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    2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟(三)数学(文)试题(解析版)

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    2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟(三)数学(文)试题

     

     

    一、单选题

    1.已知集合,则集合   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】通过配方求出集合,解不等式求出集合,进而可得并集.

    【详解】

    对于集合A:配方得

    从而.

    对于集合

    解得

    从而.

    故选:A.

    【点睛】

    本题考查集合的并集运算,考查运算能力,是基础题.

    2.已知的共轭复数,若,则   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】先由已知求出,进而可得,则复数的模可求.

    【详解】

    由题意可知

    从而.

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查复数的运算及共轭复数,命题陷阱:易被看成绝对值,从而导致错选,另外,易疏忽共轭复数的运算.

    3.某地工商局对辖区内100家饭店进行卫生检查并评分,分为甲、乙、丙、丁四个等级,其中分数在内的等级分别为:丁、丙、乙、甲,对饭店评分后,得到频率分布折线图,如图所示,估计这些饭店得分的平均数是(   

    A80.5 B80.6 C80.7 D80.8

    【答案】A

    【解析】根据频率分布折线图计算该组数据的平均数为.

    【详解】

    由折线图可知,该组数据的平均数为.

    故选:A.

    【点睛】

    此题考查根据频率分布折线图求平均数,关键在于熟练掌握平均数的求解公式.

    4.已知数列是等比数列,是方程的两根,则   

    A4 B C2 D

    【答案】C

    【解析】根据韦达定理,结合等比数列性质即可得解.

    【详解】

    方程的两根分别为

    由等比数列性质可知

    ..

    故选:C.

    【点睛】

    此题考查等比数列性质,根据韦达定理得两根之积,结合等比数列性质求解指定项,易错点在于漏掉考虑符号.

    5.已知函数是定义在上的偶函数,为区间上的任意两个不相等的实数,且满足,则的大小关系为(   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】先根据函数是偶函数可得出函数的图象关于直线对称,再由上为增函数,根据的大小关系可得函数值的大小.

    【详解】

    函数是偶函数,

    函数的图象关于直线对称,从而函数的图象关于直线对称,

    上为增函数,

    ,由

    从而

    .

    故选:D.

    【点睛】

    本题考查函数的奇偶性与单调性,考查对知识综合运用的能力,本题的根源是函数性质的综合,将奇偶性转化成对称性,结合对称性把变量化归到同一单调区间,从而应用单调性比较函数值的大小.

    6.已知是不同的直线,是不同的平面,若直线,直线,则的(   

    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

    C.充要条件 D.既不充分又不必要

    【答案】B

    【解析】通过面面垂直的判定和性质分别判断充分性和必要性即可.

    【详解】

    时,若,则不能得到,所以不能推出

    反之,若,因为,可推出.

    所以,故的必要不充分条件.

    故选:B.

    【点睛】

    本题考查面面垂直的判定与性质定理,以及充分条件、必要条件的判断,考察空间想象能力.

    7.已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是(   

    A B C20 D

    【答案】D

    【解析】在正方体中,根据三视图还原几何体,分别求解各表面的面积即可得解.

    【详解】

    由三视图可知该几何体为正方体截去一个小三棱锥

    如图.

    .

    中,

    可计算边上的高为

    从而可得该几何体的表面积为.

    故选:D.

    【点睛】

    此题考查根据三视图求几何体的表面积,关键在于准确识别三视图,借助正方体还原几何体.

    8.如图,已知圆的半径为1,直线被圆截得的弦长为,向圆内随机投一颗沙子,则其落入阴影部分的概率是(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】根据面积公式求解阴影部分面积,结合几何概型求解概率.

    【详解】

    由题意知,阴影部分面积为

    所求事件概率为.

    故选:A.

    【点睛】

    此题考查几何概型,利用面积关系求解概率,关键在于熟练掌握相关面积公式及求解方法.

    9.已知实数满足,且,则的最小值为(   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】,变形,展开,利用基本不等式即可求最值.

    【详解】

    因为,所以,即

    当且仅当时取等号.

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查基本不等式,考察转化与规划思想,应用基本不等式时,由和为定值,求其他和的最值,须两和相乘,化为基本不等式应用的模型.

    10.如图,在中,的中点,的两个三等分点,于点,设,则   

    A B

    C D

    【答案】A

    【解析】根据共线定理由三点共线,设,则,同理由三点共线,可得,建立方程组求解.

    【详解】

    连接.三点共线,可设

    由题意知

    所以.

    同理由三点共线,

    可设

    所以

    解得从而

    故选:A.

    【点睛】

    此题考查平面向量基本定理的应用,关键在于根据共线定理处理三点共线关系,建立等式求解参数.

    11.已知抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线交于两点,点在第一象限,满足,则直线的倾斜角为(   

    A30° B45° C60° D75°

    【答案】C

    【解析】设直线方程,联立直线方程和抛物线方程,结合利用韦达定理即可求解直线斜率得到倾斜角.

