共有5人,其中男生2人,女生3人,
要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛,
基本事件总数n=,
事件A为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生,而且这两个男生必须来自不同的组”,
则事件A包含的基本事件个数m=,
∴事件A发生的概率………(列式,结果1分)
(Ⅱ)X可能取值为0,1,2,3………
………(列式(1分),结果1分)
………(列式(1分),结果1分)
………(列式(1分),结果1分)
………(列式(1分),结果1分)
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
………(列式(1分),结果1分)
(本题得数不约分不扣分)
20.已知函数f(x)=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3;
(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的极小值及单调区间.
【分析】(1)由题意得到关于实数a,b的方程组,求解方程组即可求得函数的解析式;
(2)结合(1)中函数的解析式求解导函数,利用导函数与原函数的性质求解最值和单调区间即可.
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx,
当x=1时,,
据此解得a=﹣6,b=9,
∴函数解析式为:y=﹣6x3+9x2.
(2)由(1)知f(x)=﹣6x3+9x2,
f′(x)=﹣18x2+18x=﹣18x(x﹣1),令f′(x)>0,得0<x<1;令f′(x)<0,得x>1或x<0,
∴当x=0时函数取得极小值为0,
函数的单调增区间为:(0,1),
单调减区间为:(﹣∞,0)和(1,+∞).
21.已知点M(﹣1,0),N(1,0)若点P(x,y)满足|PM|+|PN|=4.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)过点的直线l与(Ⅰ)中曲线相交于A,B两点,O为坐标原点,求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.
【分析】(Ⅰ)判断P的轨迹是椭圆,然后求解求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线l的方程为与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与椭圆的方程消去x,利用韦达定理结合三角形的面积,经验换元法以及基本不等式求解最值,然后推出直线方程.
解:(Ⅰ)由定义法可得,P点的轨迹为椭圆且2a=4,c=1.所以b=,
因此椭圆的方程为.
(Ⅱ)设直线l的方程为与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2),
联立直线与椭圆的方程消去x,
可得,即,.
△AOB面积可表示为
=
令,则u≥1,上式可化为,
当且仅当,即时等号成立,
因此△AOB面积的最大值为,此时直线l的方程为.
(二)选考题:共10分,请考生在22题、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设点P(,0),直线l与曲线C交于A,B两点,求|AP|+|PB|的值.
【分析】(1)由代入法可得直线l的普通方程;由极坐标和直角坐标的关系:x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,可得曲线C的直角坐标方程;
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,可得t的二次方程,再由参数的几何意义和韦达定理,即可得到所求值.
解:(1)直线l的参数方程为(t为参数),
消去t,可得2x﹣2y﹣1=0;
曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
由x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,
可得x2+y2=2x,即曲线C的直角坐标方程为(x﹣1)2+y2=1;
(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入C的方程(x﹣1)2+y2=1,
可得t2﹣t﹣=0,△=+3>0,
设t1,t2是点A,B对应的参数值,
t1+t2=,t1t2=﹣,则|PA|+|PB|=|t1﹣t2|===.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知f(x)=|x+1|+|x﹣2|.
(1)已知关于x的不等式f(x)<a有实数解,求a的取值范围;
(2)求不等式f(x)≥x2﹣2x的解集.
【分析】(1)根据绝对值三角不等式求出f(x)的最小值,然后由f(x)<a有实数解可知a>f(x)min,从而求出a的范围;
(2)将f(x)去绝对值写成分段函数的形式,根据f(x)≥x2﹣2x分别解不等可得不等式的解集.
解:(1)f(x)=|x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)﹣(x﹣2)|=3,
当且仅当(x+1)(x﹣2)≤0,即﹣1≤x≤2时取等号,
∴f(x)min=3,
∵不等式f(x)<a有实数解,
∴a>f(x)min=3,
∴a的取值范围为(3,+∞);
(2)f(x)=|x+1|+|x﹣2|=,
∵f(x)≥x2﹣2x,
∴或或,
∴或﹣1<x<2或x=﹣1,
∴
∴不等式的解集为.
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