东北三省四市教研联合体2020届高三模拟考试试卷（二）数学（理）试题 Word版含解析

这是一份东北三省四市教研联合体2020届高三模拟考试试卷（二）数学（理）试题 Word版含解析，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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2020年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（二）数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合的交运算，即可容易求得结果.
【详解】
故可得
故选：D.
【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.
2.已知复数的实部为3，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的乘法运算化简复数，由其实部即可求得参数.
【详解】，
∴.
故选：A.
【点睛】本题考查复数的乘法运算，实部和虚部的辨识，属基础题.
3.已知双曲线：则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为( )
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出双曲线的焦点的坐标和渐近线方程，根据双曲线的和渐近线的对称性，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】由双曲线的方程可知：，因此，
所以焦点的坐标为：，渐近线方程为：，
根据双曲线和渐近线的对称性，不妨设直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得：.
故选：B
【点睛】本题考查了点到直线距离公式的应用，考查了双曲线的渐近线方程和焦点的求法，考查了数学运算能力.
4.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成.其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形.如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影.其正六边形的边长计算方法如下：，，，……，，其中，.根据每层边长间的规律.建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料.所用材料中.横向梁所用木料与正六边形的周长有关.某一风雨桥亭、塔共5层，若，.则这五层正六边形的周长总和为( )

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列的定义，结合已知可以判断数列是等差数列，最后利用等差数列前项和公式进行求解即可.
【详解】由已知得：，，
因此数列是以为首项，公差为的等差数列，设数列前5项和为，
因此有，
所以这五层正六边形的周长总和为.
故选：C
【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了等差数列的定义，考查了等差数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.
5.已知直线和平面，有如下四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中真命题的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据面面垂直，线面垂直以及线面平行的判定，即可容易判断.
【详解】①若，则一定有，故①正确；
②若，则，又因为，故可得，故②正确；
③若，故可得//，又因为，故可得，故③正确；
④若，则或，故④错误；
综上所述，正确的有①②③.
故选：C
【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直的判定以及线面平行的判定，属综合基础题.
6.已知正方体，为底面的中心，，分别为棱，的中点.则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，然后利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，

所以有，
因此，，
设异面直线与所成角为，
所以.
故选：C
【点睛】本题考查了利用空间向量夹角公式求异面直线所成的角，考查了数学运算能力.
7.已知函数的图象为C，为了得到关于原点对称的图象，只要把C上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
【答案】A
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简，再根据三角函数的奇偶性，即可求得结果.
【详解】由为奇函数，
得
当时，.
故为得到关于原点对称的图像，只要把向左平移个单位即可.
故选：A
【点睛】本题考查辅助角公式，函数图像的平移，以及余弦型函数的奇偶性，属综合中档题.
8.有一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，表1为各个学段每个内容主题所包含的条目数.下图是将下表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图.由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是( )
学段
内容主题
第一学段
（1—3年级）
第二学段
（4—6年级）
第三学段
（7—9年级）
合计
数与代数
21
28
49
98
图形与几何
18
25
87
130
统计与概率
3
8
11
22
综合与实践
3
4
3
10
合计
45
65
150
260


A. 除了“综合与实践”外，其他三个内容领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的3.5倍
B. 在所有内容领域中，“图形与几何”内容最多，占.“综合与实践”内容最少，约占
C. 第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多
D. “数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少.“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长
【答案】D
【解析】
【分析】
利用表格计算条目数的有关数据，从等高条形看比例变化趋势，逐个选项进行判断即可.
【详解】A：根据表格可知：除了“综合与实践”外，其他三个内容领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的倍，故本选项说法正确；
B：根据表格可知：“图形与几何”内容最多，占，“综合与实践”内容最少，约占，故本选项说法正确；
C：根据表格可知：第一、二学段“数与代数”内容分别是，数目最多，第三学段“图形与几何”内容为87，数目最多，故本选项说法正确；
D：“数与代数”内容条目数在每一学段的内容条目数分别为：，“数与代数”内容条目数在每一学段的百分比分别为：
，因此“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少这种说法正确；
“图形与几何”内容条目数在每一学段的百分比分别为：
， 因此“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长这种说法是错误的.
故选：D
【点睛】本题考查了分析图表能力，考查了数据分析能力，考查了数学运算能力.
9.定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断函数在上的单调性，再根据对数的运算性质、指数的运算性质、对数函数的单调性，结合偶函数的性质进行求解即可.
【详解】因为对任意的，，有，
所以函数在上单调递减.
因为是偶函数，所以.
因为，
函数在上单调递减，
所以有成立，即成立.
故选：D
【点睛】本题考查了利用抽象函数的单调性和奇偶性判断函数值大小问题，考查了对数函数单调性的应用，考查了对数和指数的运算性质，考查了数学运算能力.
10.给定两个长度为2的平面向量和，它们的夹角为120°.如图所示.点在以为圆心2为半径的圆弧上运动.则的最小值为( )

