2020届重庆巴蜀中学高三适应性月考卷（二）数学（理）试题（解析版）

2020届重庆巴蜀中学高三适应性月考卷（二）数学（理）试题


一、单选题
1．已知α是第二象限角，且sin，则cosα＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】通过同角三角函数的平方关系，结合α是第二象限角，cosα为负值，直接代入解得答案.
【详解】
∵α是第二象限角，且sin，
可得,
故选：D.
【点睛】
本题考查同角三角函数关系，注意象限角的符号即可，属于基础题.
2．集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣7）≤0}，集合B＝{x|x＝2k+1，k∈N}，则A∩B＝（ ）
A．{1，7} B．{3，5，7}
C．{1，3，5，7} D．{1，2，3，4，5，6，7}
【答案】C
【解析】先求出集合A与B，求出两集合的交集即可．
【详解】
∵集合，
集合B={x|x=2k+1,k∈Z}，
∴A∩B={1，3，5，7}，
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的运算，此类题目一般比较简单，只需将两集合解出，再进行交并补运算即可求解.
3．向量（1，2），（2，λ），（3，﹣1），且（）∥，则实数λ＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
【答案】B
【解析】向量，，计算可得，再由和（）∥，代入向量平行的性质公式计算，即可求解.
【详解】
根据题意, 向量（1，2），（2，λ），
则，
（3，﹣1），且（）∥,
则有，
解可得，
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算和平行的性质，属于平面向量常考题型.
4．已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤1）＝0.1，则P（3＜X≤5）＝（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】D
【解析】根据已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），得到正态分布曲线关于对称，又根据题目P（x≤1）＝0.1，由对称性可得，因此得到P（1≤X≤5）的值，再乘即为所求.
【详解】
∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），
∴正态分布曲线关于对称，
又P（x≤1）＝0.1，
∴，
∴，
故选：D
【点睛】
本题考查正态分布概率问题，此类问题通常根据正态分布曲线的对称性质推导求解，属于基础题.
5．函数的图象的一条对称轴方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：令，即，当时，，故选B.
【考点】1、两角差的正弦函数；2、正弦函数的图象与性质.
6．定义H（x）表示不小于x的最小整数，例如：H（1.5）＝2，对x，y∈R，则下列正确的是（ ）
A．H（﹣x）＝﹣H（x） B．H（2﹣x）＝H（x）
C．H（x+y）≥H（x）+H（y） D．H（x﹣y）≥H（x）﹣H（y）
【答案】D
【解析】根据题意，可用特殊值法进行逐一排除，最后得到正确选项.
【详解】
∵定义H（x）表示不小于x的最小整数，
A选项，令，显然错误，
B选项，令，显然错误，
C选项，令，故错误，
D选项根据排除法，因此正确，
故选：D.
【点睛】
此类问题属于定义新概念题型，根据定义去判断各个推论是否正确，此类问题最快速的办法是举特例进行排除，可快速锁定答案，属于中等题.
7．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b+c＝acosB+acosC，则A＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意代入余弦定理，可得到三边a，b，c的等式，化简可得，从而得到△ABC为直角三角形，A为直角.
【详解】
由b+c＝acosB+acosC，
根据余弦定理可得，
，

