2020届河南省焦作市高三第一次模拟数学（理）试题（解析版）

2020届河南省焦作市高三第一次模拟数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则 (    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据集合，求得集合，再根据集合的交运算求得结果即可.

【详解】

依题意得，

解得，即，

所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的交运算，属基础题.

2．已知复数满足 (为虚数单位），则复数（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以 ，选B.

3．人体的体质指数（BMI）的计算公式：BMI＝体重÷身高（体重单位为，身高单位为）.其判定标准如下表：

某小学生的身高为，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意中给出的体重计算公式，即可对体重进行估算.

【详解】

题意得，体重＝BMI×身高，因为此人属于超标，所以，

所以此学生的体重范围为，

即，

故选：C.

【点睛】

本题考查实际问题中，函数值域的求解，属基础题.

4．若，满足约束条件，则的最小值为(    )

A．9 B．6.5 C．4 D．3

【答案】D

【解析】根据题意，画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得.

【详解】

不等式组所表示的可行域为下图中的，

因为目标函数与直线平行，

故当目标函数对应的直线经过点时，取得最小值3.

故选：D.

【点睛】

本题考查简单线性规划求目标函数最值的问题，属基础题.

5．已知数列是等差数列，且，则(    )

A．12 B．9 C．6 D．3

【答案】A

【解析】根据等差数列通项的基本量的计算，整理化简后，根据已知条件，即可求得.

【详解】

设数列的公差为，

则.

故选：A.

【点睛】

本题考查等差数列通项的基本量的计算，属基础题.

6．某种微生物的繁殖速度与生长环境中的营养物质浓度相关，在一定条件下可用回归模型进行拟合.在这个条件下，要使增加2个单位，则应该(    )

A．使增加1个单位 B．使增加2个单位

C．使增加到原来的2倍 D．使增加到原来的10倍

【答案】D

【解析】根据的增加量，根据题意，进行对数运算，即可求得结果.

【详解】

设的增加量为，的增加量为，

故可得，解得，

故要使得增加2个单位，应增加到原来的10倍.

故选：D.

【点睛】

本题考查回归模拟，本质是考查对数的运算，属综合基础题.

7．已知是的重心，且，则实数(    )

A．3 B．2 C．1 D．

【答案】C

【解析】将用，表示出来，根据是重心，即可列方程求得参数的值.

【详解】

因为是的重心，所以，解得.

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的线性运算，涉及三角形重心的向量表示，属基础题.

8．某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，是线段上的点，则在原三棱柱中，的最小值为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】将展开图折成立体图形，然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，即可求得结果.

【详解】

将展开图折成立体图形，如下图所示：

然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，如下图所示.

因为，，所以，

即的最小值为.

故选：B.

【点睛】

本题考查几何体的还原，以及几何体上距离的最值问题，属综合性基础题.

9．已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列说法正确的个数为(    )

①；②的一个周期为8；③图象的一个对称中心为；④图象的一条对称轴为.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】根据是偶函数，是奇函数，则可得函数周期，根据函数的周期性，即可对每个选项进行逐一分析，从而求得结果.

【详解】

因为是的对称轴，是的对称中心，

所以是周期函数，且8为函数的一个周期，故②正确；

，故①正确；

因为每隔半个周期出现一个对称中心，

所以是函数的对称中心，故③正确；

，所以不是函数的图像的对称轴，故④错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的周期性和对称性，属函数性质综合基础题.

10．将函数图象上所有的点按照向量平移得到函数的图象，若，则的最小值为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出函数的对称轴，根据与最近的对称轴求得点关于该对称轴的对称点，即可计算求得结果.

【详解】

令得图像的对称轴为，

其中距离最近的对称轴为.

点关于直线对称的点为.

要使最小，则.

故选：C.

【点睛】

本题考查由正弦型函数的图像变换，求参数值的问题，属基础题.

11．如图所示，直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，若，且的面积为，则的离心率为(    )

A． B． C．2 D．

【答案】B

【解析】设，根据面积公式和向量数量积的运算，列出方程组，求得，即可得的等量关系，再转化为离心率即可.

【详解】

设，

由题意可得，，

所以，由，

可得（负值舍去），

又因为，

所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求解，涉及向量的数量积运算，三角形的面积公式，正余弦的倍角公式，属综合基础题.

12．已知函数，若，则的最小值为(    )

A． B． C． D．1

【答案】B

【解析】根据题意，画出的函数图像，根据对数和指数运算，用中间变量求出，再求的最小值即可.

【详解】

函数的图象如下图所示：

设，则.

由，，得，.

当时，，，.

考虑.

由下图可知：

当时，，

所以，即，

故的最小值为.

故选：B.

【点睛】

本题考查指数函数和对数函数的图像，涉及指数和对数运算，属综合性中档题.

二、填空题

13．的展开式中项的系数为______.

【答案】60

【解析】根据二项展开式的通项公式，通过赋值，即可求得.

【详解】

展开式的通项为.

令，得.

故答案为：60.

【点睛】

本题考查二项展开式中某一项系数的计算，属基础题.

14．曲线在点处的切线方程为______.

【答案】

【解析】求出函数的导函数，解得，再用点斜式即可求得切线的方程.

【详解】

由，

得.

所以.

所以曲线在点处的切线方程为

，

即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，涉及切线方程的求解，属基础题.

15．已知圆：，直线：与圆交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数______.

【答案】1或

【解析】根据三角形的形状，以及半径长度，即可求得圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式，即可求得参数.

【详解】

由题意得，圆的半径为2，

因为为等腰直角三角形，

所以圆心到直线的距离，

解得或.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查点到直线的距离公式，属基础题.

