2020届河南名校联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）

2020届河南名校联盟高三第一次模拟考试卷

理 科 数 学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

3．设方程的根为，表示不超过的最大整数，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．在中，已知，，，则等于（    ）

A．或 B． C． D．

5．下列四个结论：

①命题“”的否定是“”；

②若是真命题，则可能是真命题；

③“且”是“”的充要条件；

④当时，幂函数在区间上单调递减．

其中正确的是（    ）

A．①④ B．②③ C．①③ D．②④

6．已知正项等比数列的前项和为，若，则（    ）

A． B． C． D．

7．的展开式中的系数为（     ）

A． B． C． D．

8．直线与曲线有且仅有个公共点，则实数的

取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（    ）

A． B． C． D．

10．已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于，两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知关于的方程恰有四个不同的实数根，则当函数时，实数的取值范围是（    ）

A． B．

C．  D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若平面向量，满足，平行于轴，，则      ．

14．实数，满足约束条件：，则的取值范围为      ．

15．半径为的球面上有，，，四点，且，，两两垂直，则，与面积之和的最大值为      ．

16．如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则      ．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）在数列中，，当时，其前项和满足．

（1）求的表达式；

（2）设，求的前项和．

18．（12分）如图所示的三棱柱中，平面，，，的中点为，若线段上存在点使得平面．

（1）求；

（2）求二面角的余弦值．

19．（12分）部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了名乘客，统计其乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过分钟)．将统计数据按，，，…，分组，制成频率分布直方图：

假设乘客乘车等待时间相互独立．

（1）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取人，记为；从乙站的乘客中随机抽取人，记为．用频率估计概率，求“乘客，乘车等待时间都小于分钟”的概率；

（2）从上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取人，表示乘车等待时间小于分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望．

20．（12分）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为直线上任意一点，过的直线交椭圆于点，，且为抛物线，求的最小值．

21．（12分）已知函数，．

（1）若存在极小值，求实数的取值范围；

（2）设是的极小值点，且，证明： ．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）已知直线的极坐标方程为，是与的交点，是与的交点，且，均异于原点，，求的值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）当，求不等式的解集；

