西藏自治区昌都市第一高级中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试卷

文科数学试卷

第I卷（选择题)

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数满足，则对应的点位于复平面的（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．的值等于（    ）

A． B． C． D．

4．数列的通项公式是，（　　）

A．  B．  C．  D．

5．如图所示，可表示函数图象的是（    ）

A．① B．②③④ C．①③④ D．②

6．已知，，则（  ）

A．2 B． C．4 D．

7．设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列判断正确的是（    ）

A．若，，则 B．，，则

C．，，，则 D．，，则

8．一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.2，那么摸出黑球的概率是（    ）

A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.95

9．执行如图所示的程序框图，若恰好经过两次条件判断就输出，则可输入的正整数的取值共（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

10．已知的面积是,, ,则（  ）

A．5 B．或1 C．5或1 D．

11．已知圆：（），直线：.若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

12．已知函数，则不等式的解集是

A．        B．        C．               D．

第II卷（非选择题)

填空题

13．函数的单调增区间为__________.

14．变量满足条件，则的最大值为___________

15．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正切值为______．

16．已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则=____.             

解答题

17．在 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且， ．

（1）求角A；

（2）若，的面积为，求的周长．

18．某市2013年至2019年新能源汽车y（单位：百台）的数据如下表：

（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程，并预测该市2021年新能源汽车台数；

（Ⅱ）该市某公司计划投资600台“双枪同充”（两把充电枪）、“一拖四群充”（四把充电枪）的两种型号的直流充电桩．按要求，充电枪的总把数不少于该市2021年新能源汽车预测台数，若双枪同充、一拖四群充的每把充电枪的日利润分别为25元，10元，问两种型号的充电桩各安装多少台时，才能使日利润最大，求出最大日利润.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

19．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.

（1）求证：平面；

（2）若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积.

20．已知椭圆（）的离心率为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

21．函数．

（1）试讨论函数的单调性；

（2）若，证明：(为自然对数的底数)．

22．在直角坐标系中，曲线的标准方程为.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求直线的直角坐标方程；

（2）若点在曲线上，点在直线上，求的最小值.

23．函数．

(1)当时，不等式的解集；

(2)若时，不等式成立，求的取值范围.

参考答案

1．B

【解析】

【分析】

先化简集合A,B,再求AB得解.

【详解】

由题意，，

则．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查集合的交集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题．

2．D

【解析】

【分析】

利用复数模的计算、复数的除法化简复数，再根据复数的几何意义，即可得答案；

【详解】

，

对应的点，

对应的点位于复平面的第四象限.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.

3．A

【解析】

【分析】

直接利用诱导公式计算得到答案.

【详解】

.

故选：.

【点睛】

本题考查了诱导公式，意在考查学生的计算能力.

4．B

【解析】

【分析】

令 代入即解

【详解】

令，

故选：B.

【点睛】

数列通项公式是第项与序号之间的函数关系，求某项值代入求解.

5．C

【解析】

【分析】

利用函数的定义分别对四个图象进行判断即可.

【详解】

由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变量x，存在唯一的一个变量y与x对应.

则由定义可知①③④，满足函数的定义，但②不满足，因为图象②中，当x>0时，一个x对应着两个y，所以不满足函数取值的唯一性，所以能表示为函数图象的是①③④.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了函数的定义以及函数图象的判断，要求学生了解：一对一，多对一是函数关系，一对多不是函数关系，属基础题.

6．C

【解析】

【分析】

先求出的坐标，再利用向量的模的公式求解.

【详解】

由题得=（0,4）

所以．

故选C

【点睛】

本题主要考查向量的坐标的求法和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

7．B

【解析】

【分析】

利用直线与平面平行与垂直的关系，平面与平面平行与垂直的关系，判断选项的正误即可.

【详解】

根据垂直于同一个平面的两条直线平行，所以A不正确；

若，，则，B正确；

因为根据面面垂直的性质定理，需要加上“m在平面内或者平行于”这个条件，才能判定，C不正确；

直线n可能在平面内，D不正确；

故选：B.

【点睛】

此题考查空间中线面平行和垂直关系，根据条件想象出空间中的位置关系，属于简单题目.

8．B

【解析】

【分析】

由题意可知，从中摸出一个小球是黑色和是红或白色是互斥事件，根据互斥事件的概率公式即可求解

【详解】

解：根据题意可知，从中摸出1个球，摸出黑球与摸出红色和白色是互斥事件，

故其概率.

故选：B

【点睛】

本题考查了互斥事件概率的计算公式，考查了数学运算能力.

9．C

【解析】

【分析】

根据循环条件和恰好经过两次条件判断就输出，可得关于的不等关系，从而可求的值.

【详解】

由题意可得，，且，

因为为正整数，所以，且，

所以可输入的正整数的取值有：3,4,5,6.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查程序框图的识别，根据循环条件列出不等式是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.

10．B

【解析】

∵，,

∴

①若为钝角，则，由余弦定理得，

解得；

②若为锐角，则，同理得.

故选B.

11．A

【解析】

【分析】

圆的圆心为到直线的距离为1，由圆上恰有三个点到直线的距离为1，得到圆心为到直线的距离为，由此求出的值.

【详解】

圆的圆心为,则圆心到直线的距离.

又圆上恰有三个点到直线的距离为1.

所以圆心为到直线的距离为,即

所以

故选：A

【点睛】

本题考查圆与直线的位置关系，点到直线的距离,，属于基础题.

