2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟（三）数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】通过配方求出集合，解不等式求出集合，进而可得并集.
【详解】
对于集合A：配方得，
从而.
对于集合
，
解得，
，
从而.
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的并集运算，考查运算能力，是基础题.
2．已知为的共轭复数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先由已知求出，进而可得，则复数的模可求.
【详解】
由题意可知，
从而.
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的运算及共轭复数，命题陷阱：易被看成绝对值，从而导致错选，另外，易疏忽共轭复数的运算.
3．某地工商局对辖区内100家饭店进行卫生检查并评分，分为甲、乙、丙、丁四个等级，其中分数在，，，内的等级分别为：丁、丙、乙、甲，对饭店评分后，得到频率分布折线图，如图所示，估计这些饭店得分的平均数是（ ）
A．80.5 B．80.6 C．80.7 D．80.8
【答案】A
【解析】根据频率分布折线图计算该组数据的平均数为.
【详解】
由折线图可知，该组数据的平均数为.
故选：A.
【点睛】
此题考查根据频率分布折线图求平均数，关键在于熟练掌握平均数的求解公式.
4．已知数列是等比数列，，是方程的两根，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】根据韦达定理，结合等比数列性质即可得解.
【详解】
∵方程的两根分别为，，
∴∴由等比数列性质可知，
∴.又，∴.
故选：C.
【点睛】
此题考查等比数列性质，根据韦达定理得两根之积，结合等比数列性质求解指定项，易错点在于漏掉考虑符号.
5．已知函数是定义在上的偶函数，为区间上的任意两个不相等的实数，且满足，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先根据函数是偶函数可得出函数的图象关于直线对称，再由得在上为增函数，根据的大小关系可得函数值的大小.
【详解】
函数是偶函数，
函数的图象关于直线对称，从而函数的图象关于直线对称，
由得在上为增函数，
，由得，
从而，
即.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力，本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.
6．已知是不同的直线，是不同的平面，若直线，直线，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要
【答案】B
【解析】通过面面垂直的判定和性质分别判断充分性和必要性即可.
【详解】
当时，若，则不能得到，所以不能推出；
反之，若，因为，可推出.又，
所以，故是的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】
本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件､必要条件的判断，考察空间想象能力.
7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A． B． C．20 D．
【答案】D
【解析】在正方体中，根据三视图还原几何体，分别求解各表面的面积即可得解.
【详解】
由三视图可知该几何体为正方体截去一个小三棱锥，
如图.
，，.
在中，，，
可计算边上的高为，
∴，
从而可得该几何体的表面积为.
故选：D.
【点睛】
此题考查根据三视图求几何体的表面积，关键在于准确识别三视图，借助正方体还原几何体.
8．如图，已知圆的半径为1，直线被圆截得的弦长为，向圆内随机投一颗沙子，则其落入阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据面积公式求解阴影部分面积，结合几何概型求解概率.
【详解】
由题意知，∴，阴影部分面积为，
∴所求事件概率为.
故选：A.
【点睛】
此题考查几何概型，利用面积关系求解概率，关键在于熟练掌握相关面积公式及求解方法.
9．已知实数满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，变形，展开，利用基本不等式即可求最值.
【详解】
因为，所以，即，
，
当且仅当即时取等号.
故选：C.
【点睛】
本题考查基本不等式，考察转化与规划思想，应用基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.
10．如图，在中，为的中点，，为的两个三等分点，交于点，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据共线定理由，，三点共线，设，则，同理由，，三点共线，可得，建立方程组求解．
【详解】
连接，.由，，三点共线，可设，
由题意知，
，
所以.
同理由，，三点共线，
可设，
所以，
解得从而．
故选：A.
【点睛】
此题考查平面向量基本定理的应用，关键在于根据共线定理处理三点共线关系，建立等式求解参数．
11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限，满足，则直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【解析】设直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合利用韦达定理即可求解直线斜率得到倾斜角.
【详解】
由题意知，直线的斜率存在且大于0，设的方程为，
联立得，
∴，.又，
∴，，∴，∴，，
∴倾斜角为60°.