（2）设对恒成立，求的取值范围．

2020届河南名校联盟高三第一次模拟考试卷

理科数学答 案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】C

【解析】由题意，集合，或，

，，则．

2．【答案】C

【解析】A．时不成立；

B．，，则，因此不正确；

C．，，则，正确；

D．取，，，，满足条件，，但是不成立，

故选C．

3．【答案】B

【解析】构造函数，由于函数与在定义域上都是单调递增函数，故在定义域上单调递增，

由，，

则函数的零点在之间，故，．

4．【答案】C

【解析】由正弦定理知．

∵，∴或，

又∵，∴，∴，∴．

5．【答案】A

【解析】①命题“”的否定是“”，

特称命题的否定是换量词，否结论，不变条件，故选项正确；

②若是真命题，则和均为真命题，则一定是假命题，故选项不正确；

③“且”，则一定有“”，

反之“”，，也可以满足，

即，的范围不唯一，“且”是“”的充分不必要条件，故选项不正确；

④当时，幂函数在区间上单调递减，是正确的，

幂函数在第一象限的单调性只和指数有关，函数单调递增，函数单调递减．

故选项正确．

6．【答案】B

【解析】正项等比数列的前项和为，，，

，解得，，

∴．

7．【答案】C

【解析】∵，

二项展开式的通项为，

二项展开式的通项为，

则，解得，，

所以，展开式中的系数为．

8．【答案】C

【解析】如图所示，直线过点，

圆的圆心坐标，，

直线与曲线有且仅有个公共点，

设为，，则，，

直线与曲线相切时，或(舍去)，

直线与曲线有且仅有个公共点，

则实数的取值范围是．

9．【答案】C

【解析】∵，，

所以，

所以此次数学考试成绩在分到分之间的人数约为．

故选C．

10．【答案】C

【解析】如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，

则四边形是平行四边形，

∴，∴，取，

∵点到直线的距离不小于，∴，解得，

∴，∴，∴椭圆的离心率范围是．

11．【答案】B

【解析】对于函数，令，

解得，

当时，令，则；

对于函数，令，

解得，

当时，令，则．

易得当函数与均在区间单调递减时，的最大值为，

的最小值为，所以的最大值为．

12．【答案】B

【解析】，令，解得或，

∴当或时，；当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

∴当时，函数取得极大值，

当时，函数取得极小值，

作出的大致函数图象如图所示，

令，则当或时，关于的方程只有一个解；

当时，关于的方程有两个解；

当时，关于的方程有三个解，

∵恰有四个零点，

∴关于的方程在上有一个解，在上有一个解，

显然不是方程的解，

∴关于的方程在和上各有一个解，

∴，解得，

即实数的取值范围是．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】或

【解析】，

则或．

14．【答案】

【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图：

其中，

因为表示与点连线斜率，

由图可得：当点在点处时，它与点连线斜率最小为．

所以的取值范围为．

15．【答案】8

【解析】将四面体置于长方体模型中，则长方体外接球半径为，

不妨设，，，

则．

记，

，即，

当且仅当时“”成立．

16．【答案】

【解析】连结、，可得是边长为的等边三角形，

所以，

可得直线的斜率，直线的斜率为，

因此，直线的方程为，直线的方程为，

设，由，解得，

因为圆与直线相切于点，所以，

因此，

故直线的斜率，因此直线的方程为，

代入椭圆方程，消去得，解得或，

因为直线交椭圆于与点，设，可得，

由此可得．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵，，∴，

即①，

由题意得，①式两边同除以，得，

∴数列是首项为，公差为2的等差数列，

∴，∴．

（2）∵，

∴．

18．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）如图，在平面内过点作的垂线分别交和于，，连接，

在平面内过点作的垂线交于，连接，

依题意易得，，，，，五点共面，

因为平面，所以①，

在中，，，

因此为线段靠近的三等分点，由对称性知，为线段靠近的三等分点，

因此，，代入①，得．

（2）由（1）可知，是平面的一个法向量且，，

设平面的法向量为，则可以为，

，

因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为．

19．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．

【解析】（1）设表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间小于分钟”，表示事件“乘客，乘车等待时间都小于分钟”．

由题意知，乘客乘车等待时间小于分钟的频率为:，

故的估计值为．

乘客乘车等待时间小于分钟的频率为，

故的估计值为．

又，故事件的概率为．

（2）由（1）可知，乙站乘客乘车等待时间小于分钟的频率为，

所以乙站乘客乘车等待时间小于分钟的概率为．

显然，的可能取值为0，1，2，3且，

所以；；

；．

故随机变量的分布列为：

．

20．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），而，

又，得，，故椭圆的标准方程为．

（2）由（1）知，

∵，故，

设，∴，直线的斜率为，

当时，直线的方程为，也符合方程；

当时，直线的斜率为，直线的方程为；

设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得，

消去，得，，，，

，

，

当且仅当，即时，等号成立，

∴的最小值为．

21．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1），

令，则，

所以在上是增函数，

又因为当时，；当时，，

所以，当时，，，函数在区间上是增函数，不存在极值点；

当时，的值域为，必存在使，

所以当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，

所以存在极小值点，综上可知实数的取值范围是．

（2）由（1）知，，即，所以，

，

由，得，令，显然在区间上单调递减，

又，所以由，得，

令，，

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，

所以，当时，函数取最小值，所以，

即，即，所以，，

所以，即．

22．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由消去参数，得的普通方程为，

由，得，

又，，

所以的直角坐标方程为．

（2）由（1）知曲线的普通方程为，

所以其极坐标方程为．

设点，的极坐标分别为，，则，，

所以，

所以，即，解得，

又，所以．

23．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，，即，

当时，原不等式化为，得，即；

当时，原不等式化为，即，即；

当时，原不等式化为，得，即．

综上，原不等式的解集为．

（2）因为，所以，可化为，

所以，即对恒成立，

则，所以的取值范围是．