12．C

【解析】

【分析】

由题意，根据函数的解析式，求解函数是定义域上的单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为，进而借助一元二次不等式的解法，即可求解.

【详解】

由题意，函数，则，所以函数是定义域上的单调递增函数，

又由，即函数定义域上的奇函数，

又由不等式可转化为

即，即，解得，

即不等式的解集为，故选C.

【点睛】

本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

13．（1）A（2）

【解析】

【分析】

（1）由和余弦定理可得,再根据的取值范围即可得的值.

（2）利用三角形面积公式可得,由余弦定理可得,即可解得三角形的周长.

【详解】

解:（1）由,和余弦定理,

,得,,

所以；

（2）,的面积为,解得,

根据余弦定理 ,

,所以

,

,

所以的周长为．

【点睛】

本题考查了余弦定理、二倍角公式、三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题.

14．（Ⅰ）,2100台；（Ⅱ）双枪同充安装150台，一拖四群充安装450台时，每天的利润最大，最大利润为25500元．

【解析】

【分析】

（Ⅰ）计算，根据，可得，进一步可得，然后可得方程，最后代值计算，可得结果.

 （Ⅱ）假设一拖四群充，双枪同充分别安装台，台，根据，可得的范围，然后计算日利润，依据不等式可得结果.

【详解】

（Ⅰ）依题意知，

，

，

，

，

则关于的线性回归方程．

令得：，

故预测2021年该市新能源汽车大约有2100台．

（Ⅱ）设一拖四群充，双枪同充分别安装台，台，

每天的利润为元，

则，即

所以当时，取最大值25500．

故当双枪同充安装150台，一拖四群充安装450台时，

每天的利润最大，最大利润为25500元．

【点睛】

本题考查线性回归方程，本题关键在于识记公式，考验计算能力，属基础题.

15．（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）通过AC⊥BD与PD⊥AC可得平面；

（2）由题先得出∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，即∠PBD=45°，则可先求出菱形ABCD的面积，进而可得四棱锥P- ABCD的体积.

【详解】

解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

又因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，

所以PD⊥AC，又，

故AC⊥平面PBD；

（2）因为PD⊥平面ABCD，

所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，

于是∠PBD=45°，

因此BD=PD=2.又AB= AD=2，

所以菱形ABCD的面积为，

故四棱锥P- ABCD的体积.

【点睛】

本题主要考查空间线、面关系等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力，是基础题.

16．(1) (2)见解析

【解析】

【分析】

（1）由题得a,b,c的方程组求解即可（2）直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数，即，整理.设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入整理即可.

【详解】

(1)由题意可得，，又，

解得，.

所以，椭圆的方程为

 (2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.

设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.

设，，定点.(依题意

则由韦达定理可得，，. 

直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数. 

所以，，即得.

又，，

所以，，整理得，.

从而可得，，

即，

所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立. 特别地，当直线为轴时，也符合题意. 综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称.

【点睛】

本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.

17．（1）答案见解析．（2）答案见解析

【解析】

【分析】

（1）求导得，根据、分类讨论，求出与的解集即可得解；

（2）令，求导得，令，求导得在时取得极小值，即为最小值，可得，即可得证.

【详解】

（1）的定义域为，，

①当时，，在单调递增．

②当时，时，，单调递减，

当时，，单调递增．

综上，当时在单调递增；当时，时，单调递减，当时，单调递增．

（2），，即，

设，则，

当时，，当时，，当时，，

所以在时取得极小值，即为最小值，

所以.

令，，则，

当时，，当时，，

当时，，

所以在时取得极小值，即为最小值．

所以即，

所以恒成立．

【点睛】

本题考查了利用导数判断函数的单调性和证明不等式，考查了换元法的应用，属于中档题.

18．（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）直接利用极坐标公式计算得到答案

（2）设，，根据三角函数的有界性得到答案.

【详解】

（1）因为，所以，

因为所以直线的直角坐标方程为.

（2）由题意可设，

则点到直线的距离.

因为，所以，

因为，故的最小值为.

【点睛】

本题考查了极坐标方程，参数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.

19．(1)；(2)

【解析】

【分析】

(1) 当时，不等式即为，利用绝对值的几何意义即可得到答案；

(2)由可知，从而将不等式化简为，再由对任意恒成立，即可求出答案．

【详解】

（1）当时，，

由绝对值的几何意义可得：，

所以不等式的解集，

(2)若时，不等式成立，等价于，

即对恒成立，

所以，解得，

所以实数的取值范围是．

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法及不等式恒成立问题，属于中档题．

20．

【解析】

【分析】

先求出导数，再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的的集合，从而可得函数的单调增区间.

【详解】

函数的定义域为.

，

令，则，故函数的单调增区间为：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数在函数单调性中的应用，注意先考虑函数的定义域，再考虑导数在定义域上的符号，本题属于基础题.

21．

【解析】

【分析】

画出可行域，根据可行域内的点和原点连线的斜率，求得的最大值.

【详解】

画出可行域如下图所示，由图可知，可行域内的点和原点连线斜率最大的为.

【点睛】

本小题主要考查斜率型的非线性规划求最值问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

22．

【解析】

试题分析：取中点F，连接，，分别为

的中点，，平面，为直线与平面所成角，，=，则

考点：直线与平面所成的角；

23．2.5

【解析】

由题意可得：

a1＋a2=1＋4=5，b22=1×4=4，

设等比数列的公比为，则，

即b2与1同号，∴b2=2，=2.5.

点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．