2020届广东省广州市白云区高三下学期3月综合模拟数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．己知复数，则的实部为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【解析】化简得到，得到复数实部.
【详解】
，故复数的实部为.
故选：.
【点睛】
本题考查了复数的实部，属于简单题.
2．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】计算，，再计算交集得到答案.
【详解】
，，
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
3．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直接根据抛物线定义得到答案.
【详解】
，即，故焦点坐标为.
故选：.
【点睛】
本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.
4．把一枚骰子掷一次，抛出的是奇数点的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】根据古典概型公式计算得到答案.
【详解】
把一枚骰子掷一次，抛出的是奇数点的概率为.
故选：.
【点睛】
本题考查了古典概型，意在考查学生的计算能力.
5．程序框图的功能是（ ）
A．若输入一个数，判断其是否大于或等于1，然后输出符合条件的的值.
B．若输入一个数，输出的值.
C．任给一个数，求的值.
D．任给一个实数，同时输出的值和的值.
【答案】C
【解析】直接根据程序框图得到答案.
【详解】
根据程序框图知：程序框图表示的功能是：任给一个数，求的值.
故选：.
【点睛】
本题考查了程序框图，意在考查学生的理解能力.
6．在正方体中，异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】如图所示：连接，设正方体边长为，为异面直线与所成角，计算得到答案.
【详解】
如图所示：连接，设正方体边长为，
正方体，故，故为异面直线与所成角，
，，，，，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
7．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直接根据三角恒等变换计算得到答案.
【详解】
.
故选：.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.
8．如下图表示甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲、乙得分的中位数的和是（ ）
A．56分 B．57分 C．58分 D．59分
【答案】C
【解析】根据茎叶图分别计算中位数，相加得到答案.
【详解】
根据茎叶图：甲共有13个数据，中位数为第7个数据为32；
乙共有13个数据，中位数为第7个数据为26，故和为58.
故选：C.
【点睛】
本题考查了茎叶图，中位数，意在考查学生的计算能力和应用能力.
9．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为:有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（ ）
A．30尺 B．150尺 C．90尺 D．180尺
【答案】C
【解析】已知等差数列选C.
10．不等式成立的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】化简得到，根据函数单调性得到答案.
【详解】
，故，即，
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了充要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
11．对于函数，给出如下四个结论：
（1）这个函数的值域为； （2）这个函数在区间上单调递减；
（3）这个函数图象具有中心称性； （4）这个函数至少存在两个零点.
其中正确结沦有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】求导根据导数小于零得到（2）正确，计算得到（3）正确，计算，，，得到（4）正确，再计算值域得到（1）正确，得到答案.
【详解】
，，
当时，，函数单调递减，（2）正确；
，，故函数关于点中心对称，（3）正确；
，
，故函数在上有零点，
同理，，故函数在上有零点，故（4）正确；
当时，，当时，，且函数有零点，故（1）正确；
故选：.
【点睛】
本题考查了函数值域，对称中心，单调性，零点问题，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
12．己知，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】构造函数，，求导得到函数的单调性，判断选项得到答案.
【详解】
设函数，则，函数在上单调递减，在上单调递增，故不能得到，或，即或，排除；
设函数，则，当时，，函数单调递增，
故，即，即.
故选：.
【点睛】
本题考查了利用函数单调性判断不等式，构造函数，判断单调性是解题的关键.
二、填空题
13．己知，，且这两个向量的夹角的余弦值为，则 ________.
【答案】1
【解析】直接根据向量夹角公式计算得到答案.
【详解】
两个向量的夹角的余弦值为，故，即，
解得或，验证不成立.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了根据向量夹角求参数，意在考查学生的计算能力.
14．已知数列是首项和公差均为1的等差数列，数列为首项和公比均为2的等比数列，则数列的前和等于________.
【答案】
【解析】计算得到，，故，计算得到答案.
【详解】
根据题意：，，故，故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列，数列求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
15．已知直线与双曲线交于两点，当两点的对称中心坐标为时，直线的方程为________.
【答案】
【解析】设，，代入相减得到，计算得到直线方程.
【详解】
设，，则，
相减得到，即，.
故直线方程为：，即.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了双曲线中的点差法，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
16．将半径为的5个球放入由一个半径不小于的球面和这个球的内接正四面体的四个面分割成的五个空间内，若此正四面体的棱长为，则的最大值为________.
【答案】
【解析】计算正四面体的外接球半径，内切圆半径为，设与球面相交于点，如图所示，画出剖面图，，，，解得答案.
