2020届广东省肇庆市高三第一次统考数学（理）试题（解析版）

2020届广东省肇庆市高三第一次统考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出、中不等式的解集确定出、，找出与的交集即可．

【详解】

集合，集合，

所以.

故选：C

【点睛】

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．“a=1”是“函数在区间[1, +∞)上为增函数”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】函数f(x)的单调增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]，所以当a＝1时，增区间为[1，＋∞)，所以在[2，＋∞)上也递增．当f(x)在区间[2，＋∞)上为增函数，则有a≤2，所以a＝1不一定成立．

3．设，向量， ，且，则（ ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】试题分析：由知，则，可得．故本题答案应选B．

【考点】1.向量的数量积；2.向量的模．

4．已知，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先由题得，再化简，即得解.

【详解】

由题得,

所以.

故答案为：C

【点睛】

(1)本题主要考查三角化简求值，考查同角的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)本题解题的关键是，这里利用了“1”的变式，.

5．下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（      ）

         的共轭复数为   的虚部为

A．         B．           C．     D．

【答案】C

【解析】因为，所以，，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.

6．设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为（     ）

(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 2

【答案】A

【解析】画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，

由题意知,当目标函数表示的直线经过点A(5，3)时，取得最小值，所以的最小值为，故选A.

【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.

7．若，则

A．    B．

C．    D．

【答案】C

【解析】试题分析： 为增函数且，所以A，C错误. 为减函数且，所以D错误.故选B.

【考点】比较大小.

8．执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】【详解】试题分析：由题意得，输出的为数列的前三项和，而

，∴，故选B.

【考点】1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.

【名师点睛】

本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序

框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出.

9．由函数f（x）＝sin2x的图象平移得到g（x）＝cos（ax），（其中a为常数且a＞0）的图象，需要将f（x）的图象（　  　）

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】B

【解析】先根据平移关系求出a＝2，利用三角函数的诱导公式，进行转化，结合平移关系进行转化即可．

【详解】

解：由函数f（x）＝sin2x的图象平移得到g（x）＝cos（ax），

则函数的周期相同即a＝2，

则g（x）＝cos（2x）＝sin（2x）＝sin（2x）＝sin2（x），

则需要将f（x）的图象向向左平移个单位，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的诱导公式以及平移关系是解决本题的关键，比较基础．

10．已知函数的图象是下列两个图象中的一个，如图，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据函数的解析式，结合奇偶函数的判定方法得出函数是偶函数，其图象关于轴对称，其图象是右边一个图．再利用正弦函数的性质得出当时和当时，函数的单调性，即可对几个选项进行判断．

【详解】

由于函数，

，

函数是偶函数，其图象关于轴对称，其图象是右边一个图．

且当时，函数是增函数，当时，函数是减函数．

若，且，

则有，故选项错；

若，且，

则有，故、选项错；

根据排除法，正确的是．

故选：．

【点睛】

本题主要考查函数图象和奇偶性与单调性的综合，根据函数解析式，得出函数图象的特点，考查数形结合思想和读图能力．

11．已知函数的图象上任一点处的切线方程为，那么函数的单调减区间是（    ）

A．    B．    C．和    D．

【答案】C

【解析】由切线方程可知 ，令，则或，故选C。

【点睛】由直线方程的点斜式可得，令导函数小于0，可求解。

12．已知函数（，且）有3个零点，，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】显然为函数的一个零点，进而问题转化为函数与函数在上有两个交点，作出图象即可得到答案．

【详解】

函数的定义域为，显然为函数的一个零点，

当时，令，则，令，

则函数与函数在上有两个交点，

，令，

则，

即函数在定义域上为减函数，

又，则当时，，，单增；

当时，，，单减，

结合图象易知，要使函数与函数在上有两个交点，

则，故．

故选：．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的零点，考查构造函数思想及数形结合思想，属于中档题．

二、填空题

13．若等差数列和等比数列满足，，则_______.

【答案】

【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出、的值，进而求出和的值，由此可得出的值.

【详解】

设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，

求得，，那么，故答案为.

【考点】

等差数列和等比数列

【点睛】

等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.

14．在中，已知是边上一点，若，，则_____．

【答案】

【解析】根据题意，画出图形，结合图形，得出①，②；

由①、②得出，从而求出的值．

【详解】

中，是边上一点，，，如图所示，

①，

，

②；

①②得，，

；．

故答案为：．

【点睛】

本题考查平面向量的加法与减法的几何意义、平面向量基本定理，考查数形结合思想的运用．

15．已知等差数列的前n项和为，且，则使取得最大值的n为_______.

