2020届河南省鹤壁市高级中学高三下学期线上第二次模拟数学（文）试题（解析版）

2020届河南省鹤壁市高级中学高三下学期线上第二次模拟数学（文）试题

一、单选题

1．集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据集合的交、并、补运算得解.

【详解】

由题意得，所以

所以

故选D.

【点睛】

本题考查集合的交、并、补运算，属于基础题.

2．为虚数单位，若复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对等式进行复数四则运算得，其共轭复数．

【详解】

因为，所以，

所以，故选B.

【点睛】

本题考查复数四则运算、共轭复数概念，考查基本运算能力，注意题目求的是复数的共轭复数，而不是求复数．

3．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（   ）

A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著

B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关

C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上

D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列

【答案】D

【解析】由折线图逐项分析即可求解

【详解】

选项，显然正确；

对于，，选项正确；

1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故错.

故选：D

【点睛】

本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题

4．已知向量，的夹角为，且，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】对两边平方，转化成关于的二次方程，根据，得到．

【详解】

因为，

所以，

所以，解得：或，由，所以，故选A.

【点睛】

本题考查向量数量积的运算，考查方程思想，注意等式的灵活运用．

5．要得到函数的图象，只需把函数的图象（    ）

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】A

【解析】利用三角恒等变换思想化简三角函数的解析式，利用图象平移规律可得出结论.

【详解】

，

函数，

把函数的图象向左平移个单位，可得到函数的图象.

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数的图象变换，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查推理能力，属于基础题.

6．若变量，满足约束条件，则的最大值是（    ）

A． B． C．-2 D．

【答案】B

【解析】作出不等式组对应平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．

【详解】

画出不等式组表示的可行域，

表示通过可行域内的点与坐标原点的直线的斜率，

又解得C，

由图可知：

点C与坐标原点的连线斜率最大，即.

故选：B

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键．

7．数列的通项公式，其前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】计算出，再由可得出的值.

【详解】

对任意的，

，

，因此，.

故选：A.

【点睛】

本题考查数列求和，计算出是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

8．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令圆的半径为1，则，故选C。

9．设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】C

【解析】∵，∴，∴，，∴，，∴满足的正整数的值为12，故选C.

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据三视图判断出几何体的直观图，结合三视图的数据可计算出该几何体的体积.

【详解】

由三视图还原原几何体如图，

该几何体可看作两个几何体的组合体，

左侧是四分之一圆锥，右侧是四棱锥，圆锥的底面半径为，高为，

棱锥的底面是边长为的正方形，一条侧棱垂直于底面，且长度为．

所以，该几何体的体积为.

故选：A.

【点睛】

本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．

11．设双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上的点，且与轴垂直，的内切圆的方程为，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设内切圆的圆心为，利用平几相关知识得，再由倍角公式得，从而得到，利用双曲线的定义和，求得，代入渐近线方程得：。

【详解】

设内切圆的圆心为，如图所示：

点则为的角平分线，所以，

所以，

所以，在中，，

所以，

所以，所以双曲线的渐近线方程为，故选B.

【点睛】

本题考查双曲线的渐近线方程，求解过程中灵活运用平面几何知识，能使运算量大大减少，使问题的求解更简洁。

12．设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，，有，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】构造函数，可知该函数为奇函数，利用导数可判断出函数在区间上为减函数，进而得出该函数在定义域上为减函数，将所求不等式变形为，利用函数的单调性可解出所求不等式.

【详解】

令，定义域为，

因为函数为奇函数，，

则函数是定义在上的奇函数，

，

因为，有，

当时，，则在上单调递减.

则函数是上的奇函数并且单调递减，

又等价于，即，，

又，因此，.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查利用构造函数求解函数不等式，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

二、填空题

13．已知2a=5b=m,且=1,则m=____.

【答案】10

【解析】因为2a=5b=m,所以a=log2m,b=log5m,

由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1,则m=10.