故选：C.
【点睛】
此题考查直线与抛物线位置关系，根据交点坐标，结合韦达定理求解参数是解析几何中常用的处理办法.
二、双空题
12．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动一掰玉米，现将这20名学生平均分成甲､乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重(单位：千克)，得到如下茎叶图：
已知两组数据的平均数相同，则_________；乙组的中位数为________.
【答案】
【解析】根据公式计算平均数，将乙组数据从小到大排序，可得中位数.
【详解】
由题意，先计算甲组平均数
，
因为，
所以，
解得.
将乙组数据从小到大排序，可知其中位数为.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查统计中的数字特征：平均数､中位数，考查学生的运算能力，是基础题.
三、填空题
13．某事业单位欲指派甲､乙､丙､丁四人下乡扶贫，每两人一组，分别分配到两地，单位领导给甲看乙，丙的分配地，给乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地，看后甲对大家说：我还是不知道自己该去哪里，则四人中可以知道自己的分配地的是_________.
【答案】乙､丁
【解析】从甲还不知道自己该去哪里开始分析，可得乙､丙必定一个在A地，一个在B地，再根据乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地可分析出结果.
【详解】
四人知道的情况是：组织分配的名额､自已看到的及最后甲说的话，根据甲说的话可以判断乙､丙必定一个在A地，一个在B地；所以甲、丁一个在A地，一个在B地.
又给乙看了丙的分配地，
所以乙知道自己的分配地；
给丁看了甲的分配地，丁就知道了自己的分配地，
故填乙､丁.
故答案为：乙､丁.
【点睛】
本题为简单的逻辑推理问题，考查基本知识与能力，考查学生应用所学知识解决实际问题的能力.
14．已知抛物线，有如下性质：由抛物线焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为，过抛物线的焦点，经反射后，反射光线与轴的距离为，则抛物线的方程为_________.
【答案】或
【解析】过点的直线为，与抛物线联立，求得，进而根据条件列方程可得的值，则抛物线方程可求.
【详解】
过点的直线为，
由，得或，
从而或3，
故所求抛物线方程为或.
故答案为：或.
【点睛】
本题考查抛物线方程的求解，考查运算能力，是基础题.
15．已知函数，满足恒成立，则实数的取值范围为_________.
【答案】
【解析】由题意可知，设，可得，求出的单调性，分，讨论，求出的单调性和最值，进而可得答案.
【详解】
由题意可知，
设，
则，所以在上为增函数，，
（1）当，即时，，从而在上为增函数，
所以恒成立；
（2）当，即，令，则.
又，所以，使得，
从而在上为减函数，当时，，不合题意.
综上得取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角函数与导函数的综合问题，考查灵活运用导数处理恒成立问题的能力，是中档题.
四、解答题
16．如图，为等边三角形，边长为3，为边上一点且，过作交的延长线于点.
（1）求的值；
（2）求的长.
【答案】（1）.（2）
【解析】（1）在中，由余弦定理求出，结合正弦定理求出的正弦值；
（2）在中，应用正弦定理，求出.
【详解】
（1）由题意可知，由余弦定理，
得
从而，
设，在中，由正弦定理，
得，即，
得；
（2）由题意知为锐角，所以，
而，
在中，由正弦定理，得，
所以.
【点睛】
本题考查解三角形主要应用：（1）三角形固有条件；（2）正､余弦定理；（3）三角形有关公式，是基础题.
17．如图，多面体中，平面，，为的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）通过证明得证线面平行；
（2）根据，利用等体积法求解点到平面距离.
【详解】
（1）取中点，连接，，由题意知为中点，
∴为的中位线，
∴，而，∴为平行四边形，
∴，而平面，平面，∴平面.
（2）∵为等边三角形，为中点，∴.
又∵平面，平面，∴.
又，∴平面.
由（1）可得，平面.由，，
可得，∴.
在中，，，∴，同理，而，易得，
而，由，得，即，
∴点到平面的距离是.
【点睛】
此题考查线面平行的证明和求解点到平面的距离，关键在于熟练掌握相关定理推理证明，常用换顶点的方式等体积法求解点到平面距离.
