2020届河南省焦作市高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题（解析版）

2020届河南省焦作市高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据并集的定义可求出集合.

【详解】

依题意，.

故选：D.

【点睛】

本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.

2．设复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出.

【详解】

依题意，

故.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题.

3．已知向量，，，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知，由得出，可得出，由此可得出，进而得解.

【详解】

由题意可知，由得出，

，即，因此，.

故选：C.

【点睛】

本题考查向量模长的计算，同时也考查了向量垂直的等价条件的应用，解题的关键就是得出，考查计算能力，属于基础题.

4．近年来，随着网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用的主要用途，随机抽取了名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：

①可以估计使用主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；

②可以估计不足的大学生使用主要玩游戏；

③可以估计使用主要找人聊天的大学生超过总数的.

其中正确的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据利用主要听音乐的人数和使用主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.

【详解】

使用主要听音乐的人数为，使用主要看社区、新闻、资讯的人数为，所以①正确；

使用主要玩游戏的人数为，而调查的总人数为，，故超过的大学生使用主要玩游戏，所以②错误；

使用主要找人聊天的大学生人数为，因为，所以③正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.

5．记等差数列的前项和为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由可得出，再利用等差数列的基本性质可得出结果.

【详解】

依题意，，故，即.

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题.

6．已知实数、、满足，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用幂函数的单调性得出、、三个数的大小关系，利用对数函数的单调性得出与的大小关系，由此可得出、、的大小关系.

【详解】

幂函数在上为增函数，且，即；

对数函数在上为增函数，.

因此，.

故选：A.

【点睛】

本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题.

7．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】分析每个选项中函数的奇偶性及各函数在区间上的单调性，由此可得出正确选项.

【详解】

对于A选项，函数的定义域为，，该函数为奇函数，

又，该函数在区间上单调递增；

对于B选项，解不等式，得或，该函数的定义域为，关于原点对称，，该函数为偶函数，

当时，，则，

内层函数在区间上为减函数，外层函数为增函数，

所以，函数在上单调递减；

对于C选项，作出函数的图象如下图所示：

由图象可知，该函数为偶函数，且在上单调递增；

对于D选项，函数的定义域为，

，该函数为偶函数.

内层函数在上单调递增，外层函数也为增函数，

所以，函数上单调递增.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数单调性与奇偶性的判断，熟悉函数奇偶性的定义以及单调性的一些判断方法是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.

8．已知长方体的表面积为，，则该长方体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意得出，由这两个等式计算出，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.

【详解】

依题意，，，

所以，，

故外接球半径，

因此，所求长方体的外接球表面积.

故选：A.

【点睛】

本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.

9．记双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的渐近线上，点、关于轴对称.若，，其中、、分别表示直线、、的斜率，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设直线的斜率为，根据以及与关于轴对称，可得出，由此可得出，由此可计算出双曲线的离心率.

【详解】

不妨设直线的斜率为，

由题易知，且直线与关于轴对称，，

因为，所以直线的斜率为，即，，

由可得，即，

所以，双曲线的离心率为.

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求解，涉及到直线斜率的应用，在计算时要注意将垂直、对称等关系转化为直线斜率之间的关系来求解，考查计算能力，属于中等题.

10．已知数列满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用的前项和求出数列的通项公式，可计算出，然后利用裂项法可求出的值.

【详解】

.

当时，；

当时，由，

可得，

两式相减，可得，故，

因为也适合上式，所以.

依题意，，

故.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.

11．已知函数，，.若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，由可知函数的一条对称轴方程为，可得出的表达式，再结合条件可求出的值.

【详解】

依题意.

因为，所以为函数图象的一条对称轴，

即，，所以，①.

因为，所以，②，结合①②可得，又，故，得或，解得或（舍去）.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，考查计算能力，属于中等题.

12．已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线、与抛物线分别交于、和、两点，其中直线过点，，.若，则当取到最大值时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先求出的值，得出抛物线的方程为，设，，，由抛物线的定义以及中点坐标公式得出，然后在中利用余弦定理可求出的最小值，由等号成立的条件可知为等边三角形，可设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线定义可求出.

