2020届安徽省肥东县高级中学高三1月调研考试数学（理）试题
展开2020届高三年级1月调研
理科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.已知复数与为共轭复数，其中，为虚数单位，则
A. 1 B. C. D.
2.已知集合，则
A. B. C. D.
3.已知单位向量的夹角为，且，若向量m＝2-3，则|m|＝
A. 9 B. 10 C. 3 D.
4.下列说法正确的是
A. 若命题均为真命题，则命题为真命题
B. “若，则”的否命题是“若”
C. 在，“”是“”的充要条件
D. 命题“”的否定为“”
5.已知正项等比数列的前项和为，若，则
A. B. C. D.
6.已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是
A. B. C. D.
7.已知程序框图如图，则输出i的值为
A. 7 B. 9 C. 11 D. 13
8.曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为
A. B. C. D.
9.已知为实数，，若，则函数的单调递增区间为
A. B. C. D.
10.定义在上的函数，且，则方程在区间上的所有实数根之和最接近下列哪个数
A. B. C. D.
11.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为
A． B． C． D．
12.是定义在上的奇函数，对，均有，已知当时， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于对称 B. 有最大值1
C. 在上有5个零点 D. 当时，
第II卷 非选择题（共90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.在中，已知，若，则周长的取值范围为__________．
14.曲线在点（0,0）处的切线方程为______________；
15.各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，,则_____.
16.已知且,则______。
三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17. （本题12分）
在中，内角的对边分别为，已知．
求；
若，且面积，求的值．
18. （本题12分）
在中， .
(1) 求角的大小；
(2)若，垂足为，且，求面积的最小值.
19. （本题12分）
在中，内角的对边分别为，，三边成等比数列，且面积为1，在等差数列中，，公差为.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，设为数列的前项和，求的取值范围.
20. （本题10分）
某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域I）设计成半径为1km的扇形，中心角（）.为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域II）和休闲区（区域III），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形，其中点，分别在边和上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元.
（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求的最大值；
（2）试问：当为多少时，年总收入最大？
21. （本题12分）
已知函数.
(1)当时求函数的最小值；
(2)若函数在上恒成立求实数的取值范围.
22. （本题12分）
已知函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）当 时，判断函数在区间上零点的个数.
参考答案
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | A | C | D | B | D | D | C | B | A | B | C |
13. 14. 15.10 16.1
17.（1）；（2）
解析：（1）∵，
∴b=2a（cosCcos+sinCsin），可得：b=acosC+asinC，
由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinAsinC，
可得：sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinAsinC，
可得：cosA=sinA，可得：tanA=，
∵A∈（0，π），
∴A=
（2）∵，且△ABC面积=bcsinA=2c×c×，
∴解得：c=2，b=4，
∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=48+4-2××2×=28，解得：a=2
18.（1）（2）
解析：（1）由，两边平方，
即，得到，即。
所以 .
（2）在直角中， ，
在直角中， ，
又，所以，
所以 ，
由得， ，故，
当且仅当时， ，从而 .
19.（1），（2）
解析：（1）∵，，，
∴，.
（2）∵，
∴
∵是关于n的增函数，
∴.
20.（1）（2）
解析：（1）∵，，，所以与全等.
所以，观赏区的面积为
，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求，即，结合可知，则的最大值为.
（2）种植区的面积为，
正方形面积为，
设年总收入为万元，则
，
其中，求导可得.
当时，，递增；当时，，递增.
所以当时，取得最大值，此时年总收入最大.
21.(1)4.(2) .
解析：（Ⅰ）当时，
，当且仅当，即时等号成立，
所以．
（Ⅱ）由题意得在上恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则在上单调递减，在上单调递增，
∴，
又，
，
解得，
所以实数的取值范围是．
22.解析：
（1）∵，
∴，
因为，所以，
当x变化时， 的变化情况如下表：
1 | |||||
0 | 0 | ||||
递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
由表可得当时， 有极大值，且极大值为，
当时， 有极小值，且极小值为.
（2）由（1）得。
∵，∴.
① 当时， 在上单调递增，在上递减
又因为
所以在（0,1）和（1,2）上各有一个零点，
所以上有两个零点。
② 当，即时， 在上单调递增，在上递减，在上递增，
又因为
所以在上有且只有一个零点，在上没有零点，
所以在上有且只有只有一个零点.
综上：
当时， 在上有两个零点；
当时， 在上有且只有一个零点。
