广东省广州市天河区2020届高三高考一模数学（文）试题 Word版含解析

2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设集合，0，1，2，，，则　　

A． B．， C．， D．，1，

2．（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了座城市作试验基地，这座城市共享单车的使用量（单位；人次天）分别为，，，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是　

A．，，的平均数 B．，，的标准差 

C．，，的最大值 D．，，的中位数

3．（5分）若复数为纯虚数，则　　

A． B．13 C．10 D．

4．（5分）设等差数列的前项和为，若，则等于　　

A．18 B．36 C．45 D．60

5．（5分）已知，，则的值等于　　

A． B． C． D．

6．（5分）若实数，满足，则的最小值为　　

A．2 B． C．1 D．

7．（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用勾股（股勾）朱实黄实弦实，化简，得勾股弦，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为　　

A．866 B．500 C．300 D．134

8．（5分）已知满足，则　　

A． B． C． D．

9．（5分）如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则在侧面上的轨迹的长度是　　

A． B． C． D．

10．（5分）已知函数，，，为图象的对称中心，，是该图象上相邻的最高点和最低点，若，则的单调递增区间是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

11．（5分）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为　　

A． B． 

C． D．

12．（5分）已知函数，，，曲线上总存在两点，，，，使曲线在，两点处的切线互相平行，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．（5分）已知向量，．若向量，则　　   ．

14．（5分）已知数列满足，，则当时，　　   ．

15．（5分）如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则的值为　　   ．

16．（5分）已知直三棱柱外接球的表面积为，，若外接圆的圆心在上，半径，则直三棱柱的体积为　   　．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一）必考题：共60分。

17．（12分）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组，，第二组，，第八组，，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．

（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；

（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；

（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．

18．（12分）在等比数列中，公比，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值．




 

19．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，且．

（1）求角的大小；

（2）若，的面积为，求及的值．





 

20．（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，，，．、分别为、的中点．

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离．

21．（12分）已知函数，，，．

（1）讨论函数的单调区间及极值；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．







 

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线和直线的直角坐标方程；

（2）直线与轴的交点为，经过点的动直线与曲线交于、两点，证明：为定值．








 

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知函数．

（1）若时，解不等式；

（2）若关于的不等式在，上有解，求实数的取值范围．

2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设集合，0，1，2，，，则　　

A． B．， C．， D．，1，

【解答】解：由中不等式变形得：，

解得：或，即或，

，0，1，2，，

，，

故选：．

2．（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了座城市作试验基地，这座城市共享单车的使用量（单位；人次天）分别为，，，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是　

A．，，的平均数 B．，，的标准差 

C．，，的最大值 D．，，的中位数

【解答】解：表示一组数据，，的稳定程度是方差或标准差．

故选：．

3．（5分）若复数为纯虚数，则　　

A． B．13 C．10 D．

【解答】解：由．

因为复数为纯虚数，所以，解得．

所以．

故选：．

4．（5分）设等差数列的前项和为，若，则等于　　

A．18 B．36 C．45 D．60

【解答】解：，

，

．

故选：．

5．（5分）已知，，则的值等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

，

．

故选：．

6．（5分）若实数，满足，则的最小值为　　

A．2 B． C．1 D．

【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图：

由图可知，在与轴的交点处取得最小值，即．

故选：．

7．（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用勾股（股勾）朱实黄实弦实，化简，得勾股弦，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为　　

A．866 B．500 C．300 D．134

【解答】解：如图，

设勾为，则股为，弦为，

则图中大四边形的面积为，小四边形的面积为，

则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．

落在黄色图形内的图钉数大约为．

故选：．

8．（5分）已知满足，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：；

；

；

又；

．

故选：．

9．（5分）如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则在侧面上的轨迹的长度是　　

A． B． C． D．

【解答】解：设，，分别为、、边上的中点

则四点共面，

且平面平面

又面，

落在线段上，

正方体中的棱长为，

．

即在侧面上的轨迹的长度是．

故选：．

10．（5分）已知函数，，，为图象的对称中心，，是该图象上相邻的最高点和最低点，若，则的单调递增区间是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

