2020届河北省张家口市高三12月阶段检测数学（文）试题（解析版）

2020届河北省张家口市高三12月阶段检测数学（文）试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】首先解不等式确定集合，再由交集定义求得交集．

【详解】

由题意，，∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查集合的交集运算，求解时需选确定集合中的元素，然后才可以求交集运算．

2．在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】由等差数列通项公式表示出再由等比数列性质可求得．

【详解】

由题意，，

∵，，成等比数列，

∴，即，解得．

故选：D．

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质．属于基础题．

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由（）＋（）＝，用诱导公式求解．

【详解】

．

故选：B．

【点睛】

本题考查诱导公式，解题时需分析“已知角”和“未知角”的关系，确定选用什么公式．

4．若直线（，）过点，则的最小值等于（    ）

A．9 B．8 C． D．

【答案】A

【解析】把代入直线方程得满足的等量关系，用“1”的代换把凑配出基本不等式中的定值，然后用基本不等式求最小值．

【详解】

∵直线（，）过点，∴，

∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为9．

故选：A．

【点睛】

本题考查基本不等式求最值，解题时要注意基本不等式求最值的条件：一正二定三相等，常常需要凑配出定值，“1”的代换是常用凑配方法．

5．已知，，，，则下列命题中必然成立的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【解析】由不等式的性质判断每一个命题是否正确，可举反例不等式不成立．

【详解】

若，则，A错；满足，但是，B错；若，则，∴，C正确；，，但，D错。

故选：C。

【点睛】

本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质成立的条件是解题基础．对不一定成立的不等式可通过举反例说明．

6．已知点为双曲线：上的动点，点，点.若，则（    ）

A．27 B．3 C．3或27 D．9或21

【答案】A

【解析】求出双曲线的半焦距，说明是双曲线的焦点，根据双曲线的定义计算，但要由已知条件确定点是否可能在两支上．

【详解】

由题意，则，∴是双曲线的焦点，

又，∴点在双曲线的左支上，

∴．

故选：A．

【点睛】

本题考查双曲线的定义，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离时，可用双曲线的定义求解．注意双曲线的定义是，解题时如不能确定双曲线上的点在哪支上，则两支都有可能．

7．已知菱形的边长为2，，点满足，则（    ）

A． B． C．6 D．

【答案】C

【解析】把也用表示，后求数量积．

【详解】

∵是菱形，∴＝，

∴

．

故选：C．

【点睛】

本题考查平面向量的数量积，解题时选取为基底，其他向量用基底表示后再参与运算．

8．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用这两个性质化函数不等式为对数不等式，再解之．

【详解】

，∴是奇函数，又是增函数，

∴由奇函数性质不等式可化为，

由增函数性得，，解得．

故选：D．

【点睛】

本题考查函数的单调性与奇偶性，考查解对数不等式．本题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为，转化为，一种是偶函数，不等式为，转化为，然后由单调性去函数符号“”．

9．已知三棱锥中，面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由面，得，由勾股定理计算出，从而知，于是可得，则的中点到四顶点距离相等，为外接球球心．

【详解】

∵面，面，∴，同理，

∴，

∴，即，而，∴平面，∴，取中点，连接，∴，即为三棱锥外接球球心，半径为，∴．

故选：B．

【点睛】

本题考查球的表面积，考查三棱锥的外接球问题，解题关键是确定球心位置．本题中利用直角三角形斜边中点到三顶点距离相等确定球心．一般棱锥的外接球球心在过各面外心与该面垂直的直线上．

10．过抛物线：（）的焦点的直线交该抛物线于、B两点，若，为坐标原点，则（    ）

A． B． C．6 D．

【答案】D

【解析】过作准线的垂线，垂足分别为，是准线与抛物线对称轴的交点，作于，交轴于，利用，，及平行线截线段成比例可求得结论．

【详解】

如图，过作准线的垂线，垂足分别为，是准线与抛物线对称轴的交点，作于，交轴于，

由抛物线定义知，，设，则，

由刚才的作图知是矩形，，∴，又，∴，∴，，∴，，

∴．

故选：D．

【点睛】

本题考查抛物线的焦点弦性质，解题时过作准线的垂线，利用抛物线的定义，得，，利用平行线截线段成比例求解，方法简单易懂．

11．定义在上的运算：，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由新定义把不等式转化为，然后由不等式恒成立求得的范围．

