四川省宜宾市叙州区第二中学2020届高三一诊模拟数学（理）试题
展开四川省叙州区第二中学高2020届一诊模拟考试
理科数学试题
第I卷(选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1．已知全集为，集合，，则元素个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设，则
A．0 B．1 C． D．3
3．已知，是两个不重合的平面，直线，，，则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数，则
A． B． C． D．5
5．设，，，则
A． B． C． D．
6．下图可能是下列哪个函数的图像
A． B． C． D．
7．已知曲线，，则下面结论正确的是
A．把曲线向右平移个长度单位得到曲线 B．把曲线向左平移个长度单位得到曲线
C．把曲线向左平移个长度单位得到曲线 D．把曲线向右平移个长度单位得到曲线
8．过三点，，的圆截直线所得弦长的最小值等于
A． B． C． D．
9．椭圆的左右焦点分别是、，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
10．2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为
A． B． C． D．
11．已知的最大值为，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为
A． B． C． D．
12．已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知随机变量服从正态分布且，则_____________
14．若二项式的展开式中的常数项为，则______.
15．如图，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体
截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体，其三对棱长分别为，则此四面体的体积为_______；
16．在四边形中，已知是边上的点，且，，若点在线段上，则的取值范围是______.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（12分）
在中，内角所对的边分别为，已知的面积为．
(1) 求和的值； (2) 求的值．
18．（12分）某教师为了分析所任教班级某次考试的成绩，将全班同学的成绩作成统计表和频率分布直方图如下：
分组 | 频数 | 频率 |
[50，60) | 3 | 0.06 |
[60，70) | m | 0.10 |
[70，80) | 13 | n |
[80，90) | p | q |
[90，100] | 9 | 0.18 |
总计 | t | 1 |
(1)求表中t，q及图中a的值；
(2)该教师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进行谈话，设X表示所抽取学生中成绩低于60分的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
19．（12分）在斜三棱柱中，侧面平面，，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）在侧棱上确定一点，使得二面角的大小为．
20．（12分）已知为圆上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点满足
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设为直线上一点，为坐标原点，且，求面积的最小值.
21．（12分）已知函数，.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：函数有两个不相等的零点，，且.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，
（l）设为参数，若，求直线的参数方程；
（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对恒成立，求的取值范围.
四川省叙州区第二中学高2020届一诊模拟考试
理科数学试题参考答案
1．B 2．B 3．B 4．A 5．B 6．C 7．D 8．B 9．A 10．B 11．C 12．B
13．0.76 14．124 15．2 16．
17．（1）△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.
（2）,
18．解：(1)由表格可知，全班总人数t＝＝50，则m＝50×0.10＝5，n＝＝0.26，所以a＝＝0.026，3＋5＋13＋9＋p＝50，
即p＝20，所以q＝＝0.4.
(2)成绩在[50，60)内的有3人，[60，70)内的有5人．
由题意得X可能的取值为0，1，2，3，P(X＝k)＝，所以P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.
随机变量X的分布列如下：
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
19．（1）证：∵面面，,∴面，即有；
又，为中点，则.∴面.
（2）如图所示
以点为坐标系原点，为轴，过C点平行于AB的直线为y轴,CA1为轴，
建立空间直角坐标系，则有，，，，，
设，且，即有，
所以点坐标为.
由条件易得面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
由可得，
令，则有，
则 ，得.
所以，当时，二面角的大小为.
20．解：（1） 设，由题意得：，由，可得点是的中点，
故，所以，又因为点在圆上，所以得，
故动点的轨迹方程为.
（2）设，则，且，
当时，，此时；当时，
因为,即
故，，
，
①，
代入①
设
因为恒成立， 在上是减函数，
当时有最小值，即,综上：的最小值为
21．（1）当时，，得，
令，得或.
当时，，，所以，故在上单调递减；
当时，，，所以，故在上单调递增；
当时，，，所以，故在上单调递减；
所以在，上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：由题意得，其中，
由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
∵，， ，
∴函数有两个不同的零点，且一个在内，另一个在内.
不妨设，，
要证，即证，
因为，且在上是增函数，
所以，且，即证.
由，得 ，
令 ，，
则 .
∵，∴，，
∴时，，即在上单调递减，
∴，且∴，，
∴，即∴，故得证.
22．（1）直线的极坐标方程为即，
因为为参数，若，代入上式得，
所以直线的参数方程为（为参数）
（2）由，得，
由，代入，得
将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，
得.（*）
则且，，
设点，分别对应参数，恰为上述方程的根.
则，，，
由题设得.
则有，得或.因为，所以
23：（1）因为，
所以当时，由得；
当时，由得；
当时，由得.
综上，的解集为.
（2）（方法一）由得，
因为，当且仅当取等号，
所以当时，取得最小值5，
所以当时，取得最小值5，
故，即的取值范围为.
（方法二）设，则，当时，取得最小值5，
所以当时，取得最小值5，故，即的取值范围为.
