2020届广东省广州市高三3月阶段训练（一模）数学（理）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据复数的运算法则，可得，然后利用复数模的概念，可得结果.
【详解】
由题可知：
由，所以
所以
故选：A
【点睛】
本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.
2．已知集合，，，则的子集共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【解析】根据集合中的元素，可得集合，然后根据交集的概念，可得，最后根据子集的概念，利用计算，可得结果.
【详解】
由题可知：，
当时，
当时，
当时，
当时，
所以集合
则
所以的子集共有
故选：B
【点睛】
本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合中有元素时，集合子集的个数为，真子集个数为，非空子集为，非空真子集为，属基础题.
3．（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用，根据诱导公式进行化简，可得，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.
【详解】
由
所以
，
所以原式
所以原式
故
故选：D
【点睛】
本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.
4．已知命题：R，；命题 ：R，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据，可知命题的真假，然后对取值，可得命题 的真假，最后根据真值表，可得结果.
【详解】
对命题：
可知，
所以R，
故命题为假命题
命题 ：
取，可知
所以R，
故命题为真命题
所以为真命题
故选：B
【点睛】
本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题.
5．已知函数满足，当时，，则（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【解析】简单判断可知函数关于对称，然后根据函数的单调性，并计算，结合对称性，可得结果.
【详解】
由，
可知函数关于对称
当时，，
可知在单调递增
则
又函数关于对称，所以
且在单调递减，
所以或，故或
所以或
故选：C
【点睛】
本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：，，考验分析能力，属中档题.
6．如图，圆的半径为，，是圆上的定点，，是圆上的动点， 点关于直线的对称点为，角的始边为射线，终边为射线，将表示为的函数，则在上的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解.
【详解】
由题意，当时，P与A重合，则与B重合，
所以,故排除C,D选项；
当时，，由图象可知选B.
故选：B
【点睛】
本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.
7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，
【详解】
由题意可知几何体的直观图如图：
上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥,
几何体的表面积为：，
故选：C
【点睛】
本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.
8．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为，设地球半径为，该卫星近地点离地面的距离为，则该卫星远地点离地面的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离.
【详解】
椭圆的离心率：，（ c为半焦距; a为长半轴），
设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r，n，如图：
则
所以,,
故选：A
【点睛】
本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题.
9．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从名男生，，和名女生，，中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据组合知识，计算出选出的人分成两队混合双打的总数为，然后计算和分在一组的数目为，最后简单计算，可得结果.
【详解】
由题可知：
分别从3名男生、3名女生中选2人 ：
将选中2名女生平均分为两组：
将选中2名男生平均分为两组：
则选出的人分成两队混合双打的总数为：
和分在一组的数目为
所以所求的概率为
故选：B
【点睛】
本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成组，则要除以，即，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.
10．已知，是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于，两点，若，则△的内切圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设左焦点的坐标， 由AB的弦长可得a的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.
【详解】
由双曲线的方程可设左焦点，由题意可得，
由，可得，
所以双曲线的方程为:
所以，
所以
三角形ABF2的周长为
设内切圆的半径为r，所以三角形的面积，
所以，
解得，
故选：B
【点睛】
本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.
11．已知函数的导函数为，记，，…，N. 若，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】通过计算，可得，最后计算可得结果.
【详解】
由题可知：
所以
所以猜想可知：
由
所以
所以
故选：D
【点睛】
本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.
12．已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，给出下列四个命题:
①;
② 直线与直线所成角为;
③ 过，，三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;
④ 三棱锥的体积为.
其中，正确命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可．
【详解】
如图；
连接相关点的线段，为的中点，连接，因为是中点，可知，，可知平面，即可证明，所以①正确；
直线与直线所成角就是直线与直线所成角为；正确；
过，，三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：
是五边形．所以③不正确；
如图：
三棱锥的体积为：
由条件易知F是GM中点，
所以,
而，
．所以三棱锥的体积为，④正确；
故选：．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题．
二、填空题
13．设向量，，且，则_________.
【答案】
【解析】根据向量的数量积的计算，以及向量的平方，简单计算，可得结果.
【详解】
由题可知：
且
由
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查向量的坐标计算，主要考查计算，属基础题.
14．某种产品的质量指标值服从正态分布，且．某用户购买了件这种产品，则这件产品中质量指标值位于区间之外的产品件数为_________．
【答案】
【解析】直接计算，可得结果.
【详解】
由题可知：
则质量指标值位于区间之外的产品件数：
故答案为：
【点睛】
本题考查正太分布中原则，审清题意，简单计算，属基础题.
15．的展开式中，的系数是__________. (用数字填写答案)
【答案】
【解析】根据组合的知识，结合组合数的公式，可得结果.
【详解】
由题可知：项来源可以是：（1）取1个，4个
（2）取2个，3个
的系数为：
故答案为：
【点睛】
本题主要考查组合的知识，熟悉二项式定理展开式中每一项的来源，实质上每个因式中各取一项的乘积，转化为组合的知识，属中档题.
16．已知△的三个内角为，，，且，，成等差数列， 则的最小值为__________，最大值为___________.
【答案】
【解析】根据正弦定理可得，利用余弦定理以及均值不等式，可得角的范围，然后构造函数，利用导数，研究函数性质，可得结果.
【详解】
由，，成等差数列
所以
所以
又
化简可得
当且仅当时，取等号
又，所以
令，
则
当，即时，
当，即时，
则在递增，在递减
所以
由，
所以
所以的最小值为
最大值为
故答案为：，
【点睛】
本题考查等差数列、正弦定理、余弦定理，还考查了不等式、导数的综合应用，难点在于根据余弦定理以及不等式求出，考验分析能力以及逻辑思维能力，属难题.
三、解答题
17．记为数列的前项和，N.
