四川省宜宾市第四中学2020届高三一诊模拟数学（理）试题
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理科数学试题
第I卷(选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．设复数满足，则
A． B． C． D．
3．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在中，，，，则等于
A． B． C． D．2
5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A．2 B．1 C． D．
6．若椭圆经过点，则椭圆的离心率=
A． B． C． D．
7．设数列满足，则
A． B． C． D．
8．有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（ ）种
A．48 B．72 C．78 D．84
9．如果是抛物线上的点，它们的横坐标，是抛物线的焦点，若，则
A．2028 B．2038 C．4046 D．4056
10．已知是定义在上的奇函数，且在上是减函数，，则满足的实数的取值范围是
A． B． C． D．
11．一个圆锥的高和底面直径相等，且这个圆锥和圆柱的底面半径及体积也都相等，则圆锥和圆柱的侧面积的比值为
A． B． C． D．
12．已知函数是奇函数，，且与的图像的交点为，，，，则
A．0 B．6 C．12 D．18
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．双曲线的渐近线方程为_____________
14．的二项展开式中，含的一次项的系数为__________．（用数字作答）
15．设，，则的最小值为______.
16．在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；
②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；
③到两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；
④到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．
其中正确的命题是___________．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（本大题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若cos(B＋)＝，求cosC的值．
18．某市教育部门为了解全市高三学生的身高发育情况，从本市全体高三学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后，得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中，身高不低于1.69米的学生只有16名，其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率．
（1）求该市高三学生身高高于1.70米的概率，并求图1中、、的值．
（2）若从该市高三学生中随机选取3名学生，记为身高在的学生人数，求的分布列和数学期望；
（3）若变量满足且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布．如果该市高三学生的身高满足近似于正态分布的概率分布，则认为该市高三学生的身高发育总体是正常的．试判断该市高三学生的身高发育总体是否正常，并说明理由．
19．(12分)如图，已知直角梯形所在的平面垂直于平面
（1）的中点为，求证∥面
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别是，是其左右顶点，点是椭圆上任一点，且的周长为6，若面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两个不同点，证明：直线于的交点在一条定直线上.
21．（12分）已知函数．
（1）求函数的单调区间．
（2）若斜率为k的直线与曲线交于，两点，其中，求证：．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是为参数，直线l的参数方程是为参数，与C相交于点A、以直角坐标系xOy的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的普通方程和极坐标方程；
（2）若，求．
23．（10分）已知函数，
（1）当时，解不等式；
（2）若存在满足，求实数的取值范围．
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理科数学试题参考答案
1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．A 9．B 10．C 11．C 12．D
13． 14．-5 15． 16．①③④
17．（1）由正弦定理可得：.
所以，整理得：
又.解得：
所以或（舍去）所以
（2），
,
18．：（1）由图2可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70的概率为0.15．
记为学生的身高，结合图1可得：
，
，
，
又由于组距为0.1，所以，，．
（2）以样本的频率估计总体的概率，
可知从这批学生中随机选取1名，身高在的概率为
，
因为从这批学生中随机选取3名，相当于三次重复独立试验，
所以随机变量服从二项分布，
分布列为：，
0 | 1 | 2 | 3 | |
0.027 | 0.189 | 0.441 | 0.343 |
（或）
（3）由，取，，
由（2）可知，，
又结合（1），可得：，
，
所以这批学生的身高满足近似于正态分布的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．
19.解：（Ⅰ）线段BC的中点就是满足条件的点P．证明如下：
取AB的中点F连接DP、PF、EF，则FP∥AC，FP=AC，
取AC的中点M，连接EM、EC，
∵AE=AC且∠EAC=60°，∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．
∴四边形EMCD为矩形，∴ED=MC=AC．
又∵ED∥AC，∴ED∥FP且ED=FP，
∴四边形EFPD是平行四边形，∴DP∥EF，
∵EF⊂平面EAB，DP⊄平面EAB，
∴DP∥平面EAB；
（Ⅱ）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG，
∵ED∥AC，∴ED∥l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．
∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，
又∵l⊂平面ABC，∴l⊥平面DGC，∴l⊥DG，
∴∠DGC是所求二面角的平面角．
设AB=AC=AE=2a，则CD=a，GC=2a，
∴GD==a，
∴cosθ=cos∠DGC==.
20．解：（1）由题意得
椭圆的方程为；
（2）由（1）得，，，设直线的方程为，
，，由，得，
，，，
直线的方程为，直线的方程为，
，，
，直线与的交点在直线上.
21．（1）解：的定义域是，且．
由得，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增．
综上，的减区间为，的增区间为．
（2）证明：，
要证明，即证， 等价于， 令（由，知），
则只需证，由知，
故等价于．（*）
①，则当时，，
所以在内是增函数，
当时，，所以；
②设，则当时，，
所以在内是增函数，
所以当时，，即．
由①②知（*）成立，所以．
22．解：曲线C的参数方程是为参数，
转换为直角坐标方程为：．
整理得：，转换为极坐标方程为：．
直线l的参数方程是为参数，．
转换为极坐标方程为：，极径为：和，故：，
转换为：，所以：，，
所以：，则：，
解得：，由于：所以：．
23．（1）当时，
当时，，解得：；
当时，，解得：；
当时，，解得：
的解集为：
（2）若存在满足等价于有解
，解得：
实数的取值范围为：
