2020届河北省邯郸市高三3月空中课堂备考检测数学（文）试题
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文科数学
同学们，在举国防控疫情期间，我们全民动员，同舟共济、共克时艰，显示了中华民族的伟大拼搏精神。作为高三学生，我们宅家备考，学会了人生的必修课——自律。岁月不蹉跎，未来才可期！努力充实丰盈自己，才能赢得胜利！
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
注意事项：
1．答题前，务必先将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．答题时使用0.5毫米黑色签字笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设复数，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若，则等于
A． B． C． D．
3．已知，则
A． B． C． D．
4．为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查100名高一学生，得到列联表如下：
| 选择物理 | 不选择物理 | 总计 |
男 | 35 | 20 | 55 |
女 | 15 | 30 | 45 |
总计 | 50 | 50 | 100 |
由此得出的正确结论是
A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“选择物理与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“选择物理与性别无关”
C．有的把握认为“选择物理与性别有关”
D．有的把握认为“选择物理与性别无关”
5．设变量，满足约束条件则的最小值为
A．2 B． C．4 D．
6．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算数和几何的纽带.图为五角形数的前4个，则第10个五角形数为
A．120
B．145
C．270
D．285
7．函数的部分图象大致为
A． B． C． D．
8．如图一，在中，，，为中点，，将沿翻折，得到直二面角，连接，是中点，连接，如图二，则下列结论正确的是
A． B． C．平面 D．平面
9．设，为正数，且，则的最小值为
A． B． C． D．
10．已知点为抛物线的焦点.过点的直线交抛物线于两点，交准线于点.若，，则为
A． B． C． D．
11．若点在函数的图象上，且．给出关于的如下命题
的最小正周期是 的对称轴为
其中真命题的个数是
A． B． C． D．
12．设，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知，，若，则_______.
14．三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后，前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游.如果三人均等可能的前往上述三个城市之一，则他们选择同一个城市的概率是_______.
15．锐角的内角的对边分别是，，，则=_______.
16．已知分别是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于的动点，若直线的斜率分别为，始终满足，其中，则的离心率为________.
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
数列是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列.
（1）证明：是数列中的一项；
（2）记为数列的前项和，求数列的前项和.
18．（12分）
如图，在四棱锥中，底面，， ，，点为的中点，平面交侧棱于点，且四边形为平行四边形.
（1）求证：平面平面；
（2）当时，求四棱锥的体积.
19．（12分）
某小型水库的管理部门为研究库区水量的变化情况，决定安排两个小组在同一年中各自独立的进行观察研究.其中一个小组研究水源涵养情况.他们通过观察入库的若干小溪和降雨量等因素，随机记录了天的日入库水量数据（单位:千），得到下面的柱状图（如图甲）.另一小组则研究由于放水、蒸发或渗漏造成的水量消失情况.他们通过观察与水库相连的特殊小池塘的水面下降情况来研究库区水的整体消失量，随机记录了天的库区日消失水量数据（单位:千），并将观测数据整理成频率分布直方图（如图乙）.
（1）据此估计这一年中日消失水量的平均值；
（2）以频率作为概率，试解决如下问题：
①分别估计日流入水量不少于千和日消失量不多于千的概率；
②试估计经过一年后，该水库的水量是增加了还是减少了，变化的量是多少？（一年按天计算）,说明理由.
20．（12分）
已知椭圆过点且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上存在三个不同的点，满足，求四边形的面积.
21．（12分）
已知函数有两个零点．
（1）求的取值范围；
（2）求证：.
（二）选考题：共10 分。请考生从第22、23 题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
22． [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，点是曲线：（为参数）上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将线段顺时针旋转得到，设点的轨迹为曲线．
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，点的坐标为，射线与曲线分别交于两点，求的面积．
23． [选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）当时，求的解集；
（2）若在上恒成立，求的取值范围。
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文科数学 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．答案：B
2．答案：C
3．答案： B
4．答案： A
5．答案：D
6．答案：B
7．答案: A
8．答案：C
9．答案：D
10．答案: C
11．答案：C
12．答案：B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．答案：
14．答案：
15．答案：
16．答案：
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
数列是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列.