（1）求；
（2）令，证明数列是等比数列，并求其前项和.
【答案】（1）；（2）证明见详解，
【解析】（1）根据，可得，然后作差，可得结果.
（2）根据（1）的结论，用取代，得到新的式子，然后作差，可得结果，最后根据等比数列的前项和公式，可得结果.
【详解】
（1）由①，则②
②-①可得：
所以
（2）由（1）可知：③
则④
④-③可得：
则，且
令，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列
所以
【点睛】
本题主要考查递推公式以及之间的关系的应用，考验观察能力以及分析能力，属中档题.
18．如图，三棱锥中，，，，，.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】（1）取中点，根据，利用线面垂直的判定定理，可得平面，最后可得结果.
（2）利用建系，假设长度， 可得，以及平面的一个法向量，然后利用向量的夹角公式，可得结果.
【详解】
（1）取中点，连接，如图
由，
所以
由,平面
所以平面，又平面
所以
（2）假设，
由，，.
所以
则，所以
又，平面
所以平面，所以，
又，故建立空间直角坐标系，如图
设平面的一个法向量为
则
令，所以
则直线与平面所成角的正弦值为
【点睛】
本题考查线面垂直、线线垂直的应用，还考查线面角，学会使用建系的方法来解决立体几何问题，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.
19．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如下的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，求这个零件尺寸的中位数（结果精确到）；
（2）若从这个零件中尺寸位于之外的零件中随机抽取个，设表示尺寸在上的零件个数，求的分布列及数学期望；
（3）已知尺寸在上的零件为一等品，否则为二等品，将这个零件尺寸的样本频率视为概率. 现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱个. 企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为元. 若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付元的赔偿费用. 现对一箱零件随机抽检了个，结果有个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.
【答案】（1）；（2）分布列见详解，期望为；（3）余下所有零件不用检验，理由见详解.
【解析】（1）计算的频率，并且与进行比较，判断中位数落在的区间，然后根据频率的计算方法，可得结果.
（2）计算位于之外的零件中随机抽取个的总数，写出所有可能取值，并计算相对应的概率，列出分布列，计算期望，可得结果.
（3）计算整箱的费用，根据余下零件个数服从二项分布，可得余下零件个数的期望值，然后计算整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值，进行比较，可得结果.
【详解】
（1）尺寸在的频率：
尺寸在的频率：
且
所以可知尺寸的中位数落在
假设尺寸中位数为
所以
所以这个零件尺寸的中位数
（2）尺寸在的个数为
尺寸在的个数为
的所有可能取值为1，2，3，4
则，
，
所以的分布列为
（3）二等品的概率为
如果对余下的零件进行检验则整箱的检验费用为
（元）
余下二等品的个数期望值为
如果不对余下的零件进行检验，
整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值为
（元）
所以，所以可以不对余下的零件进行检验.
【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，掌握中位数，平均数，众数的计算方法，中位数的理解应该从中位数开始左右两边的频率各为0.5，考验分析能力以及数据处理，属中档题.
20．已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）证明函数存在唯一的极大值点，且.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）求导，可得（1），（1），结合已知切线方程即可求得，的值；
（2）利用导数可得，，再构造新函数，利用导数求其最值即可得证．
【详解】
（1）函数的定义域为，，
则（1），（1），
故曲线在点，（1）处的切线方程为，
又曲线在点，（1）处的切线方程为，
，；
（2）证明：由（1）知，，则，
令，则，易知在单调递减，
又，（1），
故存在，使得，
且当时，，单调递增，当，时，，单调递减，
由于，（1），（2），
故存在，使得，
且当时，，，单调递增，当，时，，，单调递减，
故函数存在唯一的极大值点，且，即，
则，
令，则，
故在上单调递增，
由于，故（2），即，
．
【点睛】
本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，属于中档题．
21．已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.
（1）判断点是否在直线上？说明理由；
（2）设点是△的外接圆的圆心，点到轴的距离为，点，求的最大值.
【答案】（1）不在，证明见详解；（2）
【解析】（1）假设直线方程，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算，可得，然后验证可得结果.
（2）分别计算线段中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点的轨迹方程，然后可得焦点，结合抛物线定义可得，计算可得结果.
【详解】
（1）设直线方程，
根据题意可知直线斜率一定存在，
则
则
由
所以
将代入上式
化简可得，所以
则直线方程为，
所以直线过定点，
所以可知点不在直线上.
（2）设
线段的中点为
线段的中点为
则直线的斜率为，
直线的斜率为
可知线段的中垂线的方程为
由，所以上式化简为
即线段的中垂线的方程为
同理可得：
线段的中垂线的方程为
则
由（1）可知：
所以
即，所以点轨迹方程为
焦点为，
所以
当三点共线时，有最大
所以
【点睛】
本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处，第（2）问中关键在于得到点的轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.
22．已知曲线的参数方程为为参数， 曲线的参数方程为为参数).
（1）求与的普通方程；
（2）若与相交于，两点，且，求的值.
【答案】（1），（2）0
【解析】（1）分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；
（2）把直线的参数方程代入的普通方程，化为关于的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时的几何意义求解．
【详解】
（1）由曲线的参数方程为为参数），消去参数，可得；
由曲线的参数方程为为参数），消去参数，可得，即．
（2）把为参数）代入，
得．
，．
．
解得：，即，满足△．
．
【点睛】
本题考查参数方程化普通方程，特别是直线参数方程中参数的几何意义的应用，是中档题．
23．已知，，且.
（1）求的最小值；
（2）证明：.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）利用基本不等式即可求得最小值；
（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．
【详解】
（1），当且仅当“”时取等号，
故的最小值为；
（2），
当且仅当时取等号，此时．
故．
【点睛】
本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．
