2020届重庆市巴蜀中学高三下学期适应性月考九理科数学试题

秘密★启用前

2020届巴蜀中学高考适应性月考卷（九）

理科数学

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．

3．考试结束后，请将本试卷和答題卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟．

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，，则（    ）

 A． B． C． D．

2．已知单位向量与的夹角为，若与垂直，则实数的值为（    ）

 A． B． C． D．

3．则（    ）

 A．3 B． C．4 D．

4．已知，则（    ）

 A． B． C． D．

5．自新型冠状病毒爆发以来，全国各地医护人员勇当“逆行者”支援湖北．重庆第一批共派出甲、乙、丙、丁4支医疗队奔赴武汉、孝感、黄冈三个地方，每个地方至少一支医疗队，每支医疗队只去一个地方，则甲、乙都在武汉的概率为（    ）

 A． B． C． D．

6．已知抛物线，为抛物线的焦点，为坐标原点，，为抛物线上的两点，，的中点到抛物线准线的距离为5，的重心为，则（    ）

 A．1 B．2 C．3 D．4

7．在中，角，，对应的边分别为，，，若，，则的外接圆面积为（    ）

 A． B． C． D．

8．已知函数，，若与在公共点处的切线相同，则 （    ）

 A． B．1 C．2 D．5

9．在底边边长为2的正四棱锥中，异面直线与所成角的正切值为3，则四棱锥外接球的表面积为（    ）

 A． B． C． D．

10．双曲线的左、右焦点为，，以为圆心，为半径作圆，过 作直线与圆切于点，若在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为（    ）

 A． B． C．2 D．

11．已知在一个棱长为12的正方体中，和的中点分别为，．如图1，则正方体被过，，三点的平面所截得的截面图形为（    ）

 A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形

12．某品牌的某种在售咖啡产品价格为30元/杯，其原材料成本为7元/杯，营销成本为5元/杯，且品牌门店提供如下4种优惠方式：

（1）首杯免单，每人限用一次；

（2）3.8折优惠券，每人限用一次；

（3）买2杯送2杯，每人限用两次；

（4）买5杯送5杯，不限使用人数和使用次数．

每位消费者都可以在以上4种优惠方式中选择不多于2种使用．现在某个公司有5位后勤工作人员去该品牌门店帮每位技术人员购买1杯咖啡，购买杯数与技术人员人数须保持一致；请问，这个公司的技术人员不少于 （    ）人时，无论5位后勤人员采用什么样的优惠方式购买咖啡，这笔订单该品牌门店都能保证盈利．

 A．28 B．29 C．30 D．31

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．复数，则________．

14．已知离散型随机变量，随机变量，则的数学期望________．

15．已知函数向左平移个单位后，所得图象在区间上单调递增，则的最大值为________．

16．函数满足，当时，，若有8个不同的实数解，则实数的取值范围是________．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知等比数列的前项和为，，且，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

18．（本小题满分12分）

如图2，在四棱锥中，平面平面，是一个边长为4的正三角形，在直角梯形中，，，，，点在棱上，且．

（1）求证：平面；

（2）设点在线段上，若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的长．

19．（本小题满分12分）

2020年初，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速蔓延，口罩成了重要的防疫物资．某口罩生产厂不断加大投入，高速生产，现对其2月1日~2月9日连续9天的日生产量（单位：十万只，）数据作了初步处理，得到如图3所示的散点图及一些统计量的值：

注：图中日期代码1~9分别对应2月1日~2月9日；表中，．

（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个点的日生产量都不高于三十万只的条件下，求2个都高于二十万只的概率；

（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线的附近，请求关于的方程，并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万只．

参考公式：回归直线方程是时，，

．参考数据：．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆的长轴为，动点是椭圆上不同于，的任一点，点满足，．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点的动直线交于，两点，轴上是否存在定点，使得 总成立？若存在，求出定点；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）讨论的零点个数．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程并判断，的位置关系；