【详解】

由题意，即对恒成立，

当时，，∴，解得或．

故选：A

【点睛】

本题考查新定义，考查不等式恒成立问题，解题关键是利用新定义把“新不等式”转化为我们熟悉的不等式，然后转化为求函数的最值并解不等式得参数范围．

12．已知函数，若，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据（不妨设）得，这样可把变为一元函数，问题转化为求一元函数的最值．

【详解】

作出的图象，如图，不妨设，∵，∴，，

∴，

设（），则，

当时，递增，当时，递减，

∴时，，也是最大值．

∴的最大值是．

故选：D．

【点睛】

本题考查方程根的分布，考查用导数研究函数的最值．解题关键是由已知（不妨设）得，这样可把变为一元函数，从而问题转化为求函数的最大值．

二、填空题

13．已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为______.

【答案】

【解析】已知条件利用余弦定理求得，然后由三角形内角和可得，再由等腰三角形得，再由三角形面积公式求得面积．

【详解】

∵，∴，∴，，

∴，∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查余弦定理，三角形面积公式．解三角形中有三类公式：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，掌握这些公式是解题基础．

14．已知圆：和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是______.

【答案】

【解析】根据双曲线的定义求轨迹方程．

【详解】

∵在的中垂线上，∴，∴，

又，∴点轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线，∴，，又关于原点对称，

∴点轨迹方程为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查用双曲线的定义求轨迹方程，属于基础题．根据双曲线定义确定动点轨迹是双曲线，然后求出得标准方程，要注意所求轨迹方程是不是圆锥曲线的标准方程．

15．已知双曲线：（，）的右焦点为，，是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为______.

【答案】2

【解析】由得，从而有，因此可得坐标，于是有中点坐标，代入渐近线方程可得的等式，转化后可求得离心率．

【详解】

如图，设在渐近线上，∵，∴，∴，

∴，而，是中点，∴，由已知在渐近线上，

∴，，，∴．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，考查渐近线方程，考查向量的数量积与垂直的关系．解题关键是寻找关于的等式，然后转化后可求得．题中用到一个结论：在渐近线上在第一象限内的点，且．则有．

16．已知，，分别满足以下三个方程：；；，则，，的大小关系为______.

【答案】

【解析】根据方程的根，确定的范围，从而得大小关系．

【详解】

由题意，∴；，∴；，，，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查比较实数的大小，实质是考查方程根的分布，本题中方程的解只要通过函数值的正负及函数定义域即可确定各自的取值范围，从而得出它们的大小关系．

三、解答题

17．若数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）； （2）.

【解析】（1），时，由可得数列的递推关系，从而确定数列是等比数列，易得其通项公式；

（2）数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得，因此用错位相减法求和．

【详解】

（1）数列的前项和为，且①，

当时，，，

当时，②，

①－②得，即（常数），

故数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以.

（2）由于，所以，

所以③，④，

③－④得，整理得.

【点睛】

本题考查由与的关系求通项公式，考查错位相减法求数列的和．在由时，要注意，与它们的求法不同，要分类求解．数列求和问题中有两类数列的求和法一定要掌握：数列是等差数列，数列是等比数列，则数列的和的求法是裂项相消法，数列的和的求法是错位相减法．

18．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积的最大值.

【答案】（1）； （2）.

【解析】（1）降幂后由诱导公式得，由两角和的正弦公式转化一个角的一个三角函数后可求得；

（2）由余弦定理写出的关系式，结合基本不等式求得的最大值，从而得三角形面积的最大值．

【详解】

（1）中，内角，，所对的边分别为，，，已知.

所以，

故，由于.

解得.

（2）由余弦定理

得

即，当且仅当时取等号；

的面积，最大值为．

【点睛】

本题考查余弦定理，三角形面积公式，考查降幂公式、诱导公式、两角和的正弦公式等。考查的知识点较多，属于中档题．

19．如图（1），在直角梯形中，，，，过点作，垂足为，现将沿折叠，使得.取的中点，连接，，，如图（2）.