，
进一步化简可得
∴△ABC为直角三角形，.
故选：A.
【点睛】
本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，通过余弦定理找到各边之间的关系，然后推导出角的大小，属于中等题.
8．对任意x∈R，存在函数f（x）满足（ ）
A．f（cosx）＝sin2x B．f（sin2x）＝sinx
C．f（sinx）＝sin2x D．f（sinx）＝cos2x
【答案】D
【解析】根据题意，对任意x∈R，存在函数f（x）满足，对选项逐一判断即可.
【详解】
对于A选项，取x=,则cosx=,sin2x=1,∴f()=1；
取x=,则cosx=,sin2x=-1,∴f()=-1；
∴f()=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意；
对于B选项，取x=0,则sin2x=0,∴f(0)=0；
取x=,则sin2x=0,∴f(0)=1；
∴f(0)=0和1，不符合函数的定义，故不满足题意；
对于C选项，取x=,则sinx=,sin2x=1,∴f()=1；
取x=,则sinx=,sin2x=-1,∴f()=-1；
∴f()=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意；
对于D选项，
∵,
∴f（sinx）＝cos2x＝，
即对任意x∈R，存在函数f（sinx）＝cos2x，
只有D选项满足题意.
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数二倍角公式和函数的解析式，需要对公式和概念的熟练掌握，属于简单题.
9．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，且SA＝2，AB＝1，BC，则三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为（ ）
A．4π B．6π C．8π D．10π
【答案】C
【解析】由勾股定理可得AC，求得△ABC外接圆的半径，从而再利用勾股定理可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥S-ABC的外接球的表面积．
【详解】
∵AB⊥BC，AB＝1，
∴由勾股定理可得AC=2，
∴AC是△ABC外接圆的直径，
∴△ABC外接圆的半径为r=1，
∵SA⊥平面ABC，且SA＝2，
设球心到平面ABC的距离为d,
则由勾股定理可得，
∴，
∴三棱锥S−ABC的外接球的表面积为.
故选：C.
【点睛】
本题考查几何体外接球的表面积，此类问题常常先求底面的外接圆半径，再与球心到底面距离、球的半径运用勾股定理求解，属于中等难度题型.
10．已知•0，|BC|＝4，P是三角形ABC平面内任意一点，且满足||＝1，则•的最小值是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【答案】B
【解析】利用已知，得到，|BC|＝4，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，再根据P点满足||＝1，设P点坐标为，代入点坐标计算，再根据辅助角公式和坐标之间的关系可得的取值范围，从而得解.
【详解】
∵，
∴，
建立如图直角坐标系，

设，
又|BC|＝4，
∴
∵||＝1，∴设，



,
∵,
,
故最小值为，
故选：B.
【点睛】
本题考查向量积的最值问题，通常建立直角坐标系，设未知数，得到各个向量的坐标，运用坐标运算计算出含有未知量的解析式，再进一步运用函数思想找出取值范围，属于中等题.
11．已知f（x）＝sin（ωx）（ω∈Z）x∈（0，]时f（x）有唯一解，则满足条件的ω的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】对ω进行分类讨论，当，通过可确定的范围，由f（x），得到，从而得到，再根据ω∈Z，可得的值；当时,同理可得的值.
【详解】
当时,
，
∵有唯一解，
，，
又
当时,


∴,
又,
综上所述,
故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象与性质，函数零点与方程的根的关系，求三角函数的值时，利用函数图像数求出的范围，即可求得值，属于中等题.
12．已知抛物线，直线与抛物线交于两点（点在点右侧），直线交抛物线于两点（点在点右侧），直线与直线交于点，交点的横坐标为，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】联立直线与抛物线得到，同理，记的中点为，的中点为，根据直线过点，得到，得到答案.
【详解】
联立直线与抛物线：，消去得，，
同理，记的中点为，的中点为，所以，
又因为直线过点（为中线，所以也为中线，所以三点共线），
所以，所以，从而抛物线的方程为.
故选：D.

【点睛】
本题考查了抛物线方程，确定直线过点是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.


二、填空题
13．设复数z满足2+i，则|z|＝_____
【答案】5
【解析】复数方程的两边同乘1+2i，然后利用多项式展开化简，即可确定z，再进一步求得．
【详解】
复数z满足，
所以，
故
故答案为：5.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的模的计算，属于基础题.
14．函数的单调递增区间是________.
【答案】
【解析】计算定义域为，再根据复合函数单调性得到答案.
【详解】
，函数定义域为满足，
即，
函数单调递减，故只需求的单调递减区间，即.
综上所述：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了复合函数单调性，忽略掉定义域是容易发生的错误.
15．sin20°+2sin20°cos40°＝_____.
【答案】.
【解析】利用进行角的转化，再利用和差公式化简即可求解.
【详解】