【详解】

依题意，可知，设，，，

由抛物线定义可得.

因为，即，所以.

由余弦定理可得，

当且仅当时等号成立，故的最大值为，此时为等边三角形，

不妨直线的方程为，联立，消去y得，

故，，故.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用抛物线的定义求焦点弦长，涉及韦达定理的应用，同时也考查了抛物线中角的最值的计算，综合性较强，计算量大，属于难题.

二、填空题

13．的展开式中，含项的系数为______.

【答案】

【解析】求出二项展开式的通项，利用的指数为，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出结果.

【详解】

的展开式通项为，

令，得，因此，的展开式中，含项的系数为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.

14．设实数、满足，则的最大值为______.

【答案】

【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算可得出结果.

【详解】

作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.

观察可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，此时，取得最大值，

联立，解得，故的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

15．已知长方体的体积为，，平面，若点到直线的距离与到直线的距离相等，则的最小值为______.

【答案】

【解析】根据长方体的体积得出，然后以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据已知条件得出，然后利用空间中两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求出的最小值.

【详解】

因为长方体的体积为，，所以.以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则点到直线的距离为，点到直线的距离为，故.

而，故，故的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查空间中两点间距离最值的计算，涉及到空间直角坐标系的应用，考查计算能力，属于中等题.

16．已知函数，若函数仅有个零点，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】令，得出，令，将问题转化为直线与函数的图象有且仅有个交点，然后对与的大小进行分类讨论，利用数形结合思想得出关于实数的等式或不等式，即可求出实数的取值范围.

【详解】

令，则，得，令，

则问题转化为直线与函数的图象有且仅有个交点，

当时，，此时函数的图象与直线只有个公共点，符合题意；

当时，，若函数的图象与直线只有个公共点，

则，如下图所示，

显然成立，下面解不等式，即，

构造函数，，，令，得.

当时，，当时，.

所以，函数在处取得最大值，即，

所以，当且时，不等式恒成立，此时，.

当时，，若函数的图象与直线有个交点，则有，

即，由上可知，（舍去）.

综上所述，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键就是对与的大小关系进行分类讨论，并利用数形结合思想得出不等关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.

三、解答题

17．已知中，角、、所对的边分别为、、，，，，.

（1）求的大小；

（2）求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设，由可得出，再由，结合正弦定理得出，代入可求出的值，进而可求得的值；

（2）在中，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式可求出该三角形的面积.

【详解】

（1）因为，所以点在线段上，且，

故，①

记，则，.

因为，即，即，

结合①式，得，可得.

因为，所以，所以；

（2）在中，由余弦定理可得，

即，解得.

故.

【点睛】

本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，涉及共线向量的应用，考查计算能力，属于中等题.

18．随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.

（1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在（时）内的频率；

（2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；

（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在（时）内的周数为，求的分布列以及数学期望.

【答案】（1）；（2）；（3）分布列见解析；数学期望.

【解析】（1）用减去频率直方图中位于区间和的矩形的面积之和可得出结果；

（2）将各区间的中点值乘以对应的频率，再将所得的积全部相加即可得出所求平均数；

（3）由题意可知，利用二项分布可得出随机变量的概率分布列，并利用二项分布的均值可计算出随机变量的数学期望.

【详解】

（1）依题意，此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在（时）内的频率为；

（2）所求平均数为（时）；

（3）依题意，.，，，，.

故的分布列为

故.

【点睛】

本题考查频率分布直方图中频率和平均数的计算，同时也考查了二项分布的概率分布列和数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.

19．如图，五面体中，，平面平面，平面平面，，，点是线段上靠近的三等分点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）分别取、的中点、，连接、、、，证明出，可得出平面，证明出，可得出平面，利用面面平行的判定定理可得出平面平面，由此可得出平面；

（2）以为原点，、所在直线分别为轴、轴，以过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可计算出直线与平面所成角的正弦值.

