福建省宁德市2020届高三5月质量检查试题-文科数学（含答案）

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2020届宁德市普通高中毕业班质量检查试卷文 科 数 学本试卷共 5 页。满分 150 分。注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A．   B．   C．      D．2．已知是虚数单位，复数，则的共轭复数A．       B．      C．     D．3．已知向量的夹角为，，，则A．          B．           C．         D．4．设x,y满足约束条件则的最大值为A．                         B．             C．                          D．5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是
      某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A．                        B．  C．                        D．  6．已知，，则A．        B．        C．      D．7．干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所对应干支的程序框图．例如公元1988年，即输入，执行该程序框图，运行相应的程序，输出，从干支表中查出对应的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元年，则该年所对应的干支为A. 己巳      B. 庚午 C. 壬戌     D. 癸亥  8．在四面体中，， ，则该四面体的外 接球的半径为A．           B．         C．          D．9．已知函数，，，，则A．                    B．  C．                    D．10．已知函数的最小正周期为，且图象向右平移个单位后得到的函数为偶函数，则的图象A．关于点对称           B．关于直线对称C．在单调递增         D．在单调递减11．已知可导函数的定义域为，且满足，，则对任意的，“”是“”的A．充分不必要条件             B．必要不充分条件   C．充要条件                   D．既不充分也不必要条件12．已知双曲线的两个顶点分别为，若的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是 A． B．            C．       D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若抛物线经过点，，则该抛物线的标准方程为_________．14．甲、乙两位同学玩“锤子、剪刀、布”游戏，两人各随机出锤子、剪刀、布中的一种．若    出相同则为平局；若出不同，则锤子胜剪刀、剪刀胜布、布胜锤子．玩一次该游戏， 甲同学不输的概率为_________．    15．在平面四边形中，，，，则_________．16．已知函数若存在实数，使得方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．(12分)已知公差不为的等差数列中，成等比数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．       18．(12分)、两同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了8次测验,成绩（单位：分）记录如下：A   71   62   72   76   63   70   85   83B   73   84   75   73   7    8    76   85同学的成绩不慎被墨迹污染（,   分别用m，n表示）.    （1）用茎叶图表示这两组数据，现从、两同学中选派一人去参加数学竞赛，你认为选派谁更好？请说明理由（不用计算）；（2）若同学的平均分为78，方差，求m，n.   19．(12分)如图，在四棱柱中，四边形为平行四边形，,，且点在底面上的投影恰为的中点．（1）棱上存在一点，使得平面，试确定点的位置，说明理由；（2）求三棱锥的体积．        20．(12分)已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的一动点，面积的最大值为2．（1）求的方程；（2）过且与x轴不重合的直线交于两点，点，证明：直线关于轴对称．              21．(12分)已知在点处的切线方程为．（1）求实数的值；（2）当时，证明：．      （二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为．（1）求点的直角坐标和直线的直角坐标方程；（2）把曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线，为上动点，求中点到直线距离的最小值．   23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数, 若存在实数使得成立.（1）求的值；（2）若，，求的最小值.2020届宁德市普通高中毕业班质量检查试卷（5.4）  数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考．如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则．2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4.解答题只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共12小题，每小题5分，共60分．1. D  2.B   3.B   4. C   5.B    6.D    7.A    8. C   9.D    10.C    11.C   12.A    二、填空题 ：本题考查基础知识和基本运算．本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．  14．   15．   16． 三、解答题：本大题 共6小题，共70分．17. 本小题主要考查等差等比数列的通项公式、裂项求和法等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，化归与转化思想等．满分12分．解：（1）设数列的公差为，因为成等比数列，所以，即,得，  ①……………………………………………2分又，所以,得， ②……………………………………4分联立①②，解得，…………………………………………………………5分所以.……………………………………………………………………………6分（2）…………………………………………………………………7分               ……………………………………………………………………8分               …………………………………………………………………9分    ………………………………………………10分        ……………………………………………………………………………12分本小题主要考查了茎叶图、平均数、方差等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分12分. 