.
故答案为：.
【点睛】
本题为计算题，主要考察正余弦和差公式的灵活应用，此类问题中非特殊角三角函数化简求值，如20°、40°等角度，一般找出与特殊角的和差关系，再利用和差公式化简即可，属于中等题.
16．已知函数f（x）＝lnxa，f′（x）是f（x）的导函数，若关于x的方程f′（x）0有两个不等的根，则实数a的取值范围是_____
【答案】（﹣∞，ln2）
【解析】根据题意可得f′（x），代入关于x的方程f′（x）0，方程有2个交点转化为y＝1lnx与y＝a有两个不同的交点，则令g（x）＝1lnx，求导研究g（x）的图象从而可得a的取值范围.
【详解】
根据题意可得，f′（x），x＞0
∵关于x的方程关于x的方程f′（x）0有两个不相等的实数根，
∴lnxa有两个不相等的实数根，
∴y＝1lnx与y＝a有两个不同的交点；
令g（x）＝1lnx，
∴g′（x），
令g′（x）＝0，x＝2或﹣1（舍负）；
令g′（x）＞0，0＜x＜2；令g′（x）＜0，x＞2；
∴g（x）的最大值为g（2）＝1ln2ln2；
∴aln2；
∴a的取值范围为（﹣∞，ln2）.
故答案为：（﹣∞，ln2）.
【点睛】
本题主要考查导数的运算、导数在函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了转化能力、运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想方法，属于较难题．

三、解答题
17．已知函数f（x）＝sinxcosxcos2x+1
（1）求f（x）的最小正周期和最大值，并写出取得最大值时x的集合；
（2）将f（x）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g（x）是偶函数，求φ的最小值.
【答案】（1）最小正周期为Tπ，f（x）取得最大值为2，此时x的集合为{x|x＝kπ，k∈Z}.（2）
【解析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）＝sin（2x）+1，由此可得最小正周期及最大值，由当且仅当2x2kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值，解出x的集合；
（2）通过平移变换可得g（x）=sin（2x+2φ）+1，若函数g（x）是偶函数，运用三角函数的诱导公式，令，k∈Z即可，从而得到φ的最小值．
【详解】
（1）f（x）＝sinxcosxcos2x+1sin2xcos2x+1＝sin（2x）+1，
所以函数f（x）的最小正周期为Tπ，
当且仅当2x2kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值为2，
此时x的集合为{x|x＝kπ，k∈Z}.
（2）g（x）＝f（x+φ）＝sin（2x+2φ）+1，
因为g（x）是偶函数，
所以2φkπ，k∈Z，即φkπ，k∈Z，
所以φ的最小值为.
【点睛】
本题主要考查了利用公式化简三角函数，求三角函数的周期、最值、极值点和三角函数的图像和性质等，需要特别注意集合的书写规范，属于基础题.
18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，E是线段SD上一点.

（1）若E是SD的中点，求证：SB∥平面ACE；
（2）若SA＝AB＝AD＝2，SC＝2，且DEDS，求二面角S﹣AC﹣E的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）由题意连结BD，交AC于点O，连结OE，可证OE∥SB，SB∥平面ACE得证；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面SAC与平面ACE的法向量，代入公式求二面角的余弦值即可.
【详解】
（1）证明：连结BD，交AC于点O，连结OE，
∵底面ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，
∵E是SD的中点，∴OE∥SB，
∵SB⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，
∴SB∥平面ACE.
（2）∵SA⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴SA⊥AC，
在Rt△SAC中，SA＝2，SC＝2，
∴AC＝2，
∵AB＝AD＝2，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴BD＝2，
以O为原点，OD为x轴，OA为y轴，过O作AS的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
O（0，0，0），D（，0，0），A（0，1，0），S（0，1，2），
（，1，2），（，），
（），
∵BD⊥平面SAC，取平面SAC的一个法向量（），
设平面ACE的法向量（x，y，z），
则，取x＝4，得（4，0，），
设二面角S﹣AC﹣E的平面角为θ，
则cosθ.
∴二面角S﹣AC﹣E的余弦值为.

