2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考数学(文)试题(解析版)
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一、单选题
1.已知全集,集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】求出继而可求.
【详解】
依题意,得,故.
故选:D.
【点睛】
本题考查了集合的补集,考查了集合的交集运算.
2.若在复平面内,复数所对应的点为,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由点的坐标写出,从而可求出.
【详解】
依题意,得,则.
故选:A.
【点睛】
本题考查了复数的坐标互化,考查了复数的乘法.易错点是把 的值误当做进行运算.
3.中国古代用算筹来进行记数,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯记数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,其中个位、百位、方位……用纵式表示,十位、千位、十万位……用横式表示,则56846可用算筹表示为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案.
【详解】
解:根据题意可得,各个数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位用纵式表示;十位,千位,十万位用横式表示,
用算筹表示应为:纵5横6纵8横4纵6,从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为中的.
故选:.
【点睛】
本题主要考查学生的合情推理与演绎推理,属于基础题.
4.某公司有3000名员工,将这些员工编号为1,2,3,…,3000,从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查,若84号被抽到则下面被抽到的是( )
A.44号 B.294号 C.1196号 D.2984号
【答案】B
【解析】使用系统抽样的方法抽取200人则一共分200组,每组有人.故抽得的号码为以15为公差的等差数列.再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.再逐个判断即可.
【详解】
由题得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.又.其他选项均不满足.
故选:B
【点睛】
本题主要考查了系统抽样的性质与运用,属于简单题型.
5.运行如图所示的程序框图,若输出的的值为99,则判断框中可以填( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】模拟执行程序框图,即可容易求得结果.
【详解】
运行该程序:
第一次,,;
第二次,,;
第三次,,,
…;
第九十八次,,;
第九十九次,,,
此时要输出的值为99.
此时.
故选:C.
【点睛】
本题考查算法与程序框图,考查推理论证能力以及化归转化思想,涉及判断条件的选择,属基础题.
6.已知幂函数的图象过点,且,,,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意求得参数,根据对数的运算性质,以及对数函数的单调性即可判断.
【详解】
依题意,得,故,
故,,,
则.
故选:A.
【点睛】
本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小,考查推理论证能力,属基础题.
7.已知非零向量满足,若夹角的余弦值为,且,则实数的值为( )
A. B. C.或 D.
【答案】D
【解析】根据向量垂直则数量积为零,结合以及夹角的余弦值,即可求得参数值.
【详解】
依题意,得,即.
将代入可得,,
解得(舍去).
故选:D.
【点睛】
本题考查向量数量积的应用,涉及由向量垂直求参数值,属基础题.
8.记单调递增的等比数列的前项和为,若,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】先利用等比数列的性质得到的值,再根据的方程组可得的值,从而得到数列的公比,进而得到数列的通项和前项和,根据后两个公式可得正确的选项.
【详解】
因为为等比数列,所以,故即,
由可得或,因为为递增数列,故符合.
此时,所以或(舍,因为为递增数列).
故,.
故选C.
【点睛】
一般地,如果为等比数列,为其前项和,则有性质:
(1)若,则;
(2)公比时,则有,其中为常数且;
(3) 为等比数列( )且公比为.
9.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选.
【详解】
因为 ,
所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除;
因为,故排除,
因为由图象知,排除.
故选:A
【点睛】
本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.
10.当时,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】运用辅助角公式、二倍角公式等对整理,得.求出在上的最值,令 小于最小值, 大于最大值即可求出 的取值范围.
【详解】
依题意,得.因为
所以,所以.
因为恒成立,得
解得.故实数的取值范围为.
故选:D.
【点睛】
本题考查了辅助角公式,考查了二倍角公式,考查了三角函数的最值问题,考查了不等式恒成立问题.对于求 在某区间上的最值问题时,先算出 的范围,再结合正弦函数的图像,即可求出.
11.已知点是椭圆:上的一点,,是椭圆的左、右焦点,是的平分线.若,垂足为,则点到坐标原点的距离的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】延长,相交于点,将所求转化为,结合三角形边的关系,可知的取值范围.
【详解】
解:延长,相交于点,连接.由题意知平分.又因为,
所以,所以为的中点.因为为的中点
所以
所以的取值范围为.
故选:C.
【点睛】
本题考查了椭圆的几何意义,考查了中位线定理.针对此类问题,根据经验采用临界条件可以起到事半功倍的效果.
12.已知球的体积为,圆柱内接于球,其中,分别是圆柱上、下底面的圆心,则圆柱的表面积的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先求出球的半径,作出图形,利用三角函数表示出圆柱的表面积,结合函数的性质即可求最值.
【详解】
解:设球的半径为,依题意,得,解得.
根据题意画出图形,如下图所示.设,则圆柱底面半径为,
则圆柱的高为.因此圆柱的表面积,其中.
