2020届百校联考高考考前冲刺（一）数学（文）试题（解析版）

2020届百校联考高考考前冲刺（一）数学（文）试题  一、单选题1．已知集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】可以求出集合,然后进行交集的运算即可.【详解】解：，所以.故选：B.【点睛】本题考查描述法和列举法的定义，以及交集的运算.2．已知函数，则下列判断正确的是（   ）A．函数是奇函数，且在R上是增函数B．函数是偶函数，且在R上是增函数C．函数是奇函数，且在R上是减函数D．函数是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】求出的定义域，判断的奇偶性和单调性，进而可得解.【详解】的定义域为R，且；∴是奇函数；又和都是R上的增函数；是R上的增函数．故选A．【点睛】本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题．3．函数的定义域为(    )A．（2，3） B．（3，4] C．（2，4] D．（2，3）∪（3，4]【答案】D【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意，解得.所以函数的定义域为.故选：D【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.4．已知命题p：∀x>0，ex>x+1；命题q：∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1；下列命题为真命题的是(    )A．p∧q B． C． D．【答案】A【解析】分别判断命题和的真假性，由此确定正确选项.【详解】令，所以在上递增，所以，所以命题为真命题.当时，，所以命题为真命题.所以为真命题，A选项正确，其它选项不正确.故选：A【点睛】本小题主要考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.5．已知集合，若中只有一个元素，则实数的值为（    ）A．0 B．0或 C．0或2 D．2【答案】C【解析】根据题意转化为抛物线与轴只有一个交点，只需即可求解.【详解】若中只有一个元素，则只有一个实数满足，即抛物线与轴只有一个交点，∴，∴或2.故选：C【点睛】本题考查了集合元素的个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想，属于基础题.6．函数f（x）=（x2+2x）e2x的图象大致是(    )A． B．C． D．【答案】A【解析】利用导数判断出的单调区间，结合函数值的符号，选出正确选项.【详解】由于，而的判别式，所以开口向上且有两个根，不妨设，所以在上递增，在上递减.所以C,D选项不正确.当时，，所以B选项不正确.由此得出A选项正确.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数判断函数的图像，属于基础题.7．函数的最小值为（    ）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【解析】首先将函数化为，令，利用基本不等式求出，然后再利用对数函数的单调性即可求解.【详解】，令则，当且仅当时，取等号， 所以，即函数的最小值为1.故选：C【点睛】本题主要考查了利用对数型函数单调性求函数的最值，考查了基本不等式求最值，属于基础题.8．三个数的大小顺序为(    )A．b<c<a B．b<a<c C．c<a<b D．a<b<c【答案】D【解析】通过证明，由此得出三者的大小关系.【详解】，由于，，所以，所以，即.而，所以，所以，即，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，考查指数运算和对数运算，属于中档题.9．设命题：函数存在极值，：函数在上是增函数，则是的（    ）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对于，首先求出函数的导数，使在上有解，即在上有解，求出的范围；对于，根据对数函数的单调性可得，再根据充要条件的定义即可求解.【详解】：函数存在极值，对函数求导得.因为存在极值，所以在上有解，即方程在上有解，即，显然当时，无极值，不合题意，所以方程必有两个不等正根，所以，解得.：函数在上是增函数，则.故是的充要条件.故选：A【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义、根据函数的极值求参数、对数函数的单调性，综合性比较强，属于中档题.10．已知函数，且满足，则的最大值是（    ）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】C【解析】得函数的对称轴为1，然后通过平移知识解答问题．【详解】解：，函数的图象关于直线对称，将函数的图象向左平移1个单位，得函数的图象关于对称，则：是偶函数，设，，，解之得，因此，，求导数，得，令，得，，，当时，；当时，；当时，； 当时，，在区间、上是增函数，在区间、上是减函数，在和处有极大值，（2），．故选：C.【点睛】本题考查函数的对称性、奇偶性和平移，利用求导研究函数单调性，极值，最大值，最小值等知识．11．已知定义在上的偶函数的导函数为，函数满足：当时，，且．则不等式的解集是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】构造函数，由确定单调性，利用的单调性解题设不等式．【详解】设，则，当时，，即，在上是增函数，，又是偶函数，∴，∴不等式化为且，即且，∴．故选：B．【点睛】本题考查用导数解不等式，即由导数确定函数的单调性，由单调性解函数不等式．解题关键是构造新函数．12．已知函数，当时，恒有，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】将函数整理为，令，讨论或时的单调性，当时，恒成立，当时，根据单调性可得当时即，不满足题意，从而可得答案.【详解】.令，则.若，则当时，，为减函数，而，从而当时，，即，若，则当时，.为增函数，而，从而当时， 即，不合题意.综上可得，的取值范围为.故选：C【点睛】本题考查了导数在不等式恒成立中的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.  二、填空题13．设集合，若，则实数_________．【答案】5【解析】推导出a﹣2＝3或a＝3，再由集合中元素的互异性，能求出结果．【详解】解：∵集合，，∴或，当时，，成立；当时，，不满足集合中元素的互异性，不成立．∴实数故答案为：5．【点睛】本题考查实数值的求法，考查集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知命题：，，若命题为真命题，则实数的取值范围为_____.