【点睛】
本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，意在考查学生的分析转化能力和计算求解能力，属于基础题.
19．甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是，，，乙命中10环，9环，8环的概率分别是，，，任意两次射击相互独立.
（1）求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率；
（2）现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击1次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率
【答案】（1）（2）
【解析】（1）甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，分别求三种情况概率再求和；
（2）求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率，先确定甲胜利，平局，失败的概率，恰好进行3轮射击后比赛结束情形包括两种：①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，算出其概率P1；②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率P2，两情形概率之和即为所求.
【详解】
（1）记X表示甲运动员两次射击命中环数之和，
则X＝18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，
∴甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率为：
P.
（2）记Ai表示甲在第i轮胜利，Bi表示甲在第i轮平局，∁i表示甲在第i轮失败，
∴P（Ai），P（Bi），P（∁i），
①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，
其概率P1，
②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，
其概率P2，
∴经过3轮比赛结束的概率P.
【点睛】
本题考查了概率的计算，第一种为已知取值，求取此值的概率，常常利用排列组合、枚举法、概率公式等方法计算，第二种需要分析判断得到结果所有的可能情况，再根据每种状况求出概率，属于中档题.
20．已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率e.
（1）若点P（1，）在椭圆E上，求椭圆E的标准方程；
（2）若D（2，0）在椭圆内部，过点D斜率为的直线交椭圆E于M.N两点，|MD|＝2|ND|，求椭圆E的方程.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为，所以，则，所以，将P（1，）代入方程，得b2＝1，所以a2＝4，可得椭圆方程；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），设y1＜y2，因为，所以椭圆的方程为，MN的直线方程为x2，联立求解韦达定理，结合条件|MD|＝2|ND|，可得y1＝﹣2y2，所以解得，，代入根与系数关系，得b2＝3，a2＝12，求得椭圆E的方程.
【详解】
（1）因为，所以，则，所以，
将P（1，）代入方程，得b2＝1，所以a2＝4，
所以椭圆E的标准方程为；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＜y2，
因为，所以椭圆的方程为，MN的直线方程为x2，
联立，得，16y2+8y+12﹣12b2＝0，
所以y1+y2，y1y2①.
因为|MD|＝2|ND|，即y1＝﹣2y2，所以，，
代入①，得b2＝3，a2＝12，
所以椭圆E的方程为.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，一种为根据离心率及椭圆上的点建立方程组求解，考查计算能力；另一种为已知弦长之间的关系求解，利用弦长关系转化得到纵坐标的关系，结合韦达定理即可求解，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21．已知函数f（x）＝
（1）求f（x）＞0的解集；
（2）若x∈R时，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）（0，+∞）（2）[，+∞）
【解析】（1）通过对f（x）求导，可得x∈R时，f′（x）≥0，所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f（0）＝0，x∈（0，+∞）时f（x）＞0，不等式得解；
（2）若x∈R时，恒成立，不等式转化为2eex（x∈R），因为都是偶函数，所以只需x∈[0，+∞）时，2ee2x﹣1≥0成立即可，构造新的函数F（x）＝2ee2x﹣1，求导后再对导函数进行分类讨论，可得实数m的取值范围.
【详解】
（1）因为f（x）＝，则f′（x）＝；
所以x∈R时，f′（x）≥0，
所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f（0）＝0，
所以x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜0，
x∈（0，+∞）时f（x）＞0，
∴f（x）＞0的解集为（0，+∞）.
（2）因为x∈R时，2ee2x+1恒成立，
等价于恒成立，
即2eex（x∈R），
因为都是偶函数，
所以只需x∈[0，+∞）时，2ee2x﹣1≥0成立即可，