A. B. C. 0 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
设，以为平面内一组基底，根据平面向量的加法的几何意义、平面向量数量积的定义和运算性质，结合辅助角公式、余弦函数的单调性进行求解即可.
【详解】设，
因此有





，
因为，所以，所以当时，即，有最小值，最小值为.
故选：B
【点睛】本题考查了平面向量数量积最小值问题，考查了平面向量基本定理的应用，考查了平面向量的定义和运算性质，考查了辅助角公式和余弦函数的单调性，考查了数学运算能力.
11.若数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用累和法求出数列的通项公式，再分类讨论，根据数列的单调性和绝对值的性质进行求解即可.
【详解】当时，，
于是有：，
所以，显然也适合，
因此数列的通项公式为：.
当为奇数时，，此时数列的奇数项数列是单调递增函数；
当为偶数时，，此时数列的偶数项数列是单调递增函数，要想使不等式成立的有且只有三项，只需有：
.
故选：A
【点睛】本题考查了数列累和法的应用，考查了数列的单调性，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力和分析能力.
12.设椭圆的左右焦点为，焦距为，过点的直线与椭圆交于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，求得，结合余弦定理，即可求得的齐次式，据此即可求得结果.
【详解】根据题意，作图如下：

由得， ，
由
即，
整理得，
则，
得
故选：C.
【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及椭圆的定义，属中档题.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题.
13.若，满足约束条件，则的最大值是______.
【答案】8
【解析】
【分析】
在平面直角坐标系内，画出约束条件所表示的可行解域，在可行解域内平移直线，找到一点使得直线在纵轴上的截距最大，把点的坐标代入目标函数中即可.
【详解】约束条件所示的可行解域如下图所示：

在可行解域内平移直线，当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最大，点的坐标是方程组的解，解得，所以的最大值是
.
故答案为：8
【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想和数学运算能力.
14.甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为______.
【答案】0.976
【解析】
【分析】
根据对立事件的概率公式进行求解即可.
【详解】设事件：三人每人投篮一次，至少一人命中，
则该事件的对立事件是：三人每人投篮一次，一个人也没有命中，
因此,
所以.
故答案为：0.976
【点睛】本题考查了对立事件概率的应用，考查了数学运算能力.
15.数列是等差数列，前项和为，，，且，则实数______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式，结合等差数列的前项和公式进行求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，，
因此.
.
故答案为：
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式的应用，考查了数学运算能力.
16.在四棱锥中，底面为正方形，，为等边三角形，线段的中点为，若，则此四棱锥的外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
设四棱锥的外接球的球心为，底面的中心为，根据的相对位置分类讨论，结合锐角三角函数、勾股定理、球和正方形以及矩形的几何性质、球的表面积公式进行求解即可.
【详解】设四棱锥的外接球的球心为，其半径为，底面的中心为.
当位于点处时，如下图所示：


取的中点，连接，，因为底面为正方形，，为等边三角形，所以，，而，
因为，所以，
设正方形的对角线的交点，过做平面，
则由题意可知垂足在上，显然有，
在直角三角形中，，
，所以
过过做，因此四边形是矩形，
所以有，
正方形中，，
由可知：，
在直角三角形中，得
，
由解得：，不符合题意，舍去；
当位于点处时，如上图所示：
由可知：，
在直角三角形中，得
，
由解得：，
所以此四棱锥的外接球的表面积为.
故答案：
【点睛】本题考查了四棱锥外接球问题，考查了球的表面积公式，考查了空间想象能力和数学运算能力.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题
17.在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若为锐角三角形，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）9.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据正弦定理化简已知等式，再结合余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可；
（Ⅱ）根据两角和的正切公式，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】（Ⅰ）在中，
由正弦定理，得，
故，，
故，则；
（Ⅱ）由得，

，由均值不等式得，
，当且仅当时，等号成立.
解得
的最小值为9.
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了基本不等式的应用，考查了两角和的正切公式的应用，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.
18.随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注.一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果.下表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据.

成绩优秀
成绩不够优秀
总计
选修生涯规划课
15
10
25
不选修生涯规划课
6
19
25
总计
21
29
50

（Ⅰ）根据列联表运用独立性检验思想方法分析：能否有的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由；
（Ⅱ）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生，求抽到成绩不够优秀的学生人数的分布列和数学期望（将频率当作概率计算）.
参考附表：

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

参考公式，其中.
【答案】（Ⅰ）有把握，理由见解析；（Ⅱ）分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题中所给的公式求出的值，然后根据参考附表进行判断即可；
（Ⅱ）由题意可以求出在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率，成绩不优秀的概率，可以判断可取值为0，1，2，3，根据二项分布的性质进行求解即可.
【详解】（Ⅰ）由题意知，的观测值.
所以有的把握认为“学生的成绩优秀与是否选修生涯规划课有关”.
（Ⅱ）由题意知在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为，成绩不优秀的概率为，
可取值为0，1，2，3.