点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．

(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．

14．椭圆上的点到直线的最大距离是_______

【答案】

【解析】设与平行且与椭圆相切的直线方程为，联立直线方程和椭圆方程，由判别式等于0求得c的值，把椭圆上的点到直线的最大距离转化为与椭圆的相切的的直线和其平行线间的距离.

【详解】

设直线与椭圆相切．

由消去x整理得.

由得.

当时符合题意(舍去)．

即x+2y+=0与椭圆相切,椭圆上的点到直线的最大距离即为两条平行线之间的距离:

【点睛】

本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和椭圆的关系，体现了数学转化思想方法，解答本题的关键是理解椭圆上的点到直线的最大距离，与这条直线和它平行且与椭圆的相切的直线间的距离的关系.

15．已知函数在函数的零点个数__________．

【答案】4

【解析】当时， ，所以，或，本题转化为上述方程有几解，当时，或，当时，或，所以共有四个解，因此零点个数为4个，故填：4．

16．已知为曲线在处的切线，当直线与坐标轴围成的三角形面积为时，实数的值为______.

【答案】或

【解析】求出函数的导数，求得在点处的切线方程，令求出的值，令求出的值，再由三角形的面积公式，得到关于的方程，从而求得或。

【详解】

因为，所以，

所以切线的方程为：，

令得：；令得：，

所以，解得：或，故填：或。

【点睛】

本题考查导数的几何意义、曲线在某点处的切线方程，考查运算求解能力。

三、解答题

17．在中，三边，，的对角分别为，，，已知，.

（1）若，求；

（2）若边上的中线长为，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用正弦定理把等式中的边化成角，利用三角恒等变换得到，再利用正弦定理，求得；

（2）设边上的中线为，利用向量加法法则得，对式子两边平方转化成代数运算，求得，再利用三角形的面积公式求面积的值．

【详解】

（1）因为，

由正弦定理，得，

所以.

所以.又因为，所以.

因为，所以.

又因为，所以，所以.

（2）设边上的中线为，则，

所以，

即，.

解得或（舍去）.

所以.

【点睛】

本题考查正弦定理、面积公式在解三角形中的运用，解题过程中向量关系的两边平方后，本质是余弦定理．

18．如图，在矩形中，，，点是边上的一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且有.

（1）证明：.

（2）求四棱锥的体积.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）取的中点，连接，，推导出，，由此能证明，可得，结合证得.

（2））由（1）结合垂直关系可计算四棱锥的高及底面的面积，能求出的体积．

【详解】

（1）取的中点，连接，，

由已知得，∴，又点是的中点，∴.

因为，点是线段的中点，∴.

又因为，∴，从而平面，

∴，又，不平行，∴平面.

（2）由（1）知，，

底面的面积为，

∴四棱锥的体积.

【点睛】

本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查了空间思维能力，是中档题．

19．某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动车（含电动自行车和电动汽车）免费提供电池检测服务.现从全市已挂牌照的电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本分布如图.

（1）采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，再从这9辆中随机抽取2辆，求至少有一辆为电动汽车的概率；

（2）为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如下：①电动自行车每辆补助300元；②电动汽车每辆补助500元；③对电池需要更换的电动车每辆额外补助400元.试求抽取的100辆电动车执行此方案的预算；并利用样本估计总体，试估计市政府执行此方案的预算.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据频数图，利用分层抽样得电动自行车应抽取4辆，电动汽车应抽取5辆，再利用古典概型和对立事件求得：至少有一辆为电动汽车的概率为；

（2）由频数图，计算样本中100辆电动车共补助元，算出每辆电动车平均需补助的钱乘以可得估计出市政府执行此方案的预算。

【详解】

（1）根据分层抽样的原理，电动自行车应抽取（辆），

电动汽车应抽取（辆）.

从9辆电动车中抽取2辆，设电动汽车和电动自行车分别为，，，，，，，，，

可得抽法总数为36种，

其中2辆均为电动自行车的有,,,,,,共6种.

“设从这9辆中随机抽取2辆，至少有一辆为电动汽车”为事件，

则.