故圆柱的表面积的最大值为.
故选:B.
【点睛】
本题考查了球的体积,考查了圆柱的表面积,考查了辅助角公式,考查了三角函数的最值.几何问题中,关于最值的问题,一般由两种解题思路:一是找到临界点进行求解;二是结合函数的思想,利用函数的图像、导数、函数的单调性等求函数的最值.
二、填空题
13.若变量,满足约束条件则的最大值为________.
【答案】7
【解析】画出不等式组表示的平面区域,数形结合,即可容易求得目标函数的最大值.
【详解】
作出不等式组所表示的平面区域,如下图阴影部分所示.
观察可知,当直线过点时,有最大值,.
故答案为:.
【点睛】
本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划,主要考查推理论证能力以及数形结合思想,属基础题.
14.函数的极小值为________.
【答案】
【解析】求出,令导数为0,解出方程,从而可以看出 随 的变化情况,继而可求极小值.
【详解】
解:依题意,得,.令,解得.
所以当时,;当时,.
所以当时,函数有极小值.
故答案为: .
【点睛】
本题考查了极值的求法.求函数极值时,一般先求出函数的定义域,接着求出导数,令导数为0解方程,探究函数、导数随自变量的变化.注意,导数为0的点不一定是极值点.极值点的不仅要满足导数为0,还要满足左右两侧函数单调性相反.
15.已知双曲线:(,),直线:与双曲线的两条渐近线分别交于,两点.若(点为坐标原点)的面积为32,且双曲线的焦距为,则双曲线的离心率为________.
【答案】或
【解析】用表示出的面积,求得等量关系,联立焦距的大小,以及,即可容易求得,则离心率得解.
【详解】
联立解得.
所以的面积,所以.
而由双曲线的焦距为知,,所以.
联立解得或
故双曲线的离心率为或.
故答案为:或.
【点睛】
本题考查双曲线的方程与性质,考查运算求解能力以及函数与方程思想,属中档题.
16.记数列的前项和为,已知,且.若,则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】由得,两式相减可证明数列为等差数列,继而可求出,令,通过可知,当时,数列单调递减,故可求出最大值,进而可求 的取值范围.
【详解】
解:由,可得.
两式相减,可得,所以数列为等差数列.当时
由,得,又,解得.
所以,则.令,则.
当时,,数列单调递减,而,,
故,即实数的取值范围为.
故答案为: .
【点睛】
本题考查了等差数列的定义,考查了等差数列的前 项和,考查了数列的增减性.已知 的递推关系时,求通项公式常采用累加法、累乘法、构造新数列,或者令 将得到的式子与原式相减.
三、解答题
17.2019年篮球世界杯在中国举行,中国男篮由于主场作战而备受观众瞩目.为了调查国人对中国男篮能否进入十六强持有的态度,调查人员随机抽取了男性观众与女性观众各100名进行调查,所得情况如下表所示:
| 男性观众 | 女性观众 |
认为中国男篮能够进入十六强 | 60 |
|
认为中国男篮不能进入十六强 |
|
|
若在被抽查的200名观众中随机抽取1人,抽到认为中国男篮不能进入十六强的女性观众的概率为.
(1)完善上述表格;
(2)是否有99%的把握认为性别与对中国男篮能否进入十六强持有的态度有关?
附:,其中.
【答案】(1)表格见解析;(2)没有
【解析】(1)由概率可求出认为中国男篮不能进入十六强的女性观众的人数,结合男女各100人,即可求出表中所有数据.
(2)代入求出的观测值,进而可判断.
【详解】
(1)依题意,得认为中国男篮不能进入十六强的女性观众人数为.
完善表格如下表所示:
| 男性观众 | 女性观众 |
认为中国男篮能够进入十六强 | 60 | 50 |
认为中国男篮不能进入十六强 | 40 | 50 |
(2)本次试验中,的观测值.
所以没有99%的把握认为性别与对中国男篮能否进入十六强持有的态度有关.
【点睛】
本题考查了独立性检验,考查了概率.易错点是计算观测值.
18.的内角,,的对边分别是,,,已知.
(1)求角;
(2)若,,求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)利用余弦定理可求,从而得到的值.
(2)利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得,得到值后利用面积公式可求.
【详解】
(1)由,得.
所以由余弦定理,得.
又因为,所以.
(2)由,得.
由正弦定理,得,因为,所以.
又因,所以.
所以的面积.
【点睛】
在解三角形中,如果题设条件是关于边的二次形式,我们可以利用余弦定理化简该条件,如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式,那么我们可以利用正弦定理化简该条件,如果题设条件是边和角的混合关系式,那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
19.如图,四棱锥的底面是菱形,,平面平面,是等边三角形.