16．已知数列是各项均为正数的等比教列，其前项和为，且，.若关于的不等式的解集中有6个正整数，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】根据等比数列基本量的计算，求得和，结合函数，的图像，夹逼出不等式，解不等式即可.

【详解】

由题意可知且，

解得，所以，.

由，得.

结合函数，的图像如下图所示：

若原不等式的解集中有6个正整数，

则，

解得，

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查等比数列的基本量的计算，涉及指数函数图像的绘制，以及数形结合的数学思想，属综合困难题.

17．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求直线和曲线的普通方程；

（2）设为曲线上的动点，求点到直线距离的最小值及此时点的坐标.

【答案】（1），；（2），.

【解析】（1）利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程；

（2）利用参数方程，结合点到直线的距离公式，将问题转化为求解二次函数最值的问题，即可求得.

【详解】

（1）直线的普通方程为.

在曲线的参数方程中，，

所以曲线的普通方程为.

（2）设点.

点到直线的距离.

当时，，所以点到直线的距离的最小值为.

此时点的坐标为.

【点睛】

本题考查将参数方程转化为普通方程，以及利用参数方程求距离的最值问题，属中档题.

三、解答题

18．的内角，，的对边分别为，，，已知.

（1）证明：是等腰三角形；

（2）若，且的面积为，求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）或.

【解析】（1）对切化弦，再根据角度的范围，即可得到结论；

（2）根据（1）中所求，可以求得，再根据面积公式，即可求得，再结合余弦定理，即可求得.

【详解】

（1）由正弦定理及，

得，即.

因为，所以，

所以是等腰三角形.

（2）由（1）知，所以.

因为，

所以.

又，

所以.

若，则，

即，解得；

若，则，

即，解得.

所以或.

【点睛】

本题考查三角形形状的判断，以及余弦定理的应用，属综合基础题.

19．某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理， 每笼亏损20元.该包子店记录了60天包子的日需求量（单位：笼，），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率.

（1）设为一天的包子需求量，求的数学期望.

（2）若该包子店想保证以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？

（3）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设为当天的利润（单位：元），求的分布列和数学期望.

【答案】（1）；（2）19；（3）分布列见解析，685.

【解析】（1）根据条形图计算每日需求量的概率，结合数学期望的计算公式即可求得；

（2）根据题意，计算和的概率，即可进行判断；

（3）根据题意，得到的可取值，写出其分布列，通过分布列计算数学期望即可.

【详解】

（1）由题意得的数学期望为

.

（2）因为，，

所以包子店每天至少要做19笼包子.

（3）当时，；

当时，；

当时，.

所以的可能取值为600，660，720，且，，.

所以的分布列为

所以的数学期望为.

【点睛】

本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，涉及条形图中概率的计算，属中档题.

20．如图，已知四棱锥，平面平面，四边形是菱形，.

（1）若，证明：；

（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）根据题意，取中点为，通过证明平面进而推证线线垂直；

（2）以对角线的交点为，建立直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过求解法向量的夹角，进而求得二面角的大小.

【详解】

（1）取的中点，连接，.如下图所示：

∵，∴.

∵四边形是菱形，且，

∴，∴.

∵，∴平面，

∴.

又在菱形中，，

∴.

（2）设与交于点，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，

则，.

，.

由（1）知，

∵平面平面，

∴平面.

则，，，，

，

设平面的法向量为，

∵，∴，

取，得.

设平面的法向量为，

∵，∴，

取，得.

设平面与平面所成锐二面角为，

则.

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

【点睛】

本题考查由线面垂直推证线线垂直，以及用向量法求解二面角，属综合性中档题；本题的难点在于如何建立直角坐标系.

21．设椭圆：的左顶点为，右焦点为，已知.

（1）求椭圆的方程；

（2）抛物线与直线交于，两点，直线与椭圆交于点（异于点），若直线与垂直，求的值.

【答案】（1）；（2）2.

【解析】（1）根据，结合，解方程组即可求得椭圆方程；

（2）根据题意，先求出点的坐标，再写出直线方程，联立椭圆方程，求得点，再根据向量，即可得到的方程，求解即可得到结果.

【详解】

（1）设椭圆的半焦距为，则.

又因为，所以.

解得，.

所以椭圆的方程为.

（2）将代入得，

不妨取，，

由（1）可知，从而直线的方程为.

联立方程组消去得.

设，因为点异于点，由根与系数的关系得，

所以，.

所以，.

因为，所以，

解得.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，以及直线和椭圆相交时，韦达定理的应用，涉及抛物线的方程，属综合中档题.

22．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若存在，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.

【解析】（1）求导，对参数进行分类讨论，求得不同情况下的单调性即可；

（2）根据题意构造函数，将问题转化为求解该函数最大值的问题，进而利用导数研究其单调性求得结果即可.

【详解】

（1）.

令，则，

当时，在上，，在上，，

∴的单调递减区间为，单调递增区间为.

当时，在上，，在上，，

∴的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由，得，即.

设，则恒成立，即.

，

因为，则在上，，在上，，

∴在上单调递增，在上单调递减.

∴.

存在，使得成立，则.

令，，

∴在上，，在上，，

∴在上单调递减，在上单调递增.

∴.

∴的取值范围为.

【点睛】

本题考查利用导数研究含参函数的单调性，以及利用导数处理恒成立问题的能力，属综合性中档题.

23．已知，，为正数，且，证明：

（1）；

（2）.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）利用均值不等式即可求证；

（2）利用，结合，即可证明.

【详解】

（1）∵，同理有，，

∴.

（2）∵，∴.

同理有，.

∴

.

【点睛】

本题考查利用均值不等式证明不等式，涉及的妙用，属综合性中档题.