令F（x）＝2ee2x﹣1，F（0）＝0，
F′（x）＝2（2mx+1）e2e2x＝2e2x[（2mx+1）e1]，F′（0）＝0，
令G（x）＝（2mx+1）e1，G（0）＝0，
G′（x）＝2me（2mx+1）（2mx﹣1）e（4m2x2+2m﹣1）e
①当2m﹣1≥0，即m时，G′（x）≥0，所以G（x）在[0，+∞）上单调递增，
又因为G（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，G（x）≥0，即F′（x）≥0，
所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为F（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，F（x）≥0，所以m时满足要求；
②当m＝0，x＝1时，2e＜e2+1，不成立，所以m≠0；
③当2m﹣1＜0且m≠0时，即m且m≠0时，x∈上单调递减，
又因为G（0）＝0，所以x∈时，G（x）＜0，即F′（x）＜0，
所以F（x）在上单调递减，
又因为F（0）＝0，所以x∈时，F（x）＜0，
所以m且m≠0时不满足要求.
综上所述，实数m的取值范围是[，+∞）.
【点睛】
本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立求参数问题，将不等式恒成立转化为构造差函数，求函数的最值是解决本题的关键，也是本题的难点，需要对导函数进一步求导和分类讨论，综合性较强，运算量较大，难度较大．
22．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C2的参数方程为（t为参数）.
（1）求曲线C1的直角坐标方程和直线C2的普通方程；
（2）若P（1，0），直线C2与曲线C1相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值.
【答案】（1）曲线C1：x2+y2﹣4x＝0；直线C2：xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0（2）3
【解析】（1）求曲线C1的直角坐标方程需利用直角坐标与极坐标关系互化关系式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，将ρ＝4cosθ，等式两边乘ρ得ρ2＝4ρcosθ代入即可，直线C2的参数方程消去参数t即为普通方程；
（2）因为P（1，0）在直线C2上，将直线C2的参数方程（t为参数）代入曲线C1：x2+y2﹣4x＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，根据根与系数关系可得则t1t2＝﹣3，故可求|PA|•|PB|＝|t1t2|＝3.
【详解】
（1）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，
可得ρ2＝4ρcosθ，即为x2+y2﹣4x＝0，
直线C2的参数方程为（t为参数），
可得xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0；
（2）因为P（1，0）在直线C2上，
将直线C2的参数方程（t为参数）代入x2+y2﹣4x＝0，
可得（1+tcosα）2+（tsinα）2﹣4（1+tcosα）＝0，
化为t2﹣2tcosα﹣3＝0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝﹣3，
可得|PA|•|PB|＝|t1t2|＝3.
【点睛】
本题考查极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化、求弦长关系问题，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化，可利用转化关系直接求解，求弦长关系问题通常借助联立二次方程，转化为根与系数关系问题求解.
23．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣m|
（1）当m＝2时，求f（x）≤9的解集；
（2）若f（x）≤2的解集不是空集，求实数m的取值范围.
【答案】（1）[﹣2，4]（2）[﹣3，1]
【解析】（1）当m＝2时，函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|≤9,对x分类讨论，分别在三个区间，去掉绝对值求解不等式即可求得解集；
（2）若f（x）≤2的解集不是空集，转化为f（x）min≤2成立，又根据|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|恒成立，f（x）min＝|m+1|≤2，解得﹣3≤m≤1.
【详解】
（1）当m＝2时，f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|.
∵f（x）≤9，∴或或，
∴2＜x≤4或﹣1≤x≤2或﹣2≤x＜﹣1，
∴﹣2≤x≤4，
∴不等式的解集为[﹣2，4]；
（2）∵f（x）≤2的解集不是空集，
∴f（x）min≤2.
∵|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|，|x﹣m|≥0，
∴f（x）＝|x+1|+2|x﹣m|≥|m+1|，当且仅当x＝m时取等号，
∴|m+1|≤2，∴﹣3≤m≤1，
∴实数m的取值范围为[﹣3，1].
【点睛】
本题考查含有绝对值不等式的解法和求参数范围问题，解含有绝对值不等式一般进行分区间讨论去掉绝对值，然后求解不等式即可；不等式恒有解求参数问题一般进行等价转化成求函数最值问题，然后通过函数最值确定参数的取值范围，属于中等题.