所以的分布列为

0
1
2
3







，.
【点睛】本题考查了的计算，考查了二项分布的性质应用，考查了离散型随机变量分布列和数学期望，考查了数学运算能力.
19.四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为的中点，为的中点，平面底面.

（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若与底面所成的角为，求二面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据线段中点的性质、平行四边形形的判定定理和性质定理，结合面面垂直的性质定理和判定定理、平行线的性质进行证明即可；
（Ⅱ）连结，根据等腰三角形的性质，结合面面垂直的性质定理可以证明出底面，这样可以建立以，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（Ⅰ）
四边形是平行四边形
.
又，.
又面面，面面，
面
面
且面
平面平面.
（Ⅱ）连结，，为中点，
又平面，平面平面，
平面平面，
底面，
又，以，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，，取平面的法向量，，，
，，

，
设平面的法向量，
，令，
，.
设二面角的平面角为

又为钝角，，即二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查了证明面面垂直，考查了面面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查了利用空间向量夹角公式求二面角的平面角，考查了推理论证能力和数学运算能力.
20.已知点，为抛物线上任意一点，且为的中点.设动点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线方程；
（Ⅱ）关于的对称点为.是否存在斜率为的直线交曲线于，两点，使得为以为底边的等腰三角形？若存在，请求出的面积；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设，，根据中点坐标公式，结合为抛物线上任意一点进行求解即可；
（Ⅱ）设出直线的点斜式方程，与曲线的方程联立，消元，利用等腰三角形的性质，结合一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、三角形面积公式进行求解即可.
【详解】（Ⅰ）设，
是的中点，则
在上


，故曲线的方程为.
（Ⅱ）由题意得，设：，，
将代入得（*）

的中点
，，符合，存在
（*）化为
,

.
【点睛】本题考查了求曲线的方程，考查了直线与抛物线的位置关系的应用，考查了弦长公式，考查了等腰三角形的性质，考查了数学运算能力.
21.已知函数，.
（Ⅰ）讨论函数在上的单调性；
（Ⅱ）判断当时，与的图象公切线的条数，并说明理由.
【答案】（Ⅰ）当时，函数在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）两条，理由见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）对函数进行求导，然后分类讨论，根据导函数的正负性求出函数的单调区间；
（Ⅱ）利用导数的几何意义求出与的图象的切线，将两个切线方程联立，消元得到一个方程，根据方程解的个数就能确定公切线的条数，构造新函数，利用新函数的导数，结合零点存在原理进行求解即可.
【详解】（I），
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，由得：；由得：
所以，函数上单调递减，函数在上单调递增.
（Ⅱ）函数在点处的切线方程为，
即，
函数在点处的切线方程为，即.
若与的图象有公切线.
则
由①得代入②整理得
③
由题意只须判断关于的方程在上解的个数
令

令，解得






0


单调递减
极小值
单调递增







且图象在上连续不断
方程在及上各有一个根
即与的图象有两条公切线.
【点睛】本题考查了利用导数研究研究函数的单调区间问题，考查了利用导数研究两函数图象公切线问题，考查了分类讨论思想和数学运算能力.
（二）选考题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.
选修4—4坐标系与参数方程
22.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.
（Ⅰ）求曲线的参数方程与直线的普通方程；
（Ⅱ）设点为曲线上的动点，点和点为直线上的点，且.求面积的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（为参数），；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先利用极坐标方程与直角坐标方程互化公式，把曲线的极坐标方程化成直角坐标方程，然后再判断曲线的类型，写出它的参数方程；利用代入消元法把直线的参数方程化为普通方程即可.
（Ⅱ）根据曲线的参数方程设出点的坐标，然后结合点到直线的距离公式、三角形面积公式、辅助角公式进行求解即可.
【详解】（Ⅰ）由题意：


，该曲线为椭圆，
曲线的参数方程为（为参数）.
由直线的参数方程得代入
得，
直线的普通方程为.
（Ⅱ）设到直线的距离为



面积的取值范围是.
【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了参数方程与普通方程的互化，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.
选修4—5不等式选讲
23.已知函数，，．
（Ⅰ）当时，有，求实数的取值范围．
（Ⅱ）若不等式的解集为，正数，满足，求的最小值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
(I)根据不等式恒成立的等价不等式，可转化为求含两个绝对值的最值，利用绝对值的三角不等式求最值即可；
(II)由不等式的解集为可求出的值，代入并用表示，再把代入利用基本不等式求出最小值.
【详解】解：（Ⅰ）由题意得：在上恒成立，
在上恒成立．
，
又，
当且仅当，即时等号成立．
，即．
（Ⅱ）令，，
若时，解集为，不合题意；
若时，，，又，
，综上所述：，
，
，解得，，
，当且仅当，即时等号成立，
此时．当，时，．
【点睛】本题考查了绝对值的三角不等式，以及利用基本不等式求最值，属于一般题.