西藏自治区昌都市第一高级中学2020届高三下学期模拟考试数学理科试卷
展开昌都市第一高级中学2020届高三下学期第二次模拟考试
数学试题（理科）
本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合，，则为（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．复数( )
（A） （B） （C） （D）
3.已知等比数列的公比，，则其前3项和的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4.设，且，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
6.已知实数满足 则的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）
A．样本中的男生数量多于女生数量
B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量
C．样本中多数男生喜欢手机支付
D．样本中多数女生喜欢现金支付
、
8. 若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如，如右下方程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入，则输出的( )
（A） （B） （C） （D）
9．已知，，，则（ ）
（A）（B）（C） （D）
10．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
（A） （B） （C） （D）
11.已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线渐近线的垂线，垂足为，且交轴于，若，则双曲线的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
12.已知函数，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）.
①函数的最小正周期是 ②函数在区间上是减函数
③函数的图象关于直线对称 ④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
（A）①③ （B）②③ （C）②③④ （D）①④
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．
第22～23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知是偶函数，则_________．
14.已知,且，则 ．
15.设的内角的对边分别为，若，，则角
16. 三棱锥中，为边长等于的正三角形，,二面角等于，则此三棱锥外接球的表面积等于 .
三、解答题：（本大题6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）如图，在直四棱柱中，底面是矩形，
与交于点..
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
- （本小题满分12分）已知各项均为正数的等差数列满足：，且成等比数列，
设的前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求使的的最大值。
- （本小题满分12分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量
（单位：万盒）的数据如下表所示：
（月份） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
（万盒） | 4 | 4 | 5 | 6 | 6 |
（Ⅰ）根据上表数据，求出关于的线性回归方程，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；
（Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊.后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为，求的分布列和数学期望.
参考公式：
20.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、,也为抛物线的焦点，点为、在第一象限的交点，且.
(I)求椭圆的方程;
(II)延长,交椭圆于点,交抛物线于点,求三角形的面积.
21.（本小题满分12分）己知函数.
(I) 当时，求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)当时，判断在上的单调性，并说明理由;
（Ⅲ）当 时，求证：，都有。
请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线、相交
于、，两点.
（Ⅰ）求、两点的极坐标；
（Ⅱ）曲线与直线（为参数）分别相交于，两点，求.
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数的最小值为.
（Ⅰ）求的值以及此时的的取值范围；
（Ⅱ）若实数满足，证明：.
17．（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）证明，，推出平面，得到，证明，即可证明平面；
（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的正弦值．
【详解】
（1）证明：∵四棱柱是直四棱柱，
∴平面，而平面，则，
又，，
∴平面，因为平面，∴，
∵，，
∴是正方形，∴，
又，∴平面.
（2）解：建立如图所示的坐标系，与交于点，，
则，
∴，
∴，
设平面的法向量为，则，即，
不妨取，
则直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】
本题主要考查直线与平面所成角的求法，考查直线与平面垂直的判断和性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（1）;（2）见解析.
【解析】【试题分析】（1）先依据题设求出线性回归方程，再代入求解；（2）先求随机变量的概率分布，再运用随机变量的数学期望公式求解：
（1） ， ，因线性回归方程过点，
.
6月份的生产甲胶囊的产量数： .
（2）， ， ，
， .
其分布列为
.
点睛：本题以一组先关数据组成的表格为背景，设立了两个问题，旨在考查与检测线性回归方程的求法及随机变量的概率的分布列的求解方法、数学期望计算公式的运用等方面的知识的综合运用。求解第一问时，依据题设求出了两组数据的平均数，借助线性回归方程过定点的性质待定出，求出回归方程进而求出6月份的生产甲胶囊的产量数： ，从而使得问题获解；求解第二问时，则先依据题设条件求出随机变量的分布列，再运用数学期望的计算公式求得数学期望是，从而使得问题获解。
20.(I)；(II).
联立直线方程和椭圆方程可得
∴
∴
联立直线方程相抛物线方程可得.
∴
∴
∵到直线的距离为,
∴三角形的面积为.
点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系.因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
21．解：（Ⅰ）当时，,
.
得
又,
所以曲线在处的切线方程为 .…………………….…4分
（Ⅱ）方法1：
因为，
所以.
因为，
所以.
所以.
所以 当时，，
所以在区间单调递增. .…………………….…8分
方法2：
因为，
所以.
令，
则 ，
随x的变化情况如下表：
x | |||||
| + |
| |||
极大值 |
当时，.
所以时，，即，
所以在区间单调递增. .…………………….…8分
（Ⅲ）方法1：
由（Ⅱ）可知，当时，在区间单调递增，
所以时，.
当时，设，
则 ，
随x的变化情况如下表：
x | |||||
| + |
| |||
极大值 |
所以在上单调递增，在上单调递减
因为，，
所以存在唯一的实数，使得，
且当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
又 ，,
所以当时，对于任意的，.
综上所述，当时，对任意的，均有.
方法2：由（Ⅱ）可知，当时，在区间单调递增，
所以时，.
当时， 由（Ⅱ）可知，在上单调递增，在上单调递减，
因为，，
所以存在唯一的实数，使得，
且当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
又 ，,
所以当时，对于任意的，.
综上所述，当时，对任意的，均有. .………………….…12分
