2020届安徽省肥东县高级中学高三1月调研考试数学（理）试题

2020届高三年级1月调研

理科数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。[

2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷   选择题（共60分）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)              

1.已知复数与为共轭复数，其中，为虚数单位，则

A. 1                   B.                 C.                          D.

2.已知集合，则

A.                 B.             C.                     D.

3.已知单位向量的夹角为，且，若向量m＝2-3，则|m|＝

A. 9               B. 10                 C. 3                          D.

4.下列说法正确的是

A. 若命题均为真命题，则命题为真命题

B. “若，则”的否命题是“若”

C. 在，“”是“”的充要条件

D. 命题“”的否定为“”

5.已知正项等比数列的前项和为，若，则

A.                      B.                   C.                       D.

6.已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是

A.  B.  C.        D.

7.已知程序框图如图，则输出i的值为　　

A. 7                     B. 9              C. 11                     D. 13

8.曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为

A.     B.     C.     D.

9.已知为实数，，若，则函数的单调递增区间为

A.                          B.                        C.             D.

10.定义在上的函数，且，则方程在区间上的所有实数根之和最接近下列哪个数

A.                B.             C.                          D.

11.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为

 A．                 B．                  C．            D．

12.是定义在上的奇函数，对，均有，已知当时， ，则下列结论正确的是（    ）

A. 的图象关于对称    B. 有最大值1

C. 在上有5个零点    D. 当时，

第II卷   非选择题（共90分）

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 

13.在中，已知，若，则周长的取值范围为__________．

14.曲线在点（0,0）处的切线方程为______________；

15.各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，,则_____.

16.已知且,则______。

三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)            

17. （本题12分）

在中，内角的对边分别为，已知．

求；

若，且面积，求的值．

18. （本题12分）

在中， .

(1) 求角的大小；

(2)若，垂足为，且，求面积的最小值.

19. （本题12分）

在中，内角的对边分别为，，三边成等比数列，且面积为1，在等差数列中，，公差为.

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足，设为数列的前项和，求的取值范围.

20. （本题10分）

某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域I）设计成半径为1km的扇形，中心角（）.为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域II）和休闲区（区域III），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形，其中点，分别在边和上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元.

（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求的最大值；

（2）试问：当为多少时，年总收入最大？

21. （本题12分）

已知函数.

(1)当时求函数的最小值；

(2)若函数在上恒成立求实数的取值范围.

22. （本题12分）

已知函数.

（1）若，求函数的极值；

（2）当 时，判断函数在区间上零点的个数.

参考答案

13.            14.             15.10           16.1

17.（1）；（2）

解析：（1）∵，

∴b=2a（cosCcos+sinCsin），可得：b=acosC+asinC，

由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinAsinC，

可得：sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinAsinC，

可得：cosA=sinA，可得：tanA=，

∵A∈（0，π），

∴A=

（2）∵，且△ABC面积=bcsinA=2c×c×，

∴解得：c=2，b=4，

∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=48+4-2××2×=28，解得：a=2

18.（1）（2）

解析：（1）由，两边平方，

即，得到，即。          

所以 .                                   

（2）在直角中， ，

在直角中， ，        

又，所以，

所以 ，  

由得， ，故，

当且仅当时， ，从而 .  

19.（1），（2）

解析：（1）∵，，，

∴，.

（2）∵，

∴

∵是关于n的增函数，

∴.

20.（1）（2）

解析：（1）∵，，，所以与全等.

所以，观赏区的面积为

，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求，即，结合可知，则的最大值为.

（2）种植区的面积为，

正方形面积为，

设年总收入为万元，则

，

其中，求导可得.

当时，，递增；当时，，递增.

所以当时，取得最大值，此时年总收入最大.

21.(1)4.(2) .

解析：（Ⅰ）当时，

，当且仅当，即时等号成立，

所以．

（Ⅱ）由题意得在上恒成立，

即在上恒成立，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

设，则在上单调递减，在上单调递增，

∴，

又，

，

解得，

所以实数的取值范围是．

22.解析：

（1）∵，

∴，

因为，所以，

当x变化时， 的变化情况如下表：

由表可得当时， 有极大值，且极大值为，

当时， 有极小值，且极小值为.

（2）由（1）得。

∵，∴.

① 当时， 在上单调递增，在上递减

又因为

所以在（0,1）和（1,2）上各有一个零点，

所以上有两个零点。   

② 当，即时， 在上单调递增，在上递减，在上递增，

又因为

所以在上有且只有一个零点，在上没有零点，

所以在上有且只有只有一个零点.

综上：

当时， 在上有两个零点；

当时， 在上有且只有一个零点。