(1)求证:;
(2)若的面积为,求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】(1)取的中点,连接,,结合等边三角形和菱形可证明,,从而可证明平面,进而可证.
(2)由的面积为可求出的边长为4,由平面平面可知,平面,则分别求出的面积以及 的长,利用可求出点到平面的距离.
【详解】
(1)证明:取的中点,连接,,.
因为是等边三角形,是的中点,所以.
因为四边形是菱形,,所以是等边三角形,所以.
因为,且平面,平面,所以平面.
又因平面,所以.
(2)解:设,则,解得.
因为平面平面,,所以平面.
记点到平面的距离为,则.
易知,.在中,由,得
.边上的高为.
所以.而,
所以.解得.即点到平面的距离为.
【点睛】
本题考查了线线垂直的证明,考查了棱锥体积的求解.证明线线垂直,可利用矩形的临边垂直、等腰三角形三线合一、勾股定理证明,也可先证明线面垂直,进而可证线线垂直.在求点到平面的距离时,常用的思路有两个:一是建立空间直角坐标系,结合空间向量进行求解;二是结合几何体的体积进行求.
20.已知函数.
(Ⅰ)若,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)当时,要使恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)求函数的导函数,即可求得切线的斜率,则切线方程得解;
(Ⅱ)构造函数,对参数分类讨论,求得函数的单调性,以及最值,即可容易求得参数范围.
【详解】
(Ⅰ)当时,,则.
所以.
又,故所求切线方程为,即.
(Ⅱ)依题意,得,
即恒成立.
令,
则.
①当时,因为,不合题意.
②当时,令,
得,,显然.
令,得或;令,得.
所以函数的单调递增区间是,,单调递减区间是.
当时,,,
所以,
只需,所以,
所以实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求切线方程,以及利用导数研究恒成立问题,属综合中档题.
21.已知抛物线:().
(1)若抛物线的焦点到准线的距离为4,点,在抛物线上,线段的中点为,求直线的方程;
(2)若圆以原点为圆心,1为半径,直线与,分别相切,切点分别为,,求的最小值.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)由距离为4可求出进而可求出抛物线的方程.设,,代入到抛物线方程中,两式相减,结合中点坐标,即可求出的斜率,结合直线的点斜式,可求出直线的方程.
(2)设直线的方程为(),与抛物线、圆的方程联立,结合相切,可求,.设,通过切点既在直线上又在抛物线上,可求出,,从而,结合基本不等式,可求出有最小值.
【详解】
解:(1)由抛物线的焦点到准线的距离为4,得.所以抛物线的方程为.
设,,则,所以,即
.因为线段的中点的坐标为,
所以且.所以.
故直线的方程为,即直线的方程为
经检验符合题意.
(2)设直线的方程为().代入,得.()
由直线与抛物线相切可知,,故.①
又直线与圆相切,所以,即.②
联立①②,得,故.
设,解()式可得,,从而.
故,
当且仅当时,有最小值,为.
【点睛】
本题考查了抛物线的定义,考查了中点弦问题,考查了直线与圆锥曲线相切,考查了基本不等式.本题的难点在于计算量较大.对于中点弦问题,一般设出弦端点的坐标,带回方程,两式相减,通过整理,可得到弦的斜率和中点坐标的关系.
22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(m为参数),以坐标点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos(θ+)=1.
(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;
(2)已知点M (2,0),若直线l与曲线C相交于P、Q两点,求的值.
【答案】(1)l: ,C方程为 ;(2)=
【解析】(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.
(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.
【详解】
(1)曲线C的参数方程为(m为参数),
两式相加得到,进一步转换为.
直线l的极坐标方程为ρcos(θ+)=1,则
转换为直角坐标方程为.
(2)将直线的方程转换为参数方程为(t为参数),
代入得到(t1和t2为P、Q对应的参数),
所以,,
所以=.
【点睛】
本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.
23.已知x,y,z均为正数.
(1)若xy<1,证明:|x+z|⋅|y+z|>4xyz;
(2)若=,求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.
【答案】(1)证明见解析;(2)最小值为8
【解析】(1)利用基本不等式可得 , 再根据0<xy<1时, 即可证明|x+z|⋅|y+z|>4xyz.
(2)由=, 得,然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3,从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.
【详解】
(1)证明:∵x,y,z均为正数,
∴|x+z|⋅|y+z|=(x+z)(y+z)≥=,
当且仅当x=y=z时取等号.
又∵0<xy<1,∴,
∴|x+z|⋅|y+z|>4xyz;
(2)∵=,即.
∵,
,
,
当且仅当x=y=z=1时取等号,
∴,
∴xy+yz+xz≥3,∴2xy⋅2yz⋅2xz=2xy+yz+xz≥8,
∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8.
【点睛】
本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值,考查了转化思想和运算能力,属中档题.