【答案】【解析】根据题意可转化为方程在上有解，解方程可得或，只需或，解不等式即可.【详解】当命题为真命题，即方程在上有解，由，得，显然∴或，∵，故或，∴，即实数的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查了由命题的真假性求参数的取值范围，同时考查了一元二次方程根的分布，属于基础题.15．已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为_________.【答案】【解析】根据奇偶性定义判断函数为偶函数，再判断出在上为减函数，，从而将不等式转化为，根据函数为偶函数可得，解不等式即可.【详解】函数的定义域关于原点对称，∵时，，， 同理：，∴为偶函数.易知在上为减函数，且，即，即，根据偶函数的性质知当时，得.故答案为：【点睛】本题考查了利用分段函数的性质解不等式，需掌握奇偶性定义以及指数型函数的单调性，属于中档题.16．已知函数，点为函数图象上一动点，则到直线距离的最小值为__________.【答案】【解析】求出与直线平行的直线与曲线的切点，再根据点到直线的距离求出即可．【详解】解：，，与直线平行的切线斜率，解得或（舍去），又，即切点，则切点到直线的距离为，到直线距离的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查用导数法求函数的切点问题，点到直线的距离公式． 三、解答题17．已知集合，集合.（1）当时，求；（2）若.求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，求出集合和集合，由此能求出； （2）求出集合，若，则，当时，，由，能求出实数的取值范围.【详解】解：（1）当时，，所以.（2）集合，若，则，，解得，若，则.，，解得，的取值范围为.【点睛】本题考查并集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查并集、集合与集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力．18．已知命题：函数在上单调递增；命题：函数在上单调递减.（Ⅰ）若是真命题，求实数的取值范围；（Ⅱ）若或为真命题，且为假命题，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据题意转化为在上恒成立，由二次函数的图像与性质即可求解. （Ⅱ）根据复合命题的真假性可得与一真一假，当真且假时，则，当假且真时，则，解不等式组即可求解.【详解】（Ⅰ）当命题为真命题时，函数在上单调递减，所以在上恒成立.所以在上单调递减，故，解得，所以是真命题，实数的取值范围为.（Ⅱ）命题为真命题时，函数在上单调递增，∴.因为或为真命题，且为假命题，所以与的真值相反.（ⅰ）当真且假时，有，此不等式无解.（ⅱ）当假且真时，有解得或.综上可得，实数的取值范围为.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用、根据命题的真假求参数的取值范围、简单逻辑连接词连接命题的真假判断，以及对数型函数的单调性判断，属于基础题.19．已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在上的值域；（Ⅱ）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）把代入，可得，令，求出其在上的值域，利用对数函数的单调性即可求解.（Ⅱ）根据对数函数的单调性可得在上单调递增，再利用二次函数的图像与性质可得解不等式组即可求解.【详解】（Ⅰ）当时，，此时函数的定义域为.因为函数的最小值为.最大值为，故函数在上的值域为；（Ⅱ）因为函数在上单调递减，故在上单调递增，则解得，综上所述，实数的取值范围.【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质，属于中档题.20．已知函数，若函数在上存在两个极值点，.（1）求实数的取值范围；（2）证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）根据条件，由得方程有两不等的正实数根，，求解得出答案； （2）结合韦达定理，将要证的目标转化为的式子，再根据（1）中求出的的范围去证明即可．【详解】解：（1），对函数求导得，函数在上存在两个极值点，，所以在上有两个解，即方程必有两个不等正根，则，解得，所以实数的取值范围为，（2）由题意知，由，得，即.【点睛】本题考查由函数极值点个数求参数范围，以及不等式的证明，还涉及一元二次方程的性质和韦达定理的应用，考查转化能力和计算能力．21．已知函数为奇函数，且的极小值为.为函数的导函数.（1）求和的值；（2）若关于的方程有三个不等的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】（1）由为奇函数可得，然后将代入中，求出的极小值，根据的极小值为，可求出，的值； （2）构造函数，将问题转化为与轴有三个交点的问题，根据的单调性可得，从而求出的取值范围．【详解】解：（1）因为是奇函数，所以恒成立，则，所以，所以，则，令，解得或，当时，，当时，，在单调递减，在单调递增，所以的极小值为，由，解得，所以，，（2）由（1）可知，，方程，即为，即方程有三个不等的实数根，设，只要使曲线有3个零点即可，设，或分别为的极值点，当和时，，在和上单调递增，当时，在上单调递减，所以，为极大值点，为极小值点.所以要使曲线与轴有3个交点，当且仅当，即，解得.即实数的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和利用导数研究函数的单调性与极值，考查了转化思想和函数思想．22．已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数的值；（2）若函数存在两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）直接根据切点处的导数值等于切线的斜率求解； （2）变形为方程有两个实数根；转化为直线与函数的图象有两个交点；分析函数的图象，从而求解．【详解】解：（1）因为，得所以.因为曲线在点处的切线方程为，所以，即，（2）存在两个零点，即方程有两个根，也即直线与函数的图像有两个交点，记，由，由或，故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，时，又直线过，斜率为，大致画出图象（如下图），观察图象知：当时，直线与的图象必有两个交点，当时直线与的图象只有一个交点，综上，函数存在两个零点，实数的取值范围为.【点睛】本题考查将方程分离成两部分，数形结合考查函数图象的交点个数问题是求解函数零点（方程根）的个数问题的一种常见方法.