18．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过椭圆左焦点，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据离心率和椭圆上的点建立方程组求解；
（2）联立直线和椭圆的方程，得出面积，结合韦达定理利用函数关系求解面积最值.
【详解】
（1）由题意得解得
∴椭圆的标准方程为.
（2）由得，
∵过，∴，即，
∴，∴，，
∴
，
令，则且，
令，
则，且.
∵，∴当时，，
∴面积的最大值为.
【点睛】
此题考查求椭圆的方程，关键在于准确计算基本量，利用韦达定理处理直线和曲线形成弦长问题，转化为函数问题求解面积最值.
19．甲､乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.
（1）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率；
（2）设第次由甲投掷的概率为，求.
【答案】（1）.（2）
【解析】（1）搞清两种状况，①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，分别计算概率；
（2）由第次与次的关系，建立递推公式，构造等比数列数列，求出通项公式即可.
【详解】
由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有
共21种.
则点数之和大于6的概率为，小于等于6的概率为.
（1）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：
①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，
其概率为，
②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，
其概率为，
甲为“幸运儿”的概率为；
（2）第次由甲投掷这一事件，包含两类：
①第次由甲投掷，第次由甲投掷，其概率为，
②第次由乙投掷，第次由甲投掷，其概率为，
从而有，
数列是以为首项，为公比的等比数列
，
.
【点睛】
本题考查递推数列在概率统计中的应用，一般考查递推公式求通项公式，虽以概率为背景，实则考查数列较多一些，是一道难度较大的题目.
20．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）增区间为，，减区间为；（2）
【解析】（1）求出导函数，结合不等式得函数的单调区间；
（2）将问题转化为恒成立，利用导函数讨论函数的单调性，分类讨论求解最值，利用最小值大于等于0求解参数取值范围.
【详解】
（1）时，
，
若，则或，若，则，
所以的增区间为，，减区间为.
（2）由题意得恒成立，
即恒成立.
设，
则，令，
则.
令，则.
∵，∴，为上的增函数，
①当时，，
从而在上为增函数，
所以，
当，即时，，
从而在上为增函数，∴恒成立.
若，即时，由在上为增函数，且，，
∴在上，存在使得，
从而在上为减函数，
此时，不满足题意.
②时，由在上为增函数，
且，，
∴在上，存在，使得，
从而在上为减函数，
此时，
∴在上也为减函数，此时，不满足题意，
综上所述，的取值范围为.
【点睛】
此题考查导函数的应用，利用导函数讨论函数的单调性，分类讨论求解最值，解决不等式的恒成立问题，求解参数，涉及转化与化归，分类讨论思想.
21．在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，)，曲线.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设与交于两点(异于原点)，求的最大值.
【答案】（1）.（2）
【解析】（1）展开曲线的方程，利用，从而得曲线的极坐标方程；
（2）在极坐标系下，应用几何意义，确定线段之和，从而求出最值.
【详解】
（1）曲线可化为，
即，也即，
所以
所以曲线的极坐标方程为；
（2）由直线的参数方程可知，必过点，即圆的圆心，
从而
设，其中
则
所以当时，取得最大值为.
【点睛】
本题考查三种方程间的相互转化，是该类问题的考察对象，应用极坐标求最值问题也是常见方法，要求学生必须掌握，考查了转化与化归思想，是基础题.
22．已知实数满足且.
（1）证明：；
（2）证明：.
【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析
【解析】（1）应用关系，用一个表示另一个，达到减少变量的目的，从而进行作差比较；另外可应用“1”的代换思想，构造式子，变形为基本不等式的形式，进行证明；
（2）设，通过可得，利用基本不等式求得最大值，即可证明.
【详解】
（1）解法1：
从而可得；
解法2：
原不等式可化为
且
当且仅当时取等号，得证；
（2）设，则
，当且仅当时等号成立，得证.
【点睛】
本题考查不等式的证明，考察转化与化归思想，不等式证明问题多与基本不等式有关，用基本不等式证明应思考等号成立的条件，是中档题.