    【详解】

    由题意知,直线的斜率存在且大于0,设的方程为

    联立

    .

    倾斜角为60°.

     

    故选:C.

    【点睛】

    此题考查直线与抛物线位置关系,根据交点坐标,结合韦达定理求解参数是解析几何中常用的处理办法.

     

     

    二、双空题

    12.适逢秋收季节,为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质,某班随机抽取20名学生参加秋收劳动一掰玉米,现将这20名学生平均分成甲、乙两组,在规定时间内,将两组成员每人所掰的玉米进行称重(单位:千克),得到如下茎叶图:

    已知两组数据的平均数相同,则_________;乙组的中位数为________.

    【答案】       

    【解析】根据公式计算平均数,将乙组数据从小到大排序,可得中位数.

    【详解】

    由题意,先计算甲组平均数

    因为

    所以

    解得.

    将乙组数据从小到大排序,可知其中位数为.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查统计中的数字特征:平均数、中位数,考查学生的运算能力,是基础题.

     

    三、填空题

    13.某事业单位欲指派甲、乙、丙、丁四人下乡扶贫,每两人一组,分别分配到两地,单位领导给甲看乙,丙的分配地,给乙看丙的分配地,给丁看甲的分配地,看后甲对大家说:我还是不知道自己该去哪里,则四人中可以知道自己的分配地的是_________.

    【答案】乙、丁

    【解析】从甲还不知道自己该去哪里开始分析,可得乙、丙必定一个在A地,一个在B地,再根据乙看丙的分配地,给丁看甲的分配地可分析出结果.

    【详解】

    四人知道的情况是:组织分配的名额、自已看到的及最后甲说的话,根据甲说的话可以判断乙、丙必定一个在A地,一个在B地;所以甲、丁一个在A地,一个在B.

    又给乙看了丙的分配地,

    所以乙知道自己的分配地;

    给丁看了甲的分配地,丁就知道了自己的分配地,

    故填乙、丁.

    故答案为:乙、丁.

    【点睛】

    本题为简单的逻辑推理问题,考查基本知识与能力,考查学生应用所学知识解决实际问题的能力.

    14.已知抛物线,有如下性质:由抛物线焦点发出的光线,经抛物线反射后,反射光线与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为,过抛物线的焦点,经反射后,反射光线与轴的距离为,则抛物线的方程为_________.

    【答案】

    【解析】点的直线为,与抛物线联立,求得,进而根据条件列方程可得的值,则抛物线方程可求.

    【详解】

    点的直线为

    ,得

    从而3

    故所求抛物线方程为.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查抛物线方程的求解,考查运算能力,是基础题.

    15.已知函数,满足恒成立,则实数的取值范围为_________.

    【答案】

    【解析】由题意可知,设,可得,求出的单调性,分讨论,求出的单调性和最值,进而可得答案.

    【详解】

    由题意可知

    ,所以上为增函数,

    1)当,即时,,从而上为增函数,

    所以恒成立;

    2)当,即,令,则.

    ,所以,使得

    从而上为减函数,当时,,不合题意.

    综上得取值范围为.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查三角函数与导函数的综合问题,考查灵活运用导数处理恒成立问题的能力,是中档题.

     

    四、解答题

    16.如图,为等边三角形,边长为3为边上一点且,过的延长线于点.

    1)求的值;

    2)求的长.

    【答案】1.2

    【解析】1)在中,由余弦定理求出,结合正弦定理求出的正弦值;

    2)在中,应用正弦定理,求出.

    【详解】

    1)由题意可知,由余弦定理,

    从而

    ,在中,由正弦定理,

    ,即

    2)由题意知为锐角,所以

    中,由正弦定理,得

    所以.

    【点睛】

    本题考查解三角形主要应用:(1)三角形固有条件;(2)正、余弦定理;(3)三角形有关公式,是基础题.

    17.如图,多面体中,平面的中点,.

    1)求证:平面

    2)求点到平面的距离.

    【答案】1)见解析;(2

    【解析】1)通过证明得证线面平行;

    2)根据,利用等体积法求解点到平面距离.

    【详解】

    1)取中点,连接,由题意知中点,

    的中位线,

    ,而为平行四边形,

    ,而平面平面平面.

    2为等边三角形,中点,.

    平面平面.

    平面.

    由(1)可得,平面.

    可得.

    中,,同理,而,易得

    ,由,得,即

    到平面的距离是.

    【点睛】

    此题考查线面平行的证明和求解点到平面的距离,关键在于熟练掌握相关定理推理证明,常用换顶点的方式等体积法求解点到平面距离.

    18.已知椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,且椭圆的离心率为.

    1)求椭圆的标准方程;

    2)直线过椭圆左焦点,与椭圆交于两点,求面积的最大值.

    【答案】1;(2

    【解析】1)根据离心率和椭圆上的点建立方程组求解;

    2)联立直线和椭圆的方程,得出面积,结合韦达定理利用函数关系求解面积最值.