解:（1）、两同学参加了8次测验,成绩（单位：分）茎叶图如下：                   A           B                       3   2    6 0   6   2   1       7    3  5  3  m  6            3   5    8    4  n  5  ……………………………………………………………4分由茎叶图可知，B同学的平均成绩高于A同学的平均成绩，所以选派B同学参加数学竞赛更好.…………………………………………………6分（2）因为…………………7分 所以①………………………………………………………………………8分因为………………………9分所以②…………………………………………………………10分联立①②解得,…………………………………………………………12分本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解:（1）当点为棱的中点时，符合题目要求，下面给出证明.……………………1分分别连结，，.因为在底面上的投影恰为的中点，所以平面，又平面，所以.………………………………………………2分在中，,故为等边三角形，又点为棱的中点，所以，……………………………………………3分又，，平面,…………………………4分所以平面,…………………………………………………………………5分又由平行四边形得，所以平面，点即为所求.……………………………………………6分（2）…………………………………………………………………7分因为所以到平面的距离即为到平面的距离………………………8分过作于点又平面，所以又所以平面………………………………………………………………9分   ……………………………………………………………10分又                ……………………………………………………………………………11分所以                           ………………………………………………………………………………12分解法二:（1）因为在底面上的投影恰为的中点，所以平面，又平面，所以.…………………………………………………2分连接，在中，由余弦定理得，即解得所以即，当点为棱的中点时，为的中位线，则又，，平面,……………………………4分所以平面,……………………………………………………………………5分点即为所求.………………………………………………………………………………6分（2）同解法一20. 本小题主要考查直线、椭圆，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．满分12分．解法一：（1）因为椭圆的离心率为，所以，即，又，所以，……………………………2分因为面积的最大值为2，所以，即，又因为，所以，，………………………………………………… 4分故椭圆的方程为…………………………………………………………… 5分（2）由（1）得，由题知设直线的方程为，代入消去整理得：，…………………………………………………………………6分设，则，………………………………………………8分记直线的斜率分别为，则……………11分所以，因此直线与直线关于轴对称．………………………………12分解法二:（1）同解法一（2）由（1）得，若直线与轴垂直，由椭圆的对称性易得直线与直线关于轴对称.若直线与轴不垂直，设直线的方程为，代入消去整理得：，……………………6分得，……………………………………7分 设，则，………………………………………………8分记直线的斜率分别为，则………………………………………………………………11分所以，因此直线与直线关于轴对称.………………………………12分 本小题主要考查函数的单调性、最值、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力运算求解能力、创新意识等，考查划归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．满分 12 分．解法一：（1），…………………………………1分因为在点处的切线方程为所以…………………………………………………………………3分即解得…………………………………………………………………………5分（2）由（1）得，设，即，则……………………………………………………6分.……………………7分设，则在单调递增，…………………………8分且所以存在唯一，使得，即.…………9分当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；，………………………………………………………………10分设，则当时，，单调递减，所以，所以，即，所以，当时，．……………………………………………12分解法二：（1）同解法一.（2）由（1）得，① 先证明：当时，成立．因为时，．所以当时，成立．……………………………………………………7分② 再证明：当时，，即证成立．设，则，…………………………8分当时，，单调递减；………………………………………9分当时，，单调递增；……………………………………………10分所以，………………………………………11分所以当时，成立．综上，当时，．……………………………………………12分22．选修；坐标系与参数方程本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程的应用，意在考查考生综合运用知识和运算求解能力． 满分10分．解法一：（1）点的极坐标为，直线的极坐标方程为，由，………………………………………………………………………………2分得点的直角坐标为，…………………………………………………………………3分直线的直角坐标方程为．……………………………………………………4分（2）设，则由条件知点在曲线上，所以………………………………6分，即，……………………………………………………………7分因为为中点，所以，…………………………………………8分则点到直线距离为，…………………………9分当时，取得最小值，故中点到直线距离的最小值为．………………………………………………………………………………………10分解法二：（1）同解法一（2）（2）设，则由条件知点在曲线上，…………………………6分，即，…………………………………………………………7分则点到直线的距离为，…………………………………………………8分点到直线距离为，当时，取得最小值，故点到直线距离的最小值为，……………………………………………………9分又因为点为中点，则点到直线距离的最小值为．………………………10分23．选修：不等式选讲本小题考查含绝对值、参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想等． 满分10分．解法一：（1）存在实数使得成立等价于存在实数使得成立，而，…………………………………………………2分故存在实数使得成立等价于，………………………………………3分解得，……………………………………………………………………………4分又因为，所以……………………………………………………………………5分（2）由（1）得，故， 所以，………………………………………………………………………… 6分由，故，所以，，……………………………………………………………………… 7分，……………… 9分当且仅当时取最小值.……………………………………………………10分解法二：（1）同解法一；（2）由，得，即，……………………………………………………………………………… 7分由，所以……………………………9分当且仅当时取最小值. ……………………………………………………10分