【解答】解：函数，，

，为图象的对称中心，，是该图象上相邻的最高点和最低点，若，

，即，求得．

再根据，，可得，．

令，求得，

故的单调递增区间为，，，

故选：．

11．（5分）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：根据题意，

当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的元产生的本利合计为，

同理：孩子在2周岁生日时存入的元产生的本利合计为，

孩子在3周岁生日时存入的元产生的本利合计为，

孩子在17周岁生日时存入的元产生的本利合计为，

可以看成是以为首项，为公比的等比数列的前17项的和，

此时将存款（含利息）全部取回，

则取回的钱的总数：
；

故选：．

12．（5分）已知函数，，，曲线上总存在两点，，，，使曲线在，两点处的切线互相平行，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

【解答】解：函数，导数．

由题意可得，，且．

即有，

化为，

而，

，

化为对，都成立，

令，，，

，对，恒成立，

即在，递增，

（4），

，

，即的取值范围是，．

故选：．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．（5分）已知向量，．若向量，则　　．

【解答】解：向量，，

，

，，

．

故答案为：．

14．（5分）已知数列满足，，则当时，　　．

【解答】解：数列满足，

  ，，

则，

，

，

，

由此可得当时，．

故答案为：．

15．（5分）如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则的值为　　．

【解答】解：如图所示，在中，，，，

由余弦定理得，

所以．

由正弦定理得．

由知为锐角，故．

故．

故答案为：．

16．（5分）已知直三棱柱外接球的表面积为，，若外接圆的圆心在上，半径，则直三棱柱的体积为　24　．

【解答】解：如图，外接圆的圆心在上，

为的中点，且是以为直角的直角三角形，

由半径，得，又，．

把直三棱柱补形为长方体，设，

则其外接球的半径．

又直三棱柱外接球的表面积为，

，即．

，解得．

直三棱柱的体积为．

故答案为：24．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一）必考题：共60分。

17．（12分）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组，，第二组，，第八组，，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．

（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；

（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；

（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．

【解答】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：

．

完成频率分布直方图如下：

（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：

（3）样本成绩属于第六组的有人，样本成绩属于第八组的有人，

从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，

基本事件总数，

他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数，

他们的分差的绝对值小于10分的概率．

18．（12分）在等比数列中，公比，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值．

【解答】解：（1），

可得，

由，即，①，可得，由，可得，

可得，即，②

由①②解得舍去），，

则；

（2），

可得，

，

则

，

可得或7时，取最大值．

则的值为6或7．

19．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，且．

（1）求角的大小；

（2）若，的面积为，求及的值．

【解答】解：（1），可得：，

，

，，

．

（2），

，

，

，

，

，

，

．

20．（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，，，．、分别为、的中点．

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离．

【解答】解：（1）证明：为正三角形，，

，

，，

根据勾股定理得，

为矩形，，

，面且交于点，面，

面，面面，

为的中点，为正三角形，

，平面，

平面，．

（Ⅱ） 解：取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，0，，，2，，，0，，，，0，，

，2，，，，0，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，1，，

点到平面的距离．

21．（12分）已知函数，，，．

（1）讨论函数的单调区间及极值；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．

【解答】解：（1）定义域为，，

①当时恒成立，在上是增函数，无极值，

②当时令，，

令，，

所以函数在上为增函数，在，为减函数，

所以当时，有极大值，极大值为，无极小值，

（2）：由恒成立知恒成立，

令，

则，

令，因为，（1），则为增函数．

故存在，，使，即，

当时，，为增函数，当时，，为减函数．

所以，

而，，所以，所以整数的最小值为2．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线和直线的直角坐标方程；

（2）直线与轴的交点为，经过点的动直线与曲线交于、两点，证明：为定值．

【解答】解：（1）由，

得曲线．

直线的极坐标方程展开为，

故的直角坐标方程为．

（2）显然的坐标为，不妨设过点的直线方程为为参数），

代入得，设，对应的参数为，

所以为定值．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知函数．

（1）若时，解不等式；

（2）若关于的不等式在，上有解，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）若时，，

当时，原不等式可化为解得，所以，

当时，原不等式可化为得，所以，

当时，原不等式可化为解得，所以，

综上述：不等式的解集为；

（2）当，时，由得，

即，

故得，

又由题意知：，

即，

故的范围为，．