（2）设直线分别与曲线交于，两点，与交于点，若，求的值．

23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

设函数的最大值为．

（1）求；

（2）若正数，满足，请问：是否存在正数，，使得，并说明理由．

理科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1．∵，，∴，故选B．

2．，，故选B．

3．，∴，故选A．

4．∵，，∴，

∴，故选C．

5．∵4支队伍分配到三个地方，每个地方至少一支队伍，每支队伍只去一个地方，

共有种情况，甲、乙都在武汉共种情况，

∴，故选D．

6．，，

∴，，故选D．

7．由正余弦定理得，，

∴，，，，

∴，，故选A．

8．，的公共点设为，

则，，，

解得，，故选B．

9．异面直线与所成角即为，作于，

则，，，

在底面的投影为，则，

∴，

∴，，故选B．

10．由已知，，，

不妨设在第一象限，设，，，

点在渐近线上，∴，，故选C．

11．如图1所示，故选B．

12．由题意知，咖啡产品原价为30元/杯，成本为12元/杯；

优惠方式（1）免单购买，每购买1杯该品牌门店亏损12元；

优惠方式（2）每杯售价11.4元，每购买1杯该品牌门店亏损0.6元；

优惠方式（3）和（4）相当于5折购买，每购买1杯该品牌门店盈利3元；

[解法一]（验证法）分别讨论选项：

技术人员为28人时，最优购买方式为免单购买5杯咖啡+买5送5购买20杯咖啡+3.8折购买3杯咖啡，该品牌门店亏损元；

技术人员为29人时，最优购买方式为免单购买5杯咖啡+买5送5购买20杯咖啡+3.8折购买4杯咖啡，该品牌门店亏损元；

技术人员为30人时，最优购买方式为免单购买5杯咖啡+买5送5购买20杯咖啡+买2送2购买4杯咖啡+3.8折购买1杯咖啡，该品牌门店盈利元；

技术人员为31人时，最优购买方式为免单购买5杯咖啡+买5送5购买20杯咖啡+买2送2购买4杯咖啡+3.8折购买2杯咖啡，该品牌门店盈利元，故选C．

[解法二]（通解法）

我们只需要考虑最优的购买方式，每位后勤工作人员能选择2种优惠方式，必然包含优惠方式（1），可以免单购买5杯咖啡，该品牌门店因此亏损60元；

最优的购买方式是不包含原价购买任何一杯咖啡（，说明只要用原价购买1杯咖啡，哪怕最大程度利用3．8折优惠，花费也一定会超过搭配使用（2）~（4）优惠购买咖啡）．故显然该品牌门店必须按照优惠方式（3）和（4）售出20杯以上的咖啡才能盈利，故技术人员人数一定多于人；

技术人员在26~29人时，免单购买5杯咖啡+买5送5购买20杯咖啡+3.8折购买1~4杯咖啡，该品牌门店依旧亏损；技术人员为30人时，最优购买方式为免单购买5杯咖啡+买5送5购买20杯咖啡+买2送2购买4杯咖啡+3．8折购买1杯咖啡，该品牌门店盈利元；

由于，故技术人员超过30人时，该品牌门店能保证持续盈利，故选C．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．，．

14．，．

15．向左平移，

得，

，，，，

∴当时，，．

16．当时，，

在，，，

又，的图象关于直线对称，

有8个不同的实数解，

令，则有两个大于的实数根．

由实根分布：．

三、解答题（共70分．解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

解：（1）由，

∵，，成等差数列，

∴．

从而有，

∴．

（2），

所以

．

18．（本小题满分12分）

（1）证明：如图2，作交于点，连接，

因为，所以，

又，，

所以，即有四边形是一个平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面．

（2）解：如图3，设是的中点，在正中，，

作，因为，

由平面平面，

可得平面，所以平面，

再以，方向建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，，

∵，∴．

设平面的法向量为，

由．

因为点在线段上，设其坐标为，其中，

所以，．

设平面的法向量为，

由，

由题意，设平面与平面所成的锐二面角为，

则

或，

因为，

所以，所以．

19．（本小题满分12分）

解：（1）9个样本点中日生产量都不高于三十万只的有5个，高于二十万只且不高于三十万只的有3个，

设事件所取2个点的日生产量都不高于三十万只，

事件所取2个点的日生产量高于二十万只，

∴事件所取2个点的日生产量高于二十万只且不高于三十万只，

则，，

∴．

（2）∵，∴，

，，

∴

，

∴，

∴．

令，解得，

∴，即该厂从2月14日开始日生产量超过四十万只．

20．（本小题满分12分）

解：（1）设，，不妨设，，

∵，，

∴，，

∴，

解得，

代入，得点的轨迹的方程为．

（2）设，，

假设存在这样的点满足，

当直线的斜率存在时，设为，代入椭圆中，

得，

∴，，

，

∵，∴，

即，即

，

∵，∴，即；

当斜率不存在时，直线也过；

综上，轴上存在定点，使得总成立．

21．（本小题满分12分）

（1）解：当时，

则，

因为，则

所以时，，

时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增

故的单调递减区间是，单调递增区间是．

（2）因为，

则．

（i）当时，因为，则，

则时，，

时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，．

当时，即时， ，

所以当时，函数没有零点，

即函数的零点个数为0；

当，即时，，

所以当时，函数有且只有一个零点，

即函数的零点个数为1；

当，即时，，

则存在一个实数，使得，

当时，，，对任意的，

则，取，

因为，则，

则，

则存在，使得，

即时，函数的零点个数为2

（ii）当时，令，则，则，

即函数有且只有一个零点，

即函数的零点个数为1．

（iii）当时，令，，

故在上单调递增，

令，，

则，，

则一定存在，使得，

所以时，，时，．

因为，

当，即时，，

所以，

所以时， ，所以时，，

则在上单调递增，

且，，

则存在，使得，

所以函数有且只有一个零点，

即函数的零点个数为1．

因为，

当，时，，

当时，，当时，，

则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

当，时，，

当时，，当时，，

则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

因为时，，，即，

所以在时没有零点，上至多有一个零点，

而

，

令，，

则，则，

故在上单调递增，

而，即，

故存在一个，则存在，使得，

所以函数有且只有一个零点，

即函数的零点个数为1，

综上所述：当时，函数的零点个数为0；

当或时，函数的零点个数为1；

当时，函数的零点个数为2．

22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

解：（1）曲线，

平方相加得，

即，化为极坐标方程为．

因为无解，

所以，相离．

（2），

因为有两个交点，，

所以，即．

设方程的两根分别为，，则①

因为，所以，即，

联立①式解得，，，满足，

联立，

所以．

23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

解：（1）当时，单调递增

所以；

当时，单调递减，

所以，

当时，单调递减，

所以，

所以的最大值．

（2）假设存在正数，，使得，

则，

所以．

又由于，

所以与矛盾，

所以假设不成立，即不存在，，使得．