2020届安徽省肥东县高级中学高三3月线上调研考试数学（理）试题
展开2020届安徽省肥东县高级中学高三3月线上调研考试
理科数学试题
全卷满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学生号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡指定的位置，书写要工整清晰。
3．考试结束后，5分钟内将答题卡拍照上传到考试群中。
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.已知全集， ，则
A. B. C. D.
2.已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
A. B. C. D.
4.已知某口袋中有3个白球和个黑球（），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是．若，则= ( )
A. B. 1 C. D. 2
5.设函数为偶函数，且当时，当时，则（ ）
A. B. C. D. 2
6.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.函数的图象向左平移（）个单位后关于对称，且两相邻对称中心相距，则函数在上的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8.抛物线（）的焦点为，其准线经过双曲线 的左焦点，点为这两条曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
9.已知数列的前项和为，且，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.函数的图象大致为
11.若函数的图象在x＝1处的切线与圆x2＋y2＝1相切，则a＋b的最大值是( )
A. 4 B. 2 C. 2 D.
12.将余弦函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若关于的方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第II卷 非选择题（共90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.的展开式中的系数为__________．
14.函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为______。
15.将正整数12分解成两个正整数的乘积有， ， 三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如.数列的前100项和为__________．
16.已知在直三棱柱中， 为等腰直角三角形， ， ，棱的中点为，棱的中点为，平面与平面的交线与所成角的正切值为，则三棱柱外接球的半径为__________．
三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
（一）必考题：60分。
17. （本题满分12分）已知中，内角所对的边分别为，其中，
（1）若，求的值；
（2）若边上的中线长为，求的面积.
18. （本题满分12分）四棱锥中， ∥， ，
， 为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求与平面所成角的余弦值.
19. （本题满分12分）“微信运动”已成为当下热门的运动方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
步数 性别 | 0-2000 | 2001-5000 | 5001-8000 | 8001-10000 | >10000 |
男 | 1 | 2 | 3 | 6 | 8 |
女 | 0 | 2 | 10 | 6 | 2 |
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
附：
（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
| 积极型 | 懈怠型 | 总计 |
男 |
|
|
|
女 |
|
|
|
总计 |
|
|
|
（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有人，超过10000步的有人，设，求的分布列及数学期望.
20. （本题满分12分）已知， 分别是椭圆： （）的左、右焦点，离心率为， ， 分别是椭圆的上、下顶点， ．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作直线与交于， 两点，求三角形面积的最大值（是坐标原点）．
21. （本题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）若在上是减函数，求实数的取值范围.
（Ⅱ）若的最大值为，求实数的值.
（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. （本题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
已知直线的参数方程为为参数)．以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系, 圆的极坐标方程为.
（Ⅰ）求直线与圆的普通方程；
（Ⅱ）若直线分圆所得的弧长之比为，求实数的值．
23. （本题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】
已知函数,
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若不等式的解集为， ，且满足，求实数的取值范围.
参考答案
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | B | D | B | B | B | B | B | D | B | D | D | A |
13.9 14. 15. 16.
17.(1) (2)
解：（1）依题意， ，
故，所以，
所以，
即，
即，因为，所以，故，
可得；
（2）记边上的中线为CD，故，
所以，
结合（1）可知，解得，
所以的面积.
18.解：（1）设为的中点，连接为的中点， ，
则，
又， ，从而，
面 ，
面 面， 面面 .
（2）设为的中点,连接,则平行且等于 ,
∥， ∥,不难得出面（ ）,
面面, 在面射影为， 的大小为与面改成角的大小,设，则， ,即与改成角的余弦值为.
19.
解：（1）
| 积极型 | 懈怠型 | 总计 |
男 | 14 | 6 | 20 |
女 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 22 | 18 | 40 |
故没有95%以上的吧我认为二者有关
（2）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为，超过10000步的概率为，且当或时， ；
当或时， ；
当或时， ；
即的分布列为
0 | 1 | 2 | |
可得期望
20.（1）；（2）．
解：（1）由题知， ， ， ，
∴，∴，①
∵，∴，∴，②
①②联立解得， ，∴椭圆的方程为．
（2）设， ，显然直线斜率存在，设其方程为，
代入，整理得，
则，即， ， ，
，
所以到的距离，
所以三角形面积 ，
设，所以，
当且仅当，即，即，即时取等号，
所以面积的最大值为．
21.(Ⅰ) ；(Ⅱ) .
解：
（Ⅰ）在恒成立；
在恒成立；
设，则，由得： ；
在上为增函数， 有最小值. ∴；
（Ⅱ）注意到，又的最大值为，则
；
下面证明： 时， ，即,
；
设；
.
在上为增函数；
在上为减函数；
有最大值；
∴适合题意.
22.(Ⅰ) ；(Ⅱ) 或.
解：
（Ⅰ）由题意知： ，
；
（Ⅱ）；
直线分圆所得的弧长之比为则弧所对的圆心角为90°，可得弦长为；
；
或.
23.（Ⅰ）；（Ⅱ） .
解析：
（Ⅰ）可化为
，或，或；
，或，或；
不等式的解集为；
（Ⅱ）易知；
所以，所以在恒成立；
在恒成立；
在恒成立；