【答案】6

【解析】由，根据等差数列的前n项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大．

【详解】

因为等差数列中，，

所以，

，

，

∴Sn达到最大值时对应的项数n的值为6．

故答案为：6

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和，属于容易题．

16．定义在上的函数满足，则的值为_____．

【答案】

【解析】由分段函数的性质知，从而得到函数的周期为6，即有，求出的值即可得到答案．

【详解】

∵，

∴

，

即函数的周期，

则．

即，

故答案为：

【点睛】

本题考查分段函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数的性质和应用，易错点是找不到分段函数的规律性，导致出错．

三、解答题

17．已知f（x）sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．

（1）求ω的值；

（2）当x∈[]时，求函数f（x）的最小值．

【答案】(1) (2)．

【解析】（1）先化简f（x）＝2sin（）﹣1，由函数f（x）的最小正周期为3π即可求出ω的值；

（2）由（1）可知f（x）＝2sin（x）﹣1，在由x∈[]，求出，从而当，即x时，f（x）min＝21．

【详解】

（1）f（x）sinωx﹣22sin（）﹣1，

∵函数f（x）的最小正周期为3π，

∴ω，

（2）由（1）可知f（x）＝2sin（）﹣1，

∵x∈[]，∴，

∴当，即x时，f（x）min＝21．

【点睛】

本题主要考查了三角函数的化简求值，三角函数的周期性及求三角函数的最值，是基础题．

18．已知△内角，，的对边分别为，，，．

（1）求；

（2）若，，求△的面积．

【答案】（1）

（2）

【解析】分析：（1）先根据二倍角公式以及同角三角函数关系得，解得A;（2）根据正弦定理得，再根据余弦定理得，最后根据三角形面积公式得结果.

详解： （1）由于，所以，．因为，故．                                       

（2）根据正弦定理得， ，．

因为，所以．                   

由余弦定理得得．

因此△的面积为．               

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

19．已知数列{an}中，a1＝1，an＞0，前n项和为Sn，若（n∈N，且n≥2）．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记，求数列{cn}的前n项和Tn．

【答案】(1) an＝2n﹣1；(2) Tn．

【解析】（1）根据题意，有an＝Sn﹣Sn﹣1，结合分析可得1，则数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式可得1+（n﹣1）＝n，则Sn＝n2，据此分析可得答案；

（2）由（1）的结论可得cn＝（2n﹣1）×22n﹣1；进而可得Tn＝1×2+3×23+5×25+……+（2n﹣1）×22n﹣1，由错位相减法分析可得答案．

【详解】

（1）数列{an}中，an＝Sn﹣Sn﹣1，（n∈N，且n≥2）①

，（n∈N，且n≥2）②

①÷②可得：1，

则数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列，

则1+（n﹣1）＝n，

则Sn＝n2，

当n＝1时，a1＝S1＝1，

当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，

a1＝1也符合该式，

则an＝2n﹣1；

（2）有（1）的结论，an＝2n﹣1，

则cn＝（2n﹣1）×22n﹣1；

则Tn＝1×2+3×23+5×25+……+（2n﹣1）×22n﹣1，③；

则4Tn＝1×23+3×25+5×27+……+（2n﹣1）×22n+1，④；

③﹣④可得：﹣3Tn＝2+2（23+25+……+22n﹣1）﹣（2n﹣1）×22n+1（2n）×22n+1，

变形可得：Tn．

【点睛】

本题考查数列的递推公式的应用以及数列的错位相减法求和，关键是求出数列{an}的通项公式，考查学生的计算能力．

20．已知在中，角，，对应的边分别为，，，若是与的等比中项，是与的等差中项．

（1）证明为直角三角形；

（2）求的值．

【答案】（1）见解析  （2）

【解析】（1）直接利用等差中项和等比中项和正弦定理余弦定理，可得，即可得证；

（2）由（1）可得，运用一元二次方程的解法和直角三角形的锐角三角函数的定义可得所求．

【详解】

（1）证明：若是与的等比中项，则，

由于是与的等差中项，

所以，

即，

整理得，

利用正弦定理和余弦定理整理得，

整理得，

所以为直角三角形．

（2）由（1）可得，

所以，

解得或（负值舍去）．

即．

【点睛】

本题考查的知识要点：等差中项和等比中项的应用，正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

21．已知函数，．

（1）若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；

（2）设，为正实数且，求证：．

【答案】（1）  （2）见解析

【解析】（1）由题意知，代入可求，然后根据导数的几何意义即可求解．

（2）不妨设，要证，只需证，只需证，构造函数，结合导数与单调性的关系可证．

【详解】

（1），

由题意知，代入得，经检验，符合题意，

从而切线斜率，切点为，

切线方程为.

（2）不妨设，要证，只需证，

即证，只需证，

设，则，

故在上是单调递增函数，

又，所以，即成立，

所以．

同理，成立．

【点睛】

考查利用导数的几何意义、切线方程、利用导数证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．

22．设函数．

（1）讨论的导函数零点的个数；

（2）若对任意的，成立，求的取值范围．

【答案】（1）答案不唯一，见解析  （2）

【解析】（1）先对函数求导，结合为偶函数，问题可转化为先研究，结合导数与单调性的关系及函数的零点判定定理可求，

（2）结合导数先判断函数的单调性，结合零点判定定理可求．

【详解】

（1），

令，，为偶函数，先研究，

则，，

在为递增函数，

且，，即在为单调递增函数，

当，即，没有零点，

当，即，有1个零点，

当，即，，

当，，

当，在有1个零点，

为偶函数，在也有有1个零点．

综上：，没有零点；，有1个零点；，有2个零点．

（2）,

①当时，由（1）知，在为单调递增函数，，

②当时，，，

由零点存在性定理知使得，

且在，，即单调递减，与题设不符．

综上可知，时，.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的零点、不等式恒成立求参数值、零点存在定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力．