    【详解】

    1)由题意得解得

    椭圆的标准方程为.

    2)由

    ,即

    ,则

    ,且.

    时,

    面积的最大值为.

    【点睛】

    此题考查求椭圆的方程,关键在于准确计算基本量,利用韦达定理处理直线和曲线形成弦长问题,转化为函数问题求解面积最值.

    19.甲、乙两位同学每人每次投掷两颗骰子,规则如下:若掷出的点数之和大于6,则继续投掷;否则,由对方投掷.第一次由甲开始.

    1)若连续两次由甲投掷,则称甲为幸运儿,在共投掷四次的情况下,求甲为幸运儿的概率;

    2)设第次由甲投掷的概率为,求.

    【答案】1.2

    【解析】1)搞清两种状况,第一、第二次均由甲投掷,即甲第一次所掷点数之和大于6第一次由甲投掷,第二次由乙投掷,第三,四次由甲投掷,即第一次甲所掷点数之和小于等于6,第二次乙所掷点数之和小于等于6,第三次甲所掷点数之和大于6,分别计算概率;

    2)由第次与次的关系,建立递推公式,构造等比数列数列,求出通项公式即可.

    【详解】

    由题意知,投掷两颗骰子,共有36种结果,点数之和大于6的有

    21.

    则点数之和大于6的概率为,小于等于6的概率为.

    1)由题意可知甲成为幸运儿的情况有两种:

    第一、第二次均由甲投掷,即甲第一次所掷点数之和大于6

    其概率为

    第一次由甲投掷,第二次由乙投掷,第三,四次由甲投掷,即第一次甲所掷点数之和小于等于6,第二次乙所掷点数之和小于等于6,第三次甲所掷点数之和大于6

    其概率为

    甲为幸运儿的概率为

    2)第次由甲投掷这一事件,包含两类:

    次由甲投掷,第次由甲投掷,其概率为

    次由乙投掷,第次由甲投掷,其概率为

    从而有

    数列是以为首项,为公比的等比数列

    .

    【点睛】

    本题考查递推数列在概率统计中的应用,一般考查递推公式求通项公式,虽以概率为背景,实则考查数列较多一些,是一道难度较大的题目.

    20.已知函数.

    1)当时,求函数的单调区间;

    2)当时,不等式恒成立,求的取值范围.

    【答案】1)增区间为,减区间为;(2

    【解析】1)求出导函数,结合不等式得函数的单调区间;

    2)将问题转化为恒成立,利用导函数讨论函数的单调性,分类讨论求解最值,利用最小值大于等于0求解参数取值范围.

    【详解】

    1

    ,则,若,则

    所以的增区间为,减区间为.

    2)由题意得恒成立,

    恒成立.

    ,令

    .

    ,则.

    上的增函数,

    时,

    从而上为增函数,

    所以

    ,即时,

    从而上为增函数,恒成立.

    ,即时,由上为增函数,且

    上,存在使得

    从而上为减函数,

    此时,不满足题意.

    时,由上为增函数,

    上,存在,使得

    从而上为减函数,

    此时

    上也为减函数,此时,不满足题意,

    综上所述,的取值范围为.

    【点睛】

    此题考查导函数的应用,利用导函数讨论函数的单调性,分类讨论求解最值,解决不等式的恒成立问题,求解参数,涉及转化与化归,分类讨论思想.

    21.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,),曲线.以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

    1)求曲线的极坐标方程;

    2)设交于两点(异于原点),求的最大值.

    【答案】1.2

    【解析】1)展开曲线的方程,利用,从而得曲线的极坐标方程;

    2)在极坐标系下,应用几何意义,确定线段之和,从而求出最值.

    【详解】

    1)曲线可化为

    ,也即

    所以

    所以曲线的极坐标方程为

    2)由直线的参数方程可知,必过点,即圆的圆心,

    从而

    ,其中

    所以当时,取得最大值为.

    【点睛】

    本题考查三种方程间的相互转化,是该类问题的考察对象,应用极坐标求最值问题也是常见方法,要求学生必须掌握,考查了转化与化归思想,是基础题.

    22.已知实数满足.

    1)证明:

    2)证明:.

    【答案】1)答案见解析.2)答案见解析

    【解析】1)应用关系,用一个表示另一个,达到减少变量的目的,从而进行作差比较;另外可应用“1”的代换思想,构造式子,变形为基本不等式的形式,进行证明;

    2)设,通过可得,利用基本不等式求得最大值,即可证明.

    【详解】

    1)解法1

    从而可得

    解法2

    原不等式可化为

    当且仅当时取等号,得证;

    2)设,则

    ,当且仅当时等号成立,得证.

    【点睛】

    本题考查不等式的证明,考察转化与化归思想,不等式证明问题多与基本不等式有关,用基本不等式证明应思考等号成立的条件,是中档题.

     

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