（1）证明：是数列中的一项；
（2）记为数列的前项和，求数列的前项和.
17．解：
（1）由题设数列的公差为，则
.......3分
所以.................5分
其中，所以是数列中的一项...........................6分
（2）由（1）可得，............................7分
所以...........................9分
所以
..............................................12分
18．（12分）
如图，在四棱锥中，底面，， ，，点为的中点，平面交侧棱于点，且四边形为平行四边形.
（1）求证：平面平面；
（2）当时，求四棱锥的体积.
18．解：
（1）证明：为平行四边形.
，
点为的中点
，
，，
......................................................3分
又由底面，得
，平面
平面
又平面，
平面平面........................................6分
（2）解：由（1）可知
，即，
....................7分
又由题可知，
又由底面，平面，可得，
平面，
又
点到平面的距离为，...........................9分
..................................12分
19．（12分）
某小型水库的管理部门为研究库区水量的变化情况，决定安排两个小组在同一年中各自独立的进行观察研究.其中一个小组研究水源涵养情况.他们通过观察入库的若干小溪和降雨量等因素，随机记录了天的日入库水量数据（单位:千），得到下面的柱状图（如图甲）.另一小组则研究由于放水、蒸发或渗漏造成的水量消失情况.他们通过观察与水库相连的特殊小池塘的水面下降情况来研究库区水的整体消失量，随机记录了天的库区日消失水量数据（单位:千），并将观测数据整理成频率分布直方图（如图乙）.
（1）据此估计这一年中日消失水量的平均值；
（2）以频率作为概率，试解决如下问题：
①分别估计日流入水量不少于千和日消失量不多于千的概率；
②试估计经过一年后，该水库的水量是增加了还是减少了，变化的量是多少？（一年按天计算）,说明理由.
19．解：
（1）根据图乙，日消失水量的平均值为
（千）.............3分
（2）①根据图甲可得，日流入水量不少于千的概率为
.............5分
日消失水量不多于千的概率为
................7分
②该湖区日进水量的平均值为
（千）
一年后水库的水减少了.……9分
减少的量为………12分
20．（12分）
已知椭圆过点且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上存在三个不同的点，满足，求四边形的面积.
20．解：
（1）由题意，得
解得 ，
故，椭圆方程为 ………………………………4分
（2），由向量加法的意义得四边形为平行四边形.
设A，B所在直线，
①若直线垂直于轴，易得
或者
此时，四边形为菱形
………………………………5分
②若直线不垂直于轴，设，
由得
得， ………………………………7分
，
代入椭圆方程，
化简得 ………………………………9分
验证，
∴
点到直线的距离为
综上，四边形的面积始终为12. …………………………………………12分
21．（12分）
已知函数有两个零点．
（1）求的取值范围；
（2）求证：.
21．解：
（1）由题 ……………………………………1分
当时，，单调递增，不会有两个零点，
所以，
令，解得
且当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以………………………………………………4分
因为有两个零点，则必须即，
解得，且知当时，当时，
所以有两个零点时 ………………………………………………6分
（2）证明：由（1）知，且，所以 ………7分
设，则可化为，
设
则
在上单调递增。
命题得证 …………12分
（二）选考题：共10 分。请考生从第22、23 题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
22． [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，点是曲线：（为参数）上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将线段顺时针旋转得到，设点的轨迹为曲线．
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，点的坐标为，射线与曲线分别交于两点，求的面积．
22．解：
（1）由题意可得的直角坐标方程为，
其极坐标方程为........................2分
设点的极坐标为，则对应的点的极坐标为....................3分
又点在上，所以
即的极坐标方程为 ...................................................5分
（2）由题意知点到射线的距离为，.......................7分
由（1）知的极坐标方程为，
， ..........................9分
所以 ..................................................10分
23． [选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）当时，求的解集；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
23．解：
（1）当时，．
当时，，此时的解集为；...................2分
当时，，此时的解集为；.......3分
当时，，此时的解集为.............................4分
综上所述的解集为................................................................................................5分
（2）由（1）可知当时，在内恒成立；..............................................6分
当时，在内恒成立；..............7分
当时，在内，不满足在上恒成立的条件..............................................................................................................................9分
综上所述.........................................................................................................................................10分
