西藏自治区山南市第三高级中学2020届高三第三次模拟考试前自查自测调研考试数学（理）一试卷

理 科 数 学（一）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则满足的集合的个数为（    ）

A． B． C． D．

2．已知为虚数单位，复数，则（    ）

A． B． C． D．

3．抛物线的通径长为（    ）

A． B． C． D．

4．某地某所高中年的高考考生人数是年高考考生人数的倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校年和年的高考情况，得到如下柱状图：

则下列结论正确的是（    ）

A．与年相比，年一本达线人数减少

B．与年相比，年二本达线人数增加了倍

C．年与年艺体达线人数相同

D．与年相比，年不上线的人数有所增加

5．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于．一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么的值为（    ）

A． B． C． D．

6．根据如下样本数据

得到的回归方程为，则（    ）

A．， B．， C．， D．，

7．设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，，，则下列等式中恒成立的是（    ）

A．  B．

C．  D．

8．设，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数的最小正周期是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则下列结论中正确的是（    ）

A．的最大值为 B．在区间上单调递增

C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称

10．过正方体的顶点作平面，使得正方体的各棱与平面所成的角都相等，则满足条件的平面的个数为（    ）

A． B． C． D．

11．椭圆与双曲线共焦点，，它们在第一象限的交点为，设，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（    ）

A． B．

C． D．

12．已知正方形的边长为，为内一点，满足，

则（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．展开式中的系数为       ．

14．设实数，满足不等式，当时取得最小值时，直线与以为圆心的圆相切，则圆的面积为        ．

15．已知等差数列的公差，，则使得集合，

恰好有两个元素的的值为        ．

16．在三棱锥中，，，，若与底面

所成的角为，则点到底面的距离是        ；三棱锥的外接球的表面积是        ．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知、分别在射线、（不含端点）上运动，，在中，角、、所对的边分别是，，．

（1）若，，依次成等差数列，且公差为，求的值；

（2）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值．

18．（12分）如图，在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，，底面，点，分别为，的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．

19．（12分）已知，，，．

（1）求的轨迹；

（2）过轨迹上任意一点作圆的切线，，设直线，，的斜率分别是，，，试问在三个斜率都存在且不为的条件下，时候是定值，请说明理由，并加以证明．

20．（12分）已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

21．（12分）年月日，国务院总理李克强在做政府工作报告时说，打好精准脱贫攻坚战．江西省贫困县脱贫摘帽取得突破性进展：年，稳定实现扶贫对象“两不愁、三保障”，贫困县全部退出．围绕这个目标，江西正着力加快增收步伐，提高救助水平，改善生活条件，打好产业扶贫、保障扶贫、安居扶贫三场攻坚战．为响应国家政策，老张自力更生开了一间小型杂货店．据长期统计分析，老张的杂货店中某货物每天的需求量在与之间，日需求量（件）的频率分布如下表所示：

己知其成本为每件元，售价为每件元若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件元．

（1）设每天的进货量为，视日需求量的频率为概率，求在每天进货量为的条件下，日销售量的期望值（用表示）；

（2）在（1）的条件下，写出和的关系式，并判断为何值时，日利润的均值最大．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，

轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

设，，且．

（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，，使得？并说明理由

理 科 数 学（一）答 案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】A

【解析】由可知集合中一定有元素，

所以符合要求的集合有，，，共种情况．

2．【答案】C

【解析】对复数进行化简：，

所以．

3．【答案】D

【解析】标准化，通径．

4．【答案】D

【解析】设年该校参加高考的人数为，则年该校参加高考的人数为．

对于选项A，年一本达线人数为，年一本达线人数为，

可见一本达线人数增加了，故选项A错误；

对于选项B，年二本达线人数为，年二本达线人数为，

显然年二本达线人数不是增加了倍，故选项B错误；

对于选项C，年和年，艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；

对于选项D，年不上线人数为，年不上线人数为，

不达线人数有所增加．

5．【答案】A

【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，，

，，

…，

∴，

∴．

6．【答案】A

【解析】画出散点图知，，故选A．

7．【答案】D

【解析】由等比数列的性质得，，成等比数列，，化简得．

8．【答案】C

【解析】，

，．

9．【答案】B

【解析】由条件知，结合图像得B．

10．【答案】C

【解析】在正方体中，四面体的四面与条棱所成的角相等，

∴正方体的条棱所在的直线所成的角均相等的平面有个．

11．【答案】B

【解析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，

交点到两焦点的距离分别为，焦距为，

则，

又，，故，，．

12．【答案】D

【解析】设正方形的边长为，

在中，由正弦定理得，

在中，由余弦定理得，

∴为等腰三角形，．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】

【解析】展开式中含的项为，

即的系数为．

14．【答案】

【解析】当直线过点时，取得最小值，

故，从而圆的面积为．

15．【答案】

【解析】要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，此时．

16．【答案】；

【解析】将三棱锥置于长方体中，其中平面，

由与底面所成的角为，可得，即为点到底面的距离，

由，得，

如图，就是长方体（三条棱长分别为，，）外接球的直径，

也是三棱锥外接球的直径，即，

所以球的表面积为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）周长，时，取得最大值为．

【解析】（1），，成等差数列，且公差为，∴，，

又，，∴，

恒等变形得，解得或，

又∵，∴．

（2）在中，，

∴，，，

∴的周长

，

又∵，∴，

当，即时，取得最大值．

18．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，为线段的中点．

【解析】（1）证明：∵，为的中点，∴，

又平面，平面，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（2）如图，由（1）知，，，点，分别为，的中点，

∴，∴，，

又，∴，，两两垂直，

分别以，，方向为，，轴建立坐标系，

则，，，，

设，，

所以，，，

设平面的法向量为，则，

令，则，，∴，

由已知或（舍去），

故，故线段上存在点，

使得直线与平面所成的角的正弦值为，此时为线段的中点．

19．【答案】（1）；（2）为定值，详见解析．

【解析】（1）方法一：如图因为，所以四边形是平行四边形，

所以，

由，得，

所以的轨迹以，为焦点的椭圆易知，，

所以方程为．

方法二：设，由，得，

再，得，

移项，平方化简得．

（从发现是椭圆方程也可以直接得，）．

（2）设，过的斜率为的直线为，

由直线与圆相切可得，即，

由已知可得，是方程（关于）的两个根，

所以由韦达定理：，两式相除，

又因为，所以，

代入上式可得，即为定值．

20．【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1），记，

令，得，函数在上单调递增；，得或，函数在或上单调递减．

（2）记，

由，，得或，

∵，所以．

①当时，，且时，；

时，，

所以，

∴时，恒成立；

②当时，，

因为，所以，此时单调递增，

且，所以，成立；

③当时，，，

所以存在使得，因此不恒成立，

综上，的取值范围是．

21．【答案】（1）见解析；（2）件．

【解析】（1）当日需求量时，日销售量为；

日需求量时，日销售量为，

故日销售量的期望为：

当时，；

当时，．

（2），

设每天进货量为，日利润为，

则，，

由，

又∵，，

∴最大，所以应进货件时，日利润均值最大．

22．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由，消去，得，

所以直线的普通方程为，

由，

得，

将，，代入上式，

得曲线的直角坐标方程为，即．

（2）设曲线上的点为，

则点到直线的距离

，

当时，，

所以曲线上的点到直线的距离的最大值为．

23．【答案】（1）；（2）不存在，详见解析．

【解析】（1）由，得，，

当且仅当时成立．

不等式，即为，

当时，不等式为，此时；

当时，不等式成立，此时；

当时，不等式为，此时，

综上，实数的取值范围是．

（2）由于，，

则，

当且仅当，即，时，取得最小值，

所以不存在实数，，使得成立