【详解】

（1）如图，分别取、的中点、，连接、、、.

由题可知，.

设，易知，且.

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

同理平面，所以.

因为平面，平面，故平面.

因为，，所以.

因为，由余弦定理得，

，所以，

所以是以为斜边的等腰直角三角形，所以，

而，则.

因为平面，平面，所以平面.

因为，所以平面平面.

因为平面，所以平面；

（2）如图，连接，以为原点，、所在直线分别为轴、轴，以过点且垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，，所以，.

设为平面的一个法向量，则，即，

取，则，，即.

易知，设直线与平面所成的角为.

故，即直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】

本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

20．已知点、分别是椭圆的上、下顶点，以为直径作圆，直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点.

（1）若直线的倾斜角为，求（为坐标原点）的面积；

（2）若点、分别在直线、上，且，求直线的斜率.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，计算出点的横坐标，利用三角形的面积公式可计算出的面积；

（2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立，求出点的坐标，进而可求点的坐标，由可知直线、的斜率互为相反数，利用斜率公式可得出关于的方程，解出即可.

【详解】

（1）依题意，可知，，直线.

联立，消去可得，故.

将点横坐标代入直线的方程可得.

易知，故的面积；

（2）设直线，联立，得，

设，依题意，.

因为，所以，故:，则点.

若，则，即，

解得，即直线的斜率为或.

【点睛】

本题考查椭圆中三角形面积的计算，同时也考查了利用距离相等求直线的斜率，考查计算能力，属于中等题.

21．已知函数，.

（1）若，判断函数的单调性并说明理由；

（2）若，求证：关的不等式在上恒成立.

【答案】（1）函数在上单调递减，理由见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）求出函数的导数，分析导数在区间上的符号，即可得出结论；

（2）将所证不等式变形为，证明出，于是将不等式转化为证明，通过证明出，将不等式转化为，然后构造函数，利用单调性证明即可.

【详解】

（1）函数在上单调递减，理由如下：

依题意，，则.

当时，，故函数在上单调递减；

（2）要证，即证，

即证.

设，则.

当时，，所以在上单调递增，

所以，即.

故当时，，

故即证.

令，.

由（1）可知，，

故在上单调递增.

所以，当时，，即，

所以，当时，，

所以只需证明，即证明.

设，则.

所以在上单调递增，所以，所以原不等式成立.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，同时也考查了利用导数证明函数不等式，本题的难点在于利用分析法，通过构造函数逐步找到不等式成立的充分条件，对逻辑性思维要求较高，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.

22．已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于、两点.

（1）求实数的取值范围；

（2）若，点，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）将曲线的极坐标方程化为普通方程，将直线的参数方程化为普通方程，可知曲线为圆，利用圆心到直线的距离小于半径，列出关于实数的不等式，解出即可；

（2）将直线的参数方程化为（为参数），将该参数方程与曲线的普通方程联立，列出韦达定理，并利用的几何意义可计算出的值.

【详解】

（1）曲线，故，则，

即，直线，

故圆心到直线的距离，解得，

即实数的取值范围为；

（2）直线的参数方程可化为（为参数），

代入中，得.

记、对应的参数分别为、，则，.

故.

【点睛】

本题考查利用直线与圆的位置关系求参数，同时也考查了直线参数方程的几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出该不等式的解集；

（2）分和两种情况讨论，时，在上恒成立；时，作出函数，的图象，利用数形结合思想找出临界位置，可得出关于的不等式，解出的范围，综合可得出结论.

【详解】

（1）依题意.

若，原式化为，解得，故；

若，原式化为，解得，故；

若，原式化为，解得，故.

综上所述，不等式的解集为；

（2）依题意，

显然时该式成立.

当时，在同一直角坐标系中分别作出，的图象，如图所示.

观察可知，临界状态为曲线过点，此时，故.

综上所述，实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了函数不等式恒成立问题，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于中等题.