西藏自治区山南市第三高级中学2020届高三第三次模拟考试前自查自测调研考试数学（理）三试卷

理 科 数 学（三）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．设（是虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

3．已知等差数列的前项和为，，，则（    ）

A． B． C． D．

4．空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：

如图是某市月日日指数变化趋势：

下列说法错误的是（    ）

A．这天中指数值的中位数略高于

B．这天中的中度污染及以上的天数占

C．该市月的前半个月的空气质量越来越好

D．总体来说，该市月上旬的空气质量比中旬的空质量好

5．已知函数的图象如图所示，则可以为（    ）

A． B． C． D．

6．若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值

为（    ）

A． B． C． D．

7．已知为等比数列，，，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知、分别是双曲线（，）的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

9．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

10．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于，的面积为，则（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数（，，），将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

12．年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快．因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大．武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控力最大，武汉市从月日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若、满足约束条件，则的最小值为        ．

14．已知函数为奇函数，则       ．

15．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成       种不同的音序．

16．在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为       ．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）如图，在中，，，点在线段上．

（1），求的长；

（2）若，，求的面积．

18．（12分）如图，在四棱柱中，底面为菱形，．

（1）证明：平面平面；

（2）若，是等边三角形，求二面角的余弦值．

19．（12分）某工厂生产-种产品的标准长度为，只要误差的绝对值不超过就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品件，检测其长度，绘制条形统计图如图：

（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；

（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取件，假设其中至少有件是标准长度产品的概率不小于时，该设备符合生产要求现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值．

20．（12分）已知椭圆经过点，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于、两点，若，在线段上取点，使，求证：点在定直线上．

21．（12分）设函数，是函数的导数．

（1）若，证明：在区间上没有零点；

（2）在上恒成立，求的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于两点，且，求直线的倾斜角．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）求的最小值；

（2）若不等式的解集为，且，求的值

理 科 数 学（三）答 案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】B

【解析】∵，而，

∴，故选B．

2．【答案】A

【解析】∵，∴，故选A．

3．【答案】C

【解析】设等差数列的首项为，公差为，

则，解得，，

∴，即有，故选C．

4．【答案】C

【解析】对A，因为第天与第天指数值都略高，所以中位数略高于，正确；

对B，中度污染及以上的有第，，，，天，共天占，正确；

对C，由图知，前半个月中，前天的空气质量越来越好，后天该市的空气质量越来越差，错误；

对D，由图知，月上旬大部分指数在以下，月中旬大部分指数在以上，

所以正确，

故选C．

5．【答案】A

【解析】首先对个选项进行奇偶性判断，可知，为偶函数，不符合题意，排除B；

其次，在剩下的个选项，对其在上的零点个数进行判断，在上无零点，不符合题意，排除D；

然后，对剩下的个选项，进行单调性判断，在上单调递减，不符合题意，

排除C，

故选A．

6．【答案】A

【解析】设平面向量与的夹角为，

∵，可得，

在等式两边平方，得，

化简得，

故选A．

7．【答案】C

【解析】∵，∴，

又，可解得或，

设等比数列的公比为，

则当时，，∴；

当时，，∴，

故选C．

8．【答案】B

【解析】设点位于第二象限，由于轴，

则点的横坐标为，纵坐标为，即点，

由题意可知，直线与直线垂直，，

∴，

因此，双曲线的离心率为，故选B．

9．【答案】D

【解析】∵，即，

，即，

，即，

∴，，即，

∵，即，

∴，

综上，，故选D．

10．【答案】B

【解析】设点、，并设直线的方程为，

将直线的方程与抛物线方程联立，消去，

得，

由韦达定理得，，

，，

∵，∴，∴，∴，

可得，，

抛物线的准线与轴交于，

的面积为，解得，

则抛物线的方程为，

所以，故选B．

11．【答案】B

【解析】设，根据图象可知，，，

再由，取，∴．

将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，

∴，

，，

令，则，

显然，，

∴是的必要不充分条件，故选B．

12．【答案】A

【解析】设事件：检测个人确定为“感染高危户”，

事件：检测个人确定为“感染高危户”，

∴，，

即，

设，则，

∴，

当且仅当，即时取等号，即，故选A．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】

【解析】作出不等式所表示的可行域如下图所示：

联立，解得，即点，

平移直线，当直线经过可行域的顶点时，

该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即，

故答案为．

14．【答案】

【解析】由于函数为奇函数，则，

即，∴，

整理得，解得，

当时，真数，不合乎题意；

当时，，解不等式，解得或，

此时函数的定义域为，定义域关于原点对称，合乎题意，

综上所述，，故答案为．

15．【答案】

【解析】①若“角”在两端，则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有；

②若“角”在中间，则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧；

③若“角”在第二个或第四个位置上则有种；

综上，共有种，故答案为．

16．【答案】

【解析】如图所示：

过点作面，垂足为，过点作交于点，连接．

则为二面角的平面角的补角，即有．

∵易证面，∴，

而三角形为等边三角形，∴为的中点，

设，，，

∴，

故三棱锥的体积为，

当且仅当时，，即，，

∴，，三点共线，设三棱锥的外接球的球心为，半径为．

过点作于，∴四边形为矩形，

则，，，

在中，，解得，

三棱锥的外接球的表面积为，故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，得，所以．

由正弦定理得，即，得．

（2）由正弦定理，在中，，①

在中，，②

又，，，

由，得，

由余弦定理得，

即，解得，

所以的面积．

18．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）如图，设与相交于点，连接，

又为菱形，故，为的中点，

又，故，

又平面，平面，且，

故平面，

又平面，所以平面平面．

（2）由是等边三角形，可得，故平面，

所以，，两两垂直．

如图以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，

建立空间直角坐标系．

不妨设，则，，

则，，，，，，

设为平面的法向量，

则，即，可取；

设为平面的法向量，

则，即，可取，

所以，所以二面角的余弦值为．

19．【答案】（1）；（2）不符合，最小值为．

【解析】（1）由柱状图，该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列为下表：

所以的数学期望的估计为．

（2）由（1）可知任取一件产品是标准长度的概率为，

设至少有件是标准长度产品为事件，则，

故不符合概率不小于的要求．

设生产一件产品为标准长度的概率为，由题意，

又，解得，

所以符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值为．

20．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）由题意得，解得，，

所以椭圆的方程是．

（2）设直线的方程为，、、，

由，得，

，

则有，，

由，得，

由，可得，，

，

综上，点在定直线上．

21．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）若，则，，

设，则，，，故函数是奇函数．

当时，，，这时，

又函数是奇函数，所以当时，，

综上，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减．

又，，

故在区间上恒成立，所以在区间上没有零点．

（2），

由，所以恒成立，

若，则，

设，．

故当时，，

又，所以当时，，满足题意；

当时，有，与条件矛盾，舍去；

当时，令，则，

又，故在区间上有无穷多个零点，

设最小的零点为，则当时，，

因此在上单调递增，，所以．

于是，当时，，得，与条件矛盾，

故的取值范围是．

22．【答案】（1）直线的普通方程见解析，；（2）或．

【解析】（1）因为直线的参数方程为（为参数），

当时，直线的直角坐标方程为；

当时，直线的直角坐标方程为．

因为，，

因为，所以，

所以的直角坐标方程为．

（2）直线与圆交于两点，且，

故圆心到直线的距离．

①当时，直线的直角坐标方程为，符合题意；

②当时，直线的方程为，

所以，

整理得．解得，

综上所述，直线的倾斜角为或．

23．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），

时，的最小值为．

（2）当，即时，的解集为，

，符合；

当，即时，的解集为，

，

综上可得