（2）由条件可知，这100辆电动车中电动自行车60辆，电动汽车40辆，其中电池需要更换的电动自行车8辆，电动汽车1辆.根据补助方案可知，这100辆电动车共补助

（元）.

由样本估计总体，市政府执行此方案的预算大约需要

（元）.即为所求.

【点睛】

本题考查从图中抽取数据信息、古典概型计算概率、样本估计总体思想，考查基本数据处理能力。

20．已知动点到直线的距离比到定点的距离大1.

（1）求动点的轨迹的方程.

（2）若为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，，切点为，，为的中点.

①求证：轴；

②直线是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②.

【解析】（1）由题意知，动点到直线的距离等于到定点的距离，符合抛物线的定义，求轨迹的方程为；

（2）①设动点，，，利用导数求出切线的方程分别为：、，从而有，为方程的两根，证明点的横坐标与点的横坐标相等，从而证得轴；

②由①中的结论，把直线的方程写成含有参数的形式，即

并把方程看成关于的一次函数，从而得到定点为。

【详解】

（1）由动点到直线的距离比到定点的距离大1得，

动点到直线的距离等于到定点的距离，

所以点的轨迹为顶点在原点、开口向上的抛物线，其中，

轨迹方程为.

（2）①设切点，，，所以切线的斜率为，

切线.

设，则有，化简得.

同理可得.

所以，为方程的两根.

则有，，所以.

因此轴.

② 因为，

所以.又因为，

所以直线，即.

即直线过定点.

【点睛】

本题考查抛物线的定义求方程、利用导数求切线方程、直线与抛物线相切、直线过定点等知识，考查运算求解和逻辑推理能力。特别是在求证直线过定点进，也可以有另外的思路，即把直线设成的形式，然后寻找的关系，再把直线方程转化成只含变量或变量的方程。

21．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）对任意的，，，恒有，求实数的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）对函数进行求导后得到，对分情况进行讨论：、、、；

（2）由（1）知在上单调递减，不妨设，从而把不等式中的绝对值去掉得：，进而构造函数，把问题转化为恒成立问题，求得实数的取值范围．

【详解】

（1），

当时，，所以在上单调递增；

当时，或，，所以在，上单调递增；

，，所以在上单调递减.

当时，或，，所以在，上单调递增；

，，所以在上单调递减.

当时，，，所以在上单调递减；

，，所以在上单调递增.

（2）因为，由（1）得，在上单调递减，不妨设，

由得，

即.

令，

，只需恒成立，

即恒成立，

即，

即.因为（当且仅当时取等号），

所以实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性、全称量词和存在量词的综合、不等式恒成立问题等，对分类讨论思想的要求较高，在第（2）问的求解时，去掉绝对值后，构造新函数，再利用导数研究新函数是解决问题的难点．

22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.

（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当时，求曲线，的极坐标方程；

（2）若曲线与曲线交于，两点（不重合），求的取值范围.

【答案】（1）,；（2）.

【解析】（1）把曲线，先化成普通方程，再化成极坐标方程；

（2）把（为参数）代人，利用参数的几何意义得，再根据直线与圆相交的几何性质得，从而得以式子的取值范围。

【详解】

（1）当时，直线的极坐标方程为.

由（为参数），得.

极坐标方程为.

（2）把（为参数）代人，得

.

设，对应的参数分别为，，

则（由几何性质得），

.

因为，所以.所以.

的取值范围为.

【点睛】

本题考查参数方程与极坐标方程互化、参数的几何意义求范围，考查运算求解能力及转化与化归思想，在利用参数和的几何意义解题时，注意直线的参数方程的定点及标准形式问题。

23．己知，函数.

（1）若，解不等式；

（2）若函数，且存在使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）零点分段解不等式即可（2）等价于，由，得不等式即可求解

【详解】

（1）当时，，

当时，由，解得；

当时，由，解得；

当时，由，解得.

综上可知，原不等式的解集为.

（2）.

存在使得成立，等价于.

又因为，所以，即.

解得，结合，所以实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查转化思想，是中档题