【详解】
正四面体的棱长为，根据对称性知，的投影为三角形的中心，
则，高，设外接球半径为，
故，解得，
设正四面体内切球半径为，根据等体积法得到：
，故，
根据题意，，.
设与球面相交于点，如图所示，画出剖面图，，故.
综上所述：，故的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了四面体的外接球内切球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
三、解答题
17．己知函数的图象的一条对称轴为直线，且此轴与函数图象交点的纵坐标为
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）在三角形中，两个内角满足，且，求内角所对的边的比的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据题意得到，，解得，再计算单调区间得到答案.
（Ⅱ）计算，，再利用正弦定理计算得到答案.
【详解】
（Ⅰ），
根据题意，且，解得，.
，取，，
解得，故单调增区间为.
（Ⅱ），即，，故.
，故，.
【点睛】
本题考查了三角函数的单调性，正弦定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
18．某农场经过观测得到水稻产量和施化肥量的统计数据如下：
施化肥量 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
水稻产量 | 330 | 345 | 365 | 405 | 445 | 450 | 455 |
求：（Ⅰ）水稻产量与施化肥量的相关系数，并判断相关性的强弱：
（Ⅱ）关于的线性回归方程.
（1）相关系数及线性回归直线方程系数公式：
（2）参考数据：，，
【答案】（Ⅰ），具有很强的相关性；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据公式计算得到，得到答案.
（Ⅱ）根据公式直接计算得到答案.
【详解】
（Ⅰ），
，
故
，故具有很强的相关性.
（Ⅱ），故，
故回归方程为：.
【点睛】
本题考查了相关系数，回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19．如图，在三棱锥，平面，且，，，，分别为，的重心.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求四面体的体积.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）如图所示：延长与交于点，连接，证明得到答案.
（Ⅱ）证明平面，计算，，得到体积.
【详解】
（Ⅰ）如图所示：延长与交于点，连接.
分别为，的重心，故分别为中点，.
平面，故平面.
（Ⅱ）中，根据余弦定理：，
故，，
平面，平面，故，，，
故平面，，故平面.
，，故.
【点睛】
本题考查了线面平行，三棱锥体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
20．设、分别是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆上的一个定点，同时满足如下三个条件：（1）；（2）；（3）在方向上的投影为.
（Ⅰ）求椭圆的离心率及椭圆方程；
（Ⅱ）过焦点的直线交椭圆于点、两点，问是否存在以线段为直径的圆与相切，若存在，求出此时直线的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）存在，
【解析】（Ⅰ）根据题意计算得到，，，故，得到椭圆方程.
（Ⅱ）斜率存在时，设直线方程为，联立方程计算得到，代入数据计算得到答案.
【详解】
（Ⅰ），故在方向上的投影为，故，
，故，，故，
，故，故，，椭圆方程为：.
（Ⅱ）当直线斜率不存在时，此时，不满足；
当斜率存在时，设直线方程为，则，
化简整理得到：，故，
故中点到轴的距离为，
，解得，验证此时，
故直线方程为：.
【点睛】
本题考查了椭圆方程，直线和圆，直线和椭圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21．设函数，其中.
（Ⅰ）当时，求的极值点；
（Ⅱ）当存在两个正极值点时，符号分别表示中较大的，令，求证：，且.
【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）证明见解析
【解析】（Ⅰ）求导得到，根据单调性得到极值点.
（Ⅱ）计算，且得到，，，设，确定函数单调递减，得到证明.
【详解】
（Ⅰ），故，取，解得，.
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时函数有极小值，当时，函数有极大值，故的极值点为和.
（Ⅱ），故，
故，且，解得，
，
，
设，
则，函数单调递减，
故，即.
【点睛】
本题考查了极值点，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
22．已知直线经过点，倾斜角，圆的极坐标方程为.
（Ⅰ）写出直线的参数方程及圆的普通方程；
（Ⅱ）设与圆相交于两点、.求.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据参数方程和极坐标方程公式直接计算得到答案.
（Ⅱ）将直线参数方程代入圆中，化简整理得到：，计算得到答案.
【详解】
（Ⅰ）直线经过点，倾斜角，故直线参数方程为：
即，，即.
（Ⅱ）将直线参数方程代入圆中，化简整理得到：，
故，，.
【点睛】
本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.
23．若，使得不等式成立.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求证：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析
【解析】（Ⅰ），，设，计算，解不等式得到答案.
（Ⅱ）变换，根据柯西不等式计算得到答案.
【详解】
（Ⅰ）设，，故，
，故，解得，即.
（Ⅱ），
等号成立的条件是，方程无解，故.
【点睛】
本题考查了不等式存在性问题，利用柯西不等式证明不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力.