（1）求证：平面平面；

（2）若三棱锥的体积为，求.

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】（1）折叠过程中保持不变，再由从而可证得，于是有平面，从而证得面面垂直；

（2）三棱锥换底有，只要设，则三角形面积为，到平面的距离等于的一半为，这样棱锥的体积就用表示出来了，由此可解得．

【详解】

（1）∵，，∴；

∵，，∴；

又，∴平面，

∵平面，∴平面平面.

（2）∵是的中点，设，则，

∴

所以，即.

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，考查棱锥的体积．证面面垂直，根据其判定定理就是要证线面垂直，从而只要证得两个线线垂直即可，一定要抓住定理的所有条件，缺一为可．三棱锥的体积注意常常用换底法，换底后高易求，底面积也易得，这样体积易表示出来．

20．已知抛物线：上一点到其焦点的距离为5.

（1）求与的值；

（2）设动直线与抛物线相交于，两点，问：在轴上是否存在与的取值无关的定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）,； （2）存在点.

【解析】（1）由抛物线上点的焦半径为可求得，从而再求得；

（2）假设设存在点满足条件，令，，条件转化为，即，整理得：，由直线方程与抛物线方程联立后消去（注意讨论的情形），得的方程，由韦达定理得，代入它是与无关的等式，从而可得．

【详解】

（1）根据抛物线定义，点到焦点的距离等于它到准线的距离，即

，解得，∴抛物线方程为，

点在抛物线上，得，∴.

（2）抛物线方程为：，

当，直线只与抛物线有一个交点，显然不成立，

当时，令，，设存在点满足条件，

即：，

即，

整理得：，

，整理得，

∴，，

∴，

∴，解的，

因此存在点满足题意.

【点睛】

本题考查抛物线的焦半径公式，考查直线与抛物线相交问题．对存在性命题，一般是假设存在，然后根据这个存在性去推导计算，方法是设而不求思想方法．如果能求出定点，说明真正存在，如果求不出说明假设错误，不存在定点满足题意．

21．已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，且经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若斜率为2的直线与椭圆交于，两点，且，求该直线的方程.

【答案】（1）； （2）或.

【解析】（1）由椭圆定义得．求得后，再由 求得，得椭圆方程；

（2）设出直线方程为，同时设交点坐标，，由直线方程与椭圆方程联立消元后中得，再由直线与圆锥曲线相交的弦长公式可求得．

【详解】

（1）由椭圆的定义，可知.

解得.

又.

所以椭圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为，

联立，得.

，得.

设，，

∴，，

∴，

解得：.

∴直线的方程为：或.

【点睛】

本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交的弦长问题．在已知椭圆的两焦点及椭圆上一点坐标时，用椭圆的定义求得长轴长，然后易得，从而得椭圆方程．直线与椭圆相交于两个点，则相交弦长为．本题采用设而不求法求解．

22．已知函数的极大值为16，极小值为－16.

（1）求和的值；

（2）若过点可作三条不同的直线与曲线相切，求实数的取值范围.

【答案】（1），； （2）.

【解析】（1）求出导函数，确定极大值和极小值，由题意可求得；

（2）设切点，切线方程为，即，由切线过点，得，

从而此方程有3个实数根，问题转化为函数有3个零点，再由导数研究的极大值和极小值可得出结论．

【详解】

（1）函数，

.

可得：函数在，上单调递增，在上单调递减.

∴时函数取得极大值16，时函数取得极小值－16.

∴，，

联立解得：，，

（2）由（1）可知，设切点，

则切线方程为，即，

因为切线过点，所以，

由于有3条切线，所以方程有3个实数根，

设，则只要使有3个零点，

令，解得或，

当，时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以时，取极大值，时，取极小值，

所以要是曲线与轴有3个交点，当且仅当，即，

解得，即实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查用导数研究函数的极值，考查导数的几何意义，考查用导数研究函数零点个数问题，本题对